Exercícios: Interpretação física da derivada

A posição de um objeto em queda livre é dada pela função $s(t) = 100 - 4,9t^2$, onde $s$ é medido em metros e $t$ em segundos. Determine a função que descreve a sua velocidade $v(t)$ e a sua aceleração $a(t)$.

Um comboio desloca-se por uma via reta com uma equação de movimento $e(t) = 2t^3 - 5t^2 + 8t$, com $e$ em metros e $t$ em segundos. Calcule a velocidade do comboio no instante $t = 2$ s.

A posição de uma partícula em função do tempo é $x(t) = t^4 - 3t^2 + 5$. Determine a aceleração da partícula no instante $t = 1$.

Um balão aerostático sobe de modo que a sua altura, em metros, é dada por $h(t) = 15t - t^2$. Em que instante $t$ a sua velocidade se torna nula?

O volume de água num reservatório varia segundo a função $V(t) = 50 + 4t - t^3$, onde $V$ está em litros e $t$ em minutos. Determine a taxa de variação instantânea do volume no instante $t = 1$ e indique se o reservatório está a encher ou a esvaziar nesse momento.

Um carro de testes tem uma velocidade dada pela função $v(t) = 3t^2 - 12t + 4$ em m/s. Calcule a sua aceleração no instante $t = 3$ s.

A carga elétrica que atravessa uma secção de um cabo em função do tempo é $q(t) = 2t^2 + 3t$ coulombs. Sabendo que a intensidade de corrente é a derivada da carga em relação ao tempo, calcule a intensidade em $t = 4$ s.

A altura de um projétil, em metros, é $y(t) = 40t - 5t^2$. Calcule a velocidade média no intervalo $[1, 3]$ e compare-a com a velocidade instantânea em $t = 2$.

Uma trotinete elétrica desloca-se em linha reta de modo que a sua posição em metros relativamente ao ponto de partida é dada por $s(t) = t^2 + 2t$, onde o tempo $t$ é medido em segundos. Para calcular a velocidade da trotinete exatamente aos $3\text{ segundos}$ de iniciar a marcha, o Marcos realiza o seguinte cálculo no seu caderno:

«Como $s(3) = 3^2 + 2\cdot 3 = 15\text{ m}$, divido a posição pelo tempo: $v(3) = \frac{15}{3} = 5\text{ m/s}$».

1. a) Explica fundamentadamente por que razão o procedimento do Marcos é incorreto e que conceito físico calculou na realidade com essa operação.
2. b) Utiliza a derivada para determinar a velocidade instantânea real em $t = 3\text{ s}$, calcula a aceleração da trotinete nesse mesmo instante e indica se o veículo se move para a frente ou para trás.

Antes do início do verão, procede-se ao esvaziamento controlado de uma piscina municipal. O volume de água que permanece na piscina (em metros cúbicos) após $t$ horas de escoamento é descrito pela função $V(t) = 200 - 20t + 0,5t^2$, válida para o intervalo $0 \le t \le 10\text{ horas}$.

1. a) Antes de derivar, estima fundamentadamente se o caudal de saída da água será maior no início do escoamento ($t = 1\text{ h}$) ou quando a piscina estiver quase vazia ($t = 9\text{ h}$), baseando-te na pressão exercida pela coluna de água.
2. b) Calcula a taxa de variação média do volume entre $t = 0$ e $t = 2\text{ horas}$, e usa-a como estimativa prévia da velocidade instantânea de esvaziamento.
3. c) Determina a função caudal de saída através da derivada instantânea do volume, calcula o seu valor exato em $t = 1\text{ h}$ e em $t = 9\text{ h}$, e verifica se os resultados confirmam a tua estimativa inicial.

Um foguetão de brincar é lançado verticalmente para cima. A sua altura, em metros, após $t$ segundos é $h(t) = 30t - 4,9t^2$. Determine o tempo que demora a atingir a altura máxima e calcule o valor exato dessa altura.

A temperatura de um forno industrial durante um processo de arrefecimento é dada por $T(t) = 200 - 10t + 0,5t^2$ em graus Celsius, com $t$ em minutos. Calcule a velocidade de arrefecimento (taxa de variação instantânea da temperatura) em $t = 5$ min e em $t = 15$ min. Interprete o significado físico dos sinais obtidos.

Um veículo trava bruscamente e a distância percorrida em metros a partir do momento em que os travões são acionados é $d(t) = 24t - 3t^2$. Quanto tempo demora o veículo a parar completamente? Qual foi a distância total percorrida durante a travagem?

Uma mancha de óleo no mar tem forma circular e o seu raio em metros cresce segundo a função $r(t) = \frac{20t}{t+2}$, onde $t$ é o tempo em horas. Determina a velocidade com que o raio cresce no instante $t = 3$ horas. Cresce mais rapidamente no início ou após algumas horas? Justifica a tua resposta utilizando o conceito de aceleração ou analisando a derivada.

A posição de um oscilador harmónico acoplado a uma mola é $x(t) = 5 \sin(2t)$ em centímetros. Calcule a sua velocidade e a sua aceleração em função do tempo. Demonstre que a aceleração é proporcional à posição, isto é, $a(t) = k \cdot x(t)$, e determine o valor da constante $k$.

O custo de produção de $x$ unidades de um componente eletrónico é $C(x) = 1500 + 10x - 0,05x^2$ euros. O custo marginal é definido como a derivada do custo em relação ao número de unidades. Calcule o custo marginal para $x = 50$ unidades e explique o que esse valor representa no contexto da fábrica.

Um reservatório cónico esvazia-se de modo que o volume de água no seu interior é $V(t) = 1000 \left(1 - \frac{t}{20}\right)^3$ litros, para $0 \leq t \leq 20$ minutos. Calcule o caudal de saída de água (taxa de variação instantânea do volume) no instante $t = 10$ minutos.

A posição de uma partícula é dada por $s(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t$. Determine os intervalos de tempo nos quais a partícula avança para a direita ($v(t) > 0$) e nos quais recua para a esquerda ($v(t) < 0$).

Num ensaio de travagem suave para um protótipo de veículo autónomo, a equipa técnica necessita de definir uma trajetória retilínea através de um polinómio de terceiro grau da forma $s(t) = at^3 + bt^2 + ct$, onde $s(t)$ é a distância percorrida em metros e $t$ o tempo em segundos decorrido desde o início do ensaio.

Impõem-se as seguintes condições de projeto:

1. No instante inicial ($t = 0\text{ s}$), o veículo circula a uma velocidade de $24\text{ m/s}$.

2. O veículo para completamente ($v = 0\text{ m/s}$) aos $4\text{ segundos}$ de travagem ($t = 4\text{ s}$).

3. Nesse instante final de paragem ($t = 4\text{ s}$), a aceleração deve anular-se ($a(4) = 0\text{ m/s}^2$) para que a paragem resulte totalmente impercetível para os ocupantes.

1. a) Apresenta o sistema de equações correspondente a partir das derivadas de $s(t)$ e deduz os valores exatos dos coeficientes $a$, $b$ e $c$.
2. b) Justifica se o veículo recua em algum momento durante o intervalo $t \in [0, 4]$ analisando o sinal da velocidade resultante.

Um comboio da série Alfa Pendular da CP parte da estação de Santa Apolónia, em Lisboa. Durante o primeiro minuto de trajeto ($0 \le t \le 60\text{ segundos}$), os sensores de via registam que a sua posição em metros é dada pela função $s(t) = 0,5t^2 - \frac{1}{240}t^3$.

1. a) Obtém as expressões analíticas da velocidade instantânea $v(t)$ e da aceleração $a(t)$ do comboio em função do tempo.
2. b) Calcula em que instante atinge o comboio a sua velocidade máxima neste troço inicial e expressa esse valor em quilómetros por hora ($\text{km/h}$).
3. c) No instante $t = 50\text{ s}$, calcula os valores de $v(50)$ e $a(50)$. A partir dos seus sinais, interpreta fisicamente se o comboio está a avançar ou a recuar, e se nesse instante a sua rapidez está a aumentar ou a diminuir.

Dois carros de corrida, A e B, deslocam-se por vias retas e paralelas. As suas posições em relação à linha de partida são dadas por $s_A(t) = t^3 - 6t^2 + 15t$ e $s_B(t) = 2t^2 + 3t$. Determine em que instantes $t$ ambos os carros circulam à mesma velocidade. Para esses instantes, calcule e compare a aceleração de cada carro.

Um projétil é lançado verticalmente a partir de uma plataforma. A sua altura, em metros, é dada por $h(t) = at^2 + bt + c$. Sabemos que a plataforma está a $15$ m do solo, que a velocidade inicial de lançamento é de $20$ m/s para cima, e que a aceleração da gravidade é constante e igual a $-9,8$ m/s$^2$. Utilizando a relação entre posição, velocidade e aceleração por meio de derivadas, determina os valores de $a$, $b$ e $c$. Em seguida, calcula a altura máxima atingida.

A velocidade de uma partícula que se move em linha reta é $v(t) = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}$ m/s. Calcule a função aceleração $a(t)$. Determine em que instante $t \geq 0$ a aceleração é máxima e calcule esse valor máximo.

A carga num condensador de um circuito elétrico varia com o tempo segundo a expressão $q(t) = q_0 \left(1 - e^{-t/RC}\right)$, onde $q_0$, $R$ e $C$ são constantes positivas. A intensidade de corrente é $i(t) = q'(t)$. Demonstre que a intensidade diminui exponencialmente com o tempo e calcule o valor limite da carga e da intensidade quando $t \to +\infty$.

Um robô de exploração move-se ao longo de um carril reto. A sua posição, em metros, durante os primeiros $5$ segundos é dada por $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$. Calcule a distância total real percorrida pelo robô no intervalo $t \in [0, 5]$. Tenha em consideração que a distância total não é simplesmente $x(5) - x(0)$, mas que deve analisar as mudanças de sentido do movimento utilizando a velocidade.

A lei do arrefecimento de Newton estabelece que a taxa de variação da temperatura $T(t)$ de um objeto é proporcional à diferença entre a sua temperatura e a do meio ambiente $T_a$, isto é, $T'(t) = -k(T(t) - T_a)$. Verifique se a função $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$ satisfaz essa equação diferencial. Se $T_a = 20^\circ$C, $T_0 = 100^\circ$C e a velocidade de arrefecimento no instante inicial $t=0$ é de $-4^\circ$C/min, calcule o valor de $k$.

A potência consumida por um dispositivo eletrónico depende da tensão aplicada segundo a função $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 4}$ miliwatts. A taxa de variação da potência em relação à tensão é denominada condutância dinâmica $G(v) = P'(v)$. Determine para que valores de tensão $v$ a condutância dinâmica é exatamente $1$ miliwatt/volt.

Um balão meteorológico sobe verticalmente. A sua altura em metros é modelada por uma função definida por ramos:

$h(t) = \begin{cases} 2t^2 & \text{si } 0 \leq t \leq 10 \\ at + b - \frac{100}{t} & \text{si } t > 10 \end{cases}$

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a posição e a velocidade do balão sejam contínuas no instante $t = 10$. Uma vez encontrados, calcule a aceleração do balão para $t > 10$ e discuta o que acontece à velocidade a longo prazo (quando $t \to +\infty$).

Uma cooperativa de olivicultores de Évora modela o custo total diário (em euros) de embalar $x$ garrafões de azeite virgem extra de 5 litros através da função $C(x) = 800 + 15x - 0,01x^2$, para uma produção diária de até $500$ garrafões. Para estimar o impacto económico de produzir o garrafão número 201, o departamento financeiro avalia duas alternativas:

• Método A: Calcular o custo real incremental $\Delta C = C(201) - C(200)$.

• Método B: Aproximar esse custo utilizando o custo marginal instantâneo derivando a função, isto é, avaliando $C'(200)$.

1. a) Aplica detalhadamente ambos os métodos e determina o valor numérico obtido com cada um, bem como a diferença exata entre eles.
2. b) A partir da definição de derivada como limite do quociente de diferenças com $\Delta x = 1$, fundamenta formalmente por que razão o Método B é uma aproximação admissível do Método A.
3. c) Se a cooperativa modernizasse as suas instalações e a função de custo passasse a ser não polinomial, $C(x) = 800 + 12x + \sqrt{x^3 + 100}$, qual dos dois métodos seria mais conveniente para calcular rapidamente o impacto de sucessivas unidades adicionais? Justifica a tua escolha comparando a carga de cálculo manual face à interpretabilidade do resultado.

Nas pistas de ensaio de um centro de certificação em Santarém, um protótipo elétrico realiza uma manobra de ida e volta em linha reta. A sua posição relativamente à origem da pista é dada por $s(t) = \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 12t$, onde $s$ é medido em metros e $t$ em segundos, durante o intervalo $t \in [0, 8]$.

1. a) Determina em que instantes o protótipo está momentaneamente parado e em que intervalos de tempo avança no sentido positivo ou recua no sentido negativo.
2. b) Obtém a aceleração $a(t)$ e analisa detalhadamente os intervalos nos quais o protótipo está a ganhar rapidez (a acelerar) e nos quais está a perder rapidez (a travar). Presta especial atenção ao intervalo $(2, 6)$ e explica como interagem os sinais de $v(t)$ e $a(t)$ para fundamentar a tua conclusão.
3. c) Calcula a distância total efetiva percorrida pelo protótipo nos $8\text{ segundos}$ e compara-a com o deslocamento líquido $s(8) - s(0)$. Explica, do ponto de vista do cálculo diferencial, por que razão ambas as quantidades não coincidem.