Exercícios: Crescimento e extremos com a derivada

Sabe-se que a derivada de uma função $f$ cumpre $f'(3) = -2$. Sem conhecer a expressão de $f$, raciocine se a função é crescente ou decrescente no ponto $x = 3$ e explique o que esse valor significa para a reta tangente nesse ponto.

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento da função $f(x) = x^3 - 3x$ estudando o sinal da sua derivada.

Encontra o extremo relativo da função $f(x) = x^2 - 6x + 5$ utilizando a derivada e raciocina se se trata de um máximo ou de um mínimo.

Calcule os pontos singulares da função $f(x) = x^3 - 12x + 1$, isto é, os pontos nos quais a sua derivada se anula.

A derivada de uma função é $f'(x) = (x - 1) \cdot (x - 4)$. Estudando o sinal de cada fator na reta real, determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de $f$ e localize os seus extremos relativos.

Determine os intervalos de monotonia da função $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$.

A figura mostra o gráfico da derivada $f'$ de uma função $f$, que interseta o eixo das abcissas em $x = -1$ e em $x = 3$. Observando o sinal de $f'$ na figura, indique os intervalos de monotonia (crescimento e decrescimento) de $f$ e em que pontos ela tem extremos relativos.

Raciocine se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: «Se $f'(a) = 0$, então $f$ tem um máximo ou um mínimo relativo em $x = a$». A figura, que mostra a função $f(x) = x^3$ e a sua tangente na origem, pode ajudar-te a decidir.

A Maria está a estudar os extremos da função $f(x) = (x - 2)^3 + 5$. Para isso, calcula a sua derivada $f'(x) = 3(x - 2)^2$, iguala-a a zero e obtém a solução $x = 2$. Conclui imediatamente no seu caderno: «Como a derivada se anula em $x = 2$, a função tem um extremo relativo (mínimo ou máximo) nesse ponto».

1. a) Explica com precisão que erro concetual a Maria comete ao deduzir a existência de um extremo baseando-se unicamente em que $f'(2) = 0$.
2. b) Corrige a sua resolução: estuda o sinal de $f'(x)$ à esquerda e à direita de $x = 2$ e determina o que acontece realmente com o crescimento da função nessa vizinhança.
3. c) Dá um exemplo verbal ou da vida quotidiana que a ajude a entender a diferença entre parar momentaneamente com velocidade zero (tangente horizontal) e dar a volta (mudança de sentido).

Dada a função polinomial $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$ restrita ao intervalo fechado $[0, 3]$:

1. a) Antes de calcular qualquer derivada, avalia mentalmente ou de forma rápida os extremos do intervalo, $f(0)$ e $f(3)$, bem como o valor em $f(1)$. A partir desses três dados, faz uma estimativa fundamentada sobre se achas que o máximo absoluto será atingido no interior do intervalo ou no extremo direito $x = 3$.
2. b) Calcula a função derivada $f'(x)$, determina os pontos singulares que pertençam ao intervalo $[0, 3]$ e classifica-os estudando o sinal de $f'$.
3. c) Determina com exatidão o máximo e o mínimo absolutos em $[0, 3]$ avaliando os candidatos pertinentes (pontos singulares interiores e extremos do intervalo) e verifica se a tua estimativa inicial estava correta.

Numa feira, um foguete de água atinge uma altura de $h(t) = -4t^2 + 24t + 1$ metros aos $t$ segundos após o lançamento. Utilizando a derivada, calcule em que instante ele atinge a altura máxima e quanto vale essa altura.

Seja a função $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$.

1. a) Calcule a sua derivada e determine os seus pontos críticos.

1. b) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento.

1. c) Classifique cada ponto crítico como máximo ou mínimo relativo e indique o valor da função nesses pontos.

Uma pequena oficina fabrica $x$ bicicletas por mês e o custo médio por bicicleta, em euros, é dado por $C(x) = x + \frac{1600}{x}$, com $x > 0$. Determine o número de bicicletas que torna mínimo o custo médio e o valor desse custo mínimo, verificando pelo sinal da derivada que se trata efetivamente de um mínimo.

Após a administração de um medicamento, a sua concentração no sangue, em $\text{mg/l}$, segue o modelo $C(t) = 10t \cdot e^{-0,5t}$, com $t \geq 0$ medido em horas, representado na figura.

1. a) Calcule $C'(t)$.

1. b) Determine em que instante a concentração é máxima.

1. c) Estude em que intervalos a concentração aumenta e em que intervalos diminui.

Encontra o valor do parâmetro $b$ para que a função $f(x) = x^2 + bx + 3$ tenha um mínimo relativo no ponto $x = 2$. Com esse valor de $b$, calcula o valor mínimo da função.

Um aluno estuda a monotonia de $f(x) = x^3 - 3x^2$ e escreve: «$f'(x) = 3x^2 - 6x$, que se anula em $x = 0$ e em $x = 2$; portanto, $f$ é crescente em $(0, 2)$ e decrescente no restante». Deteta o erro que ele cometeu na conclusão, corrige-o estudando bem o sinal de $f'$ e escreve os intervalos de monotonia corretos.

A figura mostra o gráfico de uma função $f$ definida em $[-3, 4]$, com os seus dois extremos relativos assinalados. Lendo o gráfico:

1. a) Indique os intervalos de crescimento e de decrescimento de $f$.

1. b) Estime as coordenadas do máximo e do mínimo relativos.

1. c) Indique também o máximo e o mínimo absolutos de $f$ em $[-3, 4]$.

Os organizadores de um festival estimam que, se venderem o bilhete a $x$ euros, comparecerão $400 - 8x$ pessoas, de modo que a receita é $I(x) = x \cdot (400 - 8x)$ euros, com $0 \leq x \leq 50$.

1. a) Determine os intervalos nos quais a receita aumenta e aqueles nos quais diminui ao aumentar o preço.

1. b) Determine o preço que maximiza a receita e o valor dessa receita máxima.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) regista a evolução térmica durante um dia de verão numa estação do interior do continente. A temperatura $T$ (em graus Celsius) ao longo das $24$ horas do dia é modelada pela função:

onde $t$ representa o tempo decorrido em horas desde a meia-noite ($t = 0$).

1. a) Calcula a derivada $T'(t)$ e determina os intervalos do dia em que a temperatura esteve a aumentar e em que esteve a diminuir.
2. b) Determina a que hora exata se registou a temperatura mínima relativa (local) da madrugada e a que hora a máxima absoluta, calculando o valor térmico em ambos os instantes.
3. c) Interpreta o sinal da derivada $T'(t)$ no intervalo das $14:00$ às $16:00$ horas para justificar por que razão a temperatura máxima diária não coincide com o meio-dia solar (momento de máxima insolação), mas apresenta um atraso térmico.

Para classificar os pontos singulares de uma função derivável, pode-se estudar a mudança de sinal da primeira derivada ou recorrer ao sinal da segunda derivada.

1. a) Considera a função $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$. Determina os seus dois pontos singulares e tenta classificar ambos através da segunda derivada $f''(x)$. Que inconveniente insuperável surge em $x = 0$? Justifica que método é obrigatório aplicar nesse ponto e conclui de que tipo de ponto se trata.
2. b) Considera agora a função racional $g(x) = \frac{x}{x^2 + 4}$. Determina os seus pontos singulares. Compara o trabalho algébrico que exigiria calcular $g''(x)$ com o de estudar o sinal de $g'(x)$, aproveitando que o denominador de $g'$ é sempre estritamente positivo. Justifica qual dos dois caminhos é mais conveniente e classifica os extremos relativos de $g$.

Estude a monotonia completa da função $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$: intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos com os seus valores e comportamento quando $x \to \pm \infty$.

A função $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ tem um extremo relativo no ponto $(1, -2)$.

1. a) Formule as duas condições que $a$ e $b$ devem cumprir e calcule os seus valores.

1. b) Com esses valores, localize o outro extremo relativo da função e classifique ambos.

Considere a função $f(x) = x^3 + x - 1$.

1. a) Demonstre, estudando o sinal de $f'(x)$, que $f$ é estritamente crescente em todo o $\mathbb{R}$.

1. b) Raciocine, a partir da alínea anterior e dos valores $f(0)$ e $f(1)$, quantas soluções reais a equação $x^3 + x - 1 = 0$ possui.

Seja $f(x) = x^3 - 3x + 1$ definida no intervalo fechado $[-2, 3]$.

1. a) Localize os seus pontos singulares dentro do intervalo.

1. b) Calcule o valor de $f$ nos pontos singulares e nas extremidades do intervalo.

1. c) Determine o máximo e o mínimo absolutos de $f$ em $[-2, 3]$ e explique por que razão não basta analisar os pontos singulares.

O índice de qualidade do ar de uma cidade durante um dia de episódio de poluição é modelado, no período de $0 \leq t \leq 24$ horas, por $I(t) = t^3 - 27t^2 + 216t + 50$.

1. a) Encontra os instantes em que a tendência do índice muda.

1. b) Determine os intervalos de tempo nos quais o índice piora (aumenta) e aqueles nos quais melhora (diminui).

1. c) Determina o valor máximo do índice entre as $0$ e as $14$ horas e a que horas é atingido.

1. d) Raciocina sobre se o modelo continuaria a ser válido para prever o índice vários dias depois.

Estuda a monotonia e os extremos da função $f(x) = x \cdot e^{-x}$ em todo o $\mathbb{R}$, indicando o valor do extremo relativo e o limite da função quando $x \to +\infty$.

Pretende-se demonstrar que $e^x \geq 1 + x$ para todo o $x \geq 0$ usando a monotonia.

1. a) Defina $f(x) = e^x - 1 - x$ e estude o sinal de $f'(x)$ para $x \geq 0$.

1. b) Calcule $f(0)$ e deduza, a partir da monotonia de $f$, que $f(x) \geq 0$ para todo $x \geq 0$.

1. c) Conclua a desigualdade pedida e raciocine se também é válida para $x < 0$.

A figura mostra o gráfico da derivada $f'$ de uma certa função $f$ derivável em todo o $\mathbb{R}$; a curva corta o eixo das abcissas exatamente em $x = -2$, $x = 1$ e $x = 4$.

1. a) Indique em que pontos $f$ tem extremos relativos e classifique-os estudando o sinal de $f'$.

1. b) É possível conhecer o valor que $f$ toma nesses extremos a partir do gráfico de $f'$? Justifique a sua resposta.

Numa pista de patinagem projeta-se construir uma rampa que ligue suavemente dois troços horizontais situados a alturas diferentes. Num sistema de coordenadas onde as distâncias são medidas em metros, procura-se uma função polinomial do terceiro grau $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, definida no intervalo $[0, 4]$, que satisfaça simultaneamente:

1. Em $x = 0$, a rampa começa a uma cota de $3\text{ m}$ com tangente horizontal.

2. Em $x = 4$, a rampa chega ao nível do solo ($0\text{ m}$) também com tangente horizontal.

3. A rampa deve ser estritamente decrescente em todo o interior $(0, 4)$ para que nenhum patinador encontre contra-inclinações ou subidas intermédias.

1. a) Modela as quatro condições sobre $f$ e $f'$ necessárias para calcular os coeficientes $a$, $b$, $c$ e $d$, e obtém a expressão algébrica de $f(x)$.
2. b) Demonstra analiticamente que a função calculada cumpre a condição de decrescimento estrito em $(0, 4)$ através do estudo do sinal da sua derivada.
3. c) Justifica detalhadamente por que teria sido matematicamente impossível resolver este problema utilizando um polinómio do segundo grau em vez de um do terceiro grau.

Considera a família de funções $f_k(x) = x^3 - 3kx^2 + 9x - 1$, onde $k \in \mathbb{R}$ é um parâmetro.

1. a) Calcula $f'_k(x)$ e determina para que valores de $k$ a função é estritamente crescente em todo o $\mathbb{R}$. Explica o que acontece ao gráfico e à tangente no caso particular $k = \sqrt{3}$.
2. b) Determina os valores de $k$ para os quais a função possui exatamente dois pontos singulares distintos. Classifica-os em máximo ou mínimo relativo, justificando a tua resposta de acordo com os sinais que a derivada assume ao longo da reta real.
3. c) Para o caso concreto $k = 2$, restringe a função ao intervalo fechado $[0, 5]$. Determina fundamentadamente todos os candidatos a extremos absolutos, calcula o valor da função neles e localiza o máximo e o mínimo absolutos nesse intervalo. À vista do resultado, argumenta por que razão, num intervalo fechado, o máximo absoluto não tem de coincidir obrigatoriamente com o máximo relativo.