Exercícios: Sem ordenação

Num torneio de xadrez participam $14$ jogadores. Se cada jogador deve enfrentar uma única vez todos os outros, determine o número total de partidas que se vão disputar no torneio.

Para preparar uma salada, dispõe de $8$ ingredientes diferentes (alface, tomate, cenoura, cebola, pepino, atum, milho e azeitonas). Calcule quantas saladas diferentes de $4$ ingredientes pode elaborar.

Um exame consta de $10$ perguntas. O professor indica que os alunos devem escolher e responder a apenas $6$ delas. Determine de quantas formas diferentes pode um aluno selecionar as perguntas a responder.

Numa reunião de trabalho há $12$ pessoas. Ao terminar, todas se despedem cumprimentando-se com um aperto de mão uma única vez. Calcule quantos apertos de mão ocorrem no total.

Determine o valor de $x$ na seguinte igualdade entre números combinatórios, sabendo que $x \neq 4$:

$\binom{x}{4} = \binom{x}{7}$

Calcule o valor da seguinte expressão utilizando as propriedades dos números combinatórios:

$\binom{8}{3} + \binom{8}{4}$

De um baralho de $40$ cartas, extraem-se simultaneamente $3$ cartas ao acaso. Determine quantos resultados diferentes se podem obter.

Marcam-se $7$ pontos sobre uma circunferência. Calcule quantos segmentos diferentes se podem traçar unindo dois destes pontos.

Para a disciplina de Língua Castelhana e Literatura do 4.º ano do ESO, os professores disponibilizam uma lista de 7 leituras recomendadas, das quais cada estudante deve escolher 3 para realizar um trabalho durante o período. Sergio afirma com segurança: «Para escolher o primeiro livro tenho 7 opções; para o segundo, 6; e para o terceiro, 5. Portanto, no total há $7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ formas possíveis de escolher as minhas 3 leituras».

1. a) Identifica o erro concetual cometido por Sergio e explica por que razão o seu cálculo gera um número muito maior do que as escolhas reais.
2. b) Quantas vezes é que o Sergio está a contar cada possível grupo de 3 livros? Relaciona a tua resposta com as permutações desses 3 elementos.
3. c) Escreve a fórmula correta utilizando a notação do número combinatório $\binom{n}{k}$ e calcula quantas seleções distintas de 3 livros se podem fazer na realidade.

Numa turma de 24 estudantes do 4.º ano do ESO deve-se escolher uma delegação de convivência formada por 2 representantes para participar nas reuniões da escola.

1. a) Antes de aplicar qualquer fórmula, faz uma estimativa fundamentada sem fazer cálculos minuciosos: achas que o número de pares possíveis estará na ordem das dezenas, das centenas ou dos milhares? Argumenta a tua resposta pensando nas opções que cada estudante tem.
2. b) Modela a situação através do número combinatório adequado, realiza o cálculo e verifica se a tua estimativa inicial foi acertada.
3. c) A partir da propriedade de simetria dos números combinatórios $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, explica por que razão escolher os 2 representantes da delegação equivale matematicamente a escolher os 22 estudantes que ficam de fora, sem necessidade de calcular fatoriais adicionais.

Uma empresa precisa de formar uma equipa de projeto composta por $3$ engenheiros e $2$ economistas. Se no quadro de funcionários há $8$ engenheiros e $5$ economistas disponíveis, calcule quantas equipas diferentes se podem formar.

Numa doceria vendem-se $6$ tipos diferentes de doces. Determine de quantas formas diferentes se podem comprar $4$ doces, tendo em conta que se podem escolher vários do mesmo tipo.

Calcule o número total de diagonais que se podem traçar num polígono regular de $10$ lados (decágono).

Resolve a seguinte equação para encontrar o valor do número natural $n$:

$C_{n, 2} = 45$

Extraem-se $5$ cartas simultaneamente de um baralho espanhol de $40$ cartas (dividido em $4$ naipes de $10$ cartas cada um). Determine em quantos dos resultados possíveis há exatamente $3$ cartas do naipe de ouros.

Um robô desloca-se numa grelha do ponto $A$ até ao ponto $B$. Apenas pode realizar movimentos para a direita ou para cima, avançando uma interseção em cada passo. Calcule o número de trajetos diferentes que pode seguir.

Dispõe de $8$ bilhetes idênticos para um espetáculo e quer distribuí-los entre os seus $4$ melhores amigos. Calcule de quantas formas os pode distribuir, sabendo que a um amigo podem calhar vários bilhetes ou até nenhum.

Num questionário de $12$ perguntas, deve responder obrigatoriamente a um total de $8$. No entanto, as $3$ primeiras perguntas são de resposta obrigatória. Determine de quantas formas diferentes pode completar a sua seleção de perguntas.

Num torneio regional de padel federado no Alentejo, a fase prévia disputa-se por grupos independentes. Em cada grupo, todas as duplas inscritas jogam exatamente uma partida contra cada uma das outras duplas do seu próprio grupo (sistema de campeonato a uma só volta). Ao fechar a ata da fase prévia, a organização confirma que no Grupo A foram disputadas exatamente 45 partidas no total.

1. a) Escreve uma equação combinatória utilizando a notação $\binom{n}{k}$ onde intervenha o número desconhecido $n$ de duplas inscritas no Grupo A.
2. b) Desenvolve algebricamente o número combinatório para transformar a igualdade numa equação do segundo grau na forma geral.
3. c) Resolve a equação, analisa as duas soluções obtidas descartando fundamentadamente a que não fizer sentido neste contexto e indica quantas duplas competiam no referido grupo.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) vai auditar a manutenção de uma rede de estações meteorológicas automáticas no Alentejo. Dispõe de 9 estações situadas em zonas de montanha e 6 estações em zonas litorais. O protocolo técnico estabelece que se deve selecionar uma amostra de 6 estações composta obrigatoriamente por 4 estações de montanha e 2 estações litorais.

1. a) Justifica matematicamente por que razão a seleção de cada categoria deve ser modelada através de combinações sem repetição e não por meio de arranjos ou permutações.
2. b) Aplica o princípio da multiplicação combinatória para calcular quantas amostras diferentes de 6 estações se podem configurar cumprindo a quota estabelecida.
3. c) Se por motivos técnicos se decidir que a estação de montanha situada na Serra da Estrela deve fazer parte da amostra de forma obrigatória, calcula quantas amostras distintas de 6 estações (4 de montanha e 2 do litoral) se podem selecionar agora.

Um hospital deve formar uma equipa de piquete noturno de $5$ pessoas, selecionada de um grupo de $7$ médicos e $6$ enfermeiros. Calcule quantas equipas diferentes se podem formar se as normas exigirem que a equipa contenha pelo menos $3$ médicos.

Numa grelha formada por $9$ pontos distribuídos por $3$ linhas e $3$ colunas, determine quantos triângulos diferentes se podem formar utilizando estes pontos como vértices. Tenha em conta que três pontos alinhados não formam um triângulo.

Encontra o valor de $x$ que satisfaz a seguinte equação combinatória:

$\binom{x}{2} + \binom{x-1}{2} = 25$

O jogo do Euromilhões consiste em escolher $6$ números de um total de $49$. Se já se conhece a combinação vencedora de $6$ números, calcule quantas apostas diferentes das possíveis teriam exatamente $4$ acertos.

Um robô desloca-se numa grelha do nó $A$ até ao nó $B$, movendo-se unicamente para a direita e para cima. Deve passar obrigatoriamente pelo nó $C$ para recolher um pacote. Determine quantos percursos válidos existem.

Numa gelataria oferecem $5$ sabores diferentes. Quer comprar $8$ copos de gelado para uma festa, mas deseja garantir que leva pelo menos um copo de cada um dos $5$ sabores. Calcule de quantas formas diferentes pode fazer o seu pedido.

Uma urna contém $6$ bolas vermelhas, $5$ bolas azuis e $4$ bolas verdes. Extraem-se $4$ bolas simultaneamente. Calcule quantos resultados diferentes contêm exatamente $2$ bolas vermelhas e pelo menos $1$ bola azul.

O jogo de dominó tradicional vai até ao duplo seis (as pontuações vão de $0$ a $6$). Um fabricante decide criar um "superdominó" que vá até ao duplo nove (as pontuações vão de $0$ a $9$). Calcule quantas peças no total terá este novo jogo e quantas delas não serão duplas.

Um júri médico para a avaliação das provas do sistema MIR no Ministério da Saúde deve ser constituído por 6 pessoas, selecionadas de uma equipa composta por 4 especialistas em Medicina Geral e Familiar e 7 especialistas em Medicina Interna. O regulamento exige que no júri resultante figure, pelo menos, um especialista em Medicina Geral e Familiar.

Dois vogais da comissão propõem métodos distintos para calcular o número de júris válidos:

• Método 1 (Direto): Dividir o problema em casos disjuntos de acordo com o número de médicos de família (1, 2, 3 ou 4), calcular as combinações de cada caso multiplicando pelos internistas necessários e somar todos os resultados.

• Método 2 (Complementar): Calcular todos os júris possíveis de 6 pessoas que se podem formar com os 11 médicos disponíveis sem qualquer restrição e subtrair os júris não válidos (aqueles onde não há nenhum especialista em Medicina Geral e Familiar).

1. a) Desenvolve por completo ambos os métodos, propondo os seus números combinatórios, e verifica numericamente que ambos conduzem ao mesmo resultado.
2. b) Compara criticamente ambos os métodos: qual consideras mais eficiente em tempo e com menor risco de erro de cálculo numa situação de exame? Justifica a tua escolha analisando o número de operações de cada um.
3. c) Se o regulamento mudasse e exigisse que no júri houvesse «pelo menos 3 especialistas em Medicina Geral e Familiar», o método complementar continuaria a ser mais curto do que o direto? Justifica a tua resposta raciocinando sobre a quantidade de casos favoráveis em comparação com os desfavoráveis.

No traçado ortogonal de um bairro de Lisboa, um estafeta de encomendas em bicicleta deve deslocar-se desde o cruzamento A até ao cruzamento B. Para otimizar a sua rota, o estafeta avança unicamente para este ou para norte em cada cruzamento, necessitando de um trajeto exato de 5 quarteirões para este e 3 quarteirões para norte (um total de 8 quarteirões de deslocação).

1. a) Modela o trajeto através da combinatória: explica por que razão qualquer rota ótima de 8 quarteirões equivale a escolher as vezes de avanço numa das duas direções e calcula quantas rotas distintas unem A a B através da expressão $\binom{m+p}{m}$.
2. b) A Polícia Municipal encerrou por obras o cruzamento intermédio C, situado exatamente a 2 quarteirões a este e 1 quarteirão a norte do ponto A. Modela quantas das rotas possíveis passariam forçosamente pelo cruzamento C e deduz quantas rotas alternativas livres de obras ficam disponíveis para o estafeta.
3. c) Supõe que o estafeta deve entregar obrigatoriamente uma encomenda urgente no cruzamento D (localizado a 4 quarteirões a este e 2 a norte de A) e que o cruzamento C continua encerrado. Propõe e calcula a expressão combinatória que determina quantas rotas distintas permitem ir de A até B passando obrigatoriamente por D mas evitando em todo o momento o cruzamento cortado C.

Desafio do tema. Como influenciam a ordem e a seleção ao formar uma comissão juvenil? Desenha uma proposta matemática baseada em dados demográficos reais.

1. Obtenção de dados: Entra no site do INE e localiza os $8$ nomes mais frequentes do teu distrito no teu ano de nascimento.

2. Modelação combinatória: Com esses $8$ nomes como candidatos, calcula e justifica:

3. Eleição de presidente, secretário e vogal (cargos diferenciados onde a ordem importa): arranjos $V_{8,3}$.

4. Comissão de convívio de $3$ vogais iguais (agrupamento sem ordenação): combinações $C_{8,3}$.

5. Posições possíveis para uma fotografia em fila dos $8$ membros: permutações $P_8$.

6. Folha de cálculo e relatório: Desenha uma tabela numa folha de cálculo que calcule automaticamente $V_{n,3}$, $C_{n,3}$ e $P_n$ para valores de $n$ entre $5$ e $12$. Redige um breve relatório fundamentando por que motivo $C_{n,3}$ é sempre menor do que $V_{n,3}$ e aconselha a tua escola sobre que sistema (cargos diferenciados ou comissão sem cargos) é mais adequado, explicando por que razão um maior número de configurações possíveis não implica, por si só, maior diversidade na comissão.

Será valorizado:

• Rigor na obtenção de dados do INE e correção do cálculo combinatório ($V$, $P$ e $C$).

• Domínio eficaz da folha de cálculo na automatização de fórmulas.

• Argumentação clara sobre o papel da ordem na tomada de decisões.