Exercícios: Satélites e corpos celestes

A Estação Espacial Internacional (ISS) orbita a uma altitude de $400\ \text{km}$ acima da superfície terrestre. A velocidade orbital de um satélite em órbita circular é $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, massa da Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e raio terrestre $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. O esquema mostra a órbita da estação (sem escala):

1. a) Exprime o raio da órbita, $r = R_T + h$, em metros.
2. b) Calcula a velocidade orbital da ISS, em $\text{m/s}$, e exprime-a em $\text{km/s}$.

A Lua, o satélite natural da Terra, orbita a uma distância média entre centros de $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula a sua velocidade orbital com $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, em $\text{m/s}$.
2. b) Compara-a com a velocidade orbital da ISS, cerca de $7,7\ \text{km/s}$: qual dos dois corpos orbita mais rapidamente e porquê?

A velocidade orbital circular de um satélite é $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$.

1. a) Justifica, a partir da expressão, se um satélite mais afastado do centro da Terra orbita mais depressa ou mais devagar do que um satélite próximo.
2. b) Se o raio da órbita for multiplicado por $4$, o que acontece à velocidade orbital? Justifica com a expressão.

Um satélite de observação descreve uma órbita circular de raio $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ com uma velocidade orbital de $7,67\ \text{km/s}$.

1. a) Escreve a expressão do período em função do raio e da velocidade, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$.
2. b) Calcula o período em segundos e exprime-o em minutos.

Os satélites de comunicações de uma empresa de telecomunicações são geoestacionários.

1. a) Explica o que significa um satélite ser geoestacionário.
2. b) Indica as três condições que a sua órbita deve cumprir: forma, plano que a contém e período.
3. c) Fundamenta por que razão um satélite geoestacionário não pode ficar «imóvel» na vertical de Portugal (latitude $40^\circ$), mas sim sobre o equador.

Numa órbita rasante (muito baixa) o raio orbital é aproximadamente o raio terrestre, $r \approx R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula a velocidade orbital rasante com $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T}}$, em $\text{km/s}$.
2. b) Verifica que se obtém praticamente o mesmo valor com $v = \sqrt{g\cdot R_T}$ e explica, a partir de $g = \frac{G\cdot M_T}{R_T^2}$, por que razão ambas as expressões coincidem.

A Lua orbita a Terra a uma distância média de $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ com uma velocidade orbital de $1,02\ \text{km/s}$.

1. a) Calcula o seu período orbital com $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, em segundos.
2. b) Exprime-o em dias e compara-o com a duração de uma lunação (cerca de quatro semanas).

As antenas parabólicas de televisão por satélite são instaladas de forma fixa, apontando sempre para o mesmo ponto do céu.

1. a) Explica, utilizando as características da órbita geoestacionária, por que razão não é necessário que a antena siga o satélite.
2. b) Refere duas aplicações dos satélites geoestacionários e fundamenta que vantagem confere o facto de o satélite parecer imóvel nessas aplicações.

O telescópio espacial Hubble descreve uma órbita circular a $540\ \text{km}$ de altitude. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula a sua velocidade orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T + h}}$.
2. b) Calcula o seu período orbital, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, e exprime-o em minutos.

A Estação Espacial Internacional completa uma órbita em $T = 92\ \text{min}$.

1. a) Calcula quantas órbitas completas efetua em torno da Terra num dia ($24\ \text{h}$).
2. b) Justifica quantos nasceres do Sol e quantos pores do Sol os astronautas contemplam todos os dias.
3. c) Se a estação orbitasse a uma altitude superior, realizaria mais ou menos órbitas por dia? Justifica a resposta com a terceira lei de Kepler.

Um satélite geoestacionário deve ter um período $T = 24\ \text{h}$. Combinando $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$ com $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$ obtém-se $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observa o esquema (sem escala):

1. a) Exprime o período em segundos.
2. b) Calcula $r^3$ e, calculando a raiz cúbica, o raio da órbita geoestacionária.
3. c) Calcula a altitude acima da superfície, $h = r - R_T$, e exprime-a em $\text{km}$.

Os satélites do sistema europeu de navegação Galileo têm um período orbital de $14\ \text{h}$. Utiliza $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$ com $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Exprime o período em segundos e calcula o raio da órbita.
2. b) Calcula a altitude dos satélites acima da superfície terrestre.
3. c) Calcula a sua velocidade orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$.

Na superfície terrestre $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$, mas a gravidade diminui com a altitude de acordo com $g = \frac{G\cdot M_T}{r^2}$. A ISS orbita com $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula o valor de $g$ na órbita da ISS.
2. b) Exprime-o como percentagem do valor à superfície.
3. c) Com base nesse resultado, explica por que razão não é correto afirmar que na ISS «não há gravidade» e o que significa o facto de a estação e os seus tripulantes se encontrarem em queda livre contínua.

Fobos, a maior das luas de Marte, orbita a apenas $r = 9,38\cdot10^{6}\ \text{m}$ do centro do planeta. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e massa de Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula a sua velocidade orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_M}{r}}$.
2. b) Calcula o seu período, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, e exprime-o em horas.
3. c) Marte roda sobre si próprio em $24,6\ \text{h}$, no mesmo sentido em que Fobos orbita. Justifica se Fobos, visto da superfície marciana, nasce a este ou a oeste.

O satélite espanhol de observação da Terra PAZ descreve uma órbita circular a $514\ \text{km}$ de altitude. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula a sua velocidade orbital.
2. b) Calcula o seu período e exprime-o em minutos.
3. c) Calcula quantas voltas completas à Terra dá em cada dia.

Compara a velocidade orbital da ISS ($r_{ISS} = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$) com a da Lua ($r_L = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$) em torno da Terra.

1. a) Demonstra, a partir de $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, que o quociente de velocidades é $\frac{v_{ISS}}{v_L} = \sqrt{\frac{r_L}{r_{ISS}}}$.
2. b) Calcula esse quociente com os dados do enunciado.
3. c) Explica, com o auxílio da lei da gravitação universal, por que razão os corpos mais afastados orbitam mais devagar.

Um satélite artificial descreve uma órbita circular de raio $r$ em torno da Terra, de massa $M_T$.

1. a) Justifica que a única força que atua sobre o satélite é a gravítica e que desempenha o papel de força centrípeta; escreve a equação $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r^2} = \frac{m\cdot v^2}{r}$.
2. b) Deduz a partir dela a velocidade orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, e o período, $T = 2\cdot\pi\cdot\sqrt{\frac{r^3}{G\cdot M_T}}$. Comenta por que razão a massa $m$ do satélite não surge nos resultados.
3. c) Aplica as expressões a um satélite meteorológico em órbita polar a $850\ \text{km}$ de altitude e calcula a sua velocidade e o seu período. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

Uma operadora de telecomunicações vai colocar um satélite geoestacionário sobre o equador. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ e período de rotação terrestre $T = 24\ \text{h}$.

1. a) Partindo de $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r^2} = \frac{m\cdot v^2}{r}$ e de $v = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{T}$, deduz a expressão $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$.
2. b) Calcula o raio da órbita e a altitude em relação à superfície.
3. c) Calcula a velocidade do satélite na sua órbita e explica por que razão, ao mover-se a essa velocidade, parece imóvel visto a partir do solo.

Nas missões Apollo, o módulo de comando permanecia numa órbita lunar circular a $110\ \text{km}$ de altitude enquanto o módulo lunar descia até à superfície. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, massa da Lua $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ e raio lunar $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observa o esquema (sem escala):

1. a) Calcula o raio da órbita do módulo de comando.
2. b) Calcula a sua velocidade orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_L}{r}}$, e exprime-a em $\text{km/s}$.
3. c) Calcula o seu período, em horas, e estima quantas voltas completas à Lua dava o astronauta que ficava a bordo em cada dia.

Para futuras missões tripuladas a Marte estuda-se a colocação de satélites de comunicações «areoestacionários», ou seja, estacionários relativamente ao solo marciano. Dados: Marte roda em $T = 24,6\ \text{h}$; massa de Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$; raio de Marte $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Justifica que período orbital devem ter esses satélites.
2. b) Calcula o raio da órbita areoestacionária com $r^3 = \frac{G\cdot M_M\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$.
3. c) Calcula a sua altitude acima da superfície de Marte e compara-a com os $3,6\cdot10^{4}\ \text{km}$ da órbita geoestacionária terrestre, explicando a que se deve a diferença.

Supõe que a Terra tinha metade da sua massa atual, mas conservava o seu raio e o seu período de rotação de $24\ \text{h}$. Dados: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; o raio geoestacionário atual é $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$.

1. a) Justifica, a partir de $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$, se o raio da órbita geoestacionária seria maior, menor ou igual ao atual.
2. b) Calcula o novo raio geoestacionário tendo em conta que, sendo $r^3$ proporcional a $M_T$, o novo raio é $r' = r\cdot(1/2)^{1/3}$.
3. c) O período continuaria a ser de $24\ \text{h}$? A velocidade orbital do satélite mudaria? Justifica ambas as respostas.

Um aluno escreve num teste: «um satélite geoestacionário está em repouso, porque não se move relativamente ao solo terrestre; portanto, não necessita de velocidade orbital nem tem aceleração».

1. a) Identifica os dois erros do raciocínio.
2. b) Calcula a velocidade orbital real de um satélite geoestacionário ($r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, $T = 24\ \text{h}$), em $\text{km/s}$.
3. c) Calcula a sua aceleração centrípeta, $a_c = \frac{v^2}{r}$, e indica que força a proporciona.

A terceira lei de Kepler também se aplica aos satélites artificiais. Dados: ISS ($r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$, $T = 92\ \text{min}$) e Lua ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $T = 27,3$ dias). O esquema compara ambas as órbitas (sem escala):

1. a) Exprime ambos os períodos em segundos e calcula o quociente $\frac{T^2}{r^3}$ para a ISS e para a Lua, em unidades do Sistema Internacional.
2. b) Verifica que ambos os quocientes coincidem (exceto arredondamentos) e explica por que razão tem de ser assim.
3. c) Utiliza esse valor comum para prever o período de um satélite que orbite com $r = 2,0\cdot10^{7}\ \text{m}$ e exprime-o em horas.

As constelações de internet por satélite, como a Starlink, utilizam milhares de satélites a $550\ \text{km}$ de altitude, enquanto três satélites geoestacionários são suficientes para dar cobertura a quase todo o planeta. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. O esquema compara as duas órbitas (sem escala):

1. a) Calcula a velocidade e o período orbital de um satélite Starlink.
2. b) Calcula o quociente entre o seu período e o de um satélite geoestacionário ($24\ \text{h}$) e justifica, com a terceira lei de Kepler, por que razão os satélites de órbita baixa «passam» tão depressa sobre um observador.
3. c) Explica por que razão uma órbita baixa exige uma constelação de milhares de satélites para dar cobertura contínua, enquanto em órbita geoestacionária bastam três.

Desafio do tema. Podemos testar a mecânica orbital a partir de casa utilizando satélites reais? A tua missão é elaborar um relatório científico que valide a 3.ª lei de Kepler a partir da tua própria estimativa da gravidade.

1. Medição caseira: Constrói um pêndulo simples com um fio e uma porca. Mede o período $T$ para 4 comprimentos distintos ($L \pm 0,002\text{ m}$) cronometrando 10 oscilações (incerteza $\pm 0,2\text{ s}$). Tabula os dados, representa $T^2$ em função de $L$ e obtém $g$ com a tua incerteza para estimar a massa terrestre: $M_T = g R_T^2 / G$ (com $R_T \approx 6,37 \cdot 10^6\text{ m}$).

2. Pesquisa de satélites: Consulta no site da ESA ou da NASA a altitude e o período orbital de três satélites em órbitas circulares: ISS, um satélite Galileo e o Meteosat. Soma $R_T$ à altitude para calcular os seus raios orbitais $r$.

3. Tratamento de dados e gráfico: Elabora uma tabela com $r^3$ e $T^2$ para os satélites. Representa o gráfico de $T^2$ em função de $r^3$ e compara o declive obtido com o valor teórico $\frac{4\pi^2}{G M_T}$ calculado com o teu $g$ experimental.

4. Relatório final: Redige um relatório breve fundamentando as discrepâncias encontradas e justificando por que razão um satélite geoestacionário deve situar-se a uma altitude específica.

Avaliar-se-á:

• Rigor na realização das medições caseiras e no tratamento experimental de incertezas.

• Exatidão nos dados dos satélites e na representação gráfica da lei de Kepler.

• Coerência física na discussão crítica dos resultados e das fontes de erro.