Exercícios: A equação de ondas e a sua relação com o MHS

Num laboratório gera-se numa corda tensa uma onda transversal cuja equação, em unidades do Sistema Internacional, é $y(x, t) = 0,05 \cdot \sen(4 \cdot \pi \cdot x - 20 \cdot \pi \cdot t)$. A figura mostra o perfil da corda num instante.

1. a) Indica os valores da amplitude $A$, do número de onda $k$ e da frequência angular $\omega$.
2. b) Justifica, a partir do sinal que acompanha o termo em $t$ no interior da fase, em que sentido do eixo $x$ a onda se propaga.

Um diapasão vibra e gera no ar uma onda harmónica de frequência angular $\omega = 100 \cdot \pi\ \text{rad/s}$.

1. a) Calcula o seu período $T$, recordando que $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$.
2. b) Calcula a sua frequência $f$, em $\text{Hz}$.

Numa cuba de ondas do laboratório geram-se ondas na superfície da água com um número de onda $k = 2 \cdot \pi\ \text{rad/m}$. A figura mostra o perfil da superfície num instante.

1. a) Calcula o comprimento de onda $\lambda$, recordando que $\lambda = \frac{2 \cdot \pi}{k}$.
2. b) Explica pelas tuas palavras o que representa fisicamente o comprimento de onda observando o perfil da superfície.

O ouvido humano perceciona sons entre $20\ \text{Hz}$ e $20\ \text{kHz}$, e o som viaja pelo ar a $340\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula o comprimento de onda do som mais grave que conseguimos ouvir usando $v = \lambda \cdot f$.
2. b) Calcula o comprimento de onda do som mais agudo que conseguimos ouvir, exprimindo previamente $20\ \text{kHz}$ em hertz.
3. c) Justifica, tendo em conta os resultados, como varia o comprimento de onda quando a frequência aumenta se a velocidade não se alterar.

A equação $y(x, t) = A \cdot \sen(k \cdot x - \omega \cdot t)$ descreve uma perturbação duplamente periódica: no tempo e no espaço. Os dois gráficos da figura representam essa dupla periodicidade.

1. a) Se escolhermos um ponto fixo do meio (fixamos $x$), com que período oscila? Exprime-o em função de $\omega$.
2. b) Se observarmos o perfil da perturbação num instante fixo (fixamos $t$), a que distância se repete? Exprime-o em função de $k$.
3. c) Explica, a partir do que precede, por que razão se diz que o movimento ondulatório combina uma oscilação no tempo com uma periodicidade no espaço.

Por uma mola em espiral esticada propaga-se uma onda longitudinal cuja equação, em unidades do Sistema Internacional, é $y(x, t) = 0,04 \cdot \sen(2 \cdot \pi \cdot x - 10 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Calcula a sua frequência $f$ e o seu período $T$.
2. b) Calcula o seu comprimento de onda $\lambda$.
3. c) Calcula a sua velocidade de propagação usando $v = \frac{\omega}{k}$.

Quando uma onda harmónica atravessa um meio, cada ponto do meio oscila com um movimento harmónico simples (MHS).

1. a) Indica que grandezas do MHS de cada ponto coincidem com as da onda: pensa na amplitude e na frequência.
2. b) Indica que grandeza distingue a oscilação de um ponto próximo da fonte da de um ponto mais afastado.
3. c) Explica a diferença entre a velocidade de oscilação de um ponto do meio e a velocidade de propagação da onda.

Uma onda transversal propaga-se ao longo de uma corda de acordo com a equação, em unidades do Sistema Internacional, $y(x, t) = 0,03 \cdot \sen(5 \cdot x + 20 \cdot t)$.

1. a) Determina em que sentido do eixo $x$ a onda se propaga e justifica-o a partir do sinal da fase.
2. b) Calcula a sua velocidade de propagação a partir de $k$ e $\omega$.
3. c) Reescreve a equação alterando estritamente o necessário para que a onda se propagasse no sentido positivo do eixo.

Uma boia oceanográfica regista a passagem de um comboio de ondas de amplitude $1,5\ \text{m}$ e período $T = 4\ \text{s}$; a distância entre duas cristas consecutivas é de $25\ \text{m}$. A figura representa o perfil das ondas.

1. a) Calcula a frequência angular $\omega$ e o número de onda $k$.
2. b) Calcula a velocidade de propagação das ondas usando $v = \lambda \cdot f$.
3. c) Escreve a equação da onda assumindo fase inicial nula e propagação no sentido positivo do eixo $x$.

Ao longo de uma corda propaga-se uma onda harmónica cuja equação, em unidades do Sistema Internacional, é $y(x, t) = 0,02 \cdot \sen(10 \cdot \pi \cdot x - 200 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Calcula a elongação do ponto situado em $x = 0,5\ \text{m}$ no instante $t = 0,01\ \text{s}$.
2. b) Indica qual é a elongação máxima que esse ponto pode alcançar e justifica se depende do ponto escolhido.
3. c) Calcula o período com que esse ponto oscila.

Para estudar a fase de uma onda sonora de $f = 85\ \text{Hz}$ que se propaga no ar a $340\ \text{m/s}$, colocam-se dois microfones alinhados com o altifalante que a emite, como se mostra na figura.

1. a) Calcula o comprimento de onda do som.
2. b) Calcula a diferença de fase entre as oscilações de dois pontos separados por $1\ \text{m}$, usando $\Delta \varphi = \frac{2 \cdot \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$.
3. c) Os microfones são finalmente colocados a uma distância de $2\ \text{m}$: calcula o novo desfasamento e justifica se nesse caso os pontos oscilam em fase ou em oposição de fase.

Numa prospeção geológica gera-se uma onda sísmica harmónica de amplitude $0,01\ \text{m}$ e frequência $f = 10\ \text{Hz}$ que se propaga pelo terreno a $6000\ \text{m/s}$ no sentido positivo do eixo $x$.

1. a) Calcula o seu comprimento de onda e o seu número de onda.
2. b) Calcula a sua frequência angular.
3. c) Escreve a sua equação de onda sabendo que a fase inicial é $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}$.

Um ponto do centro de uma corda de violino oscila com amplitude $A = 5\cdot10^{-4}\ \text{m}$ quando a corda emite um lá de $f = 440\ \text{Hz}$.

1. a) Calcula a frequência angular da oscilação.
2. b) Sabendo que a velocidade máxima de oscilação de um MHS é $v_{max} = A \cdot \omega$, calcula a velocidade máxima desse ponto.
3. c) A onda propaga-se nessa corda a $250\ \text{m/s}$: compara esse valor com o da alínea anterior e justifica por que razão ambas as velocidades são tão distintas, embora sejam medidas na mesma corda.

Um gerador de ultrassons de laboratório emite ondas de $f = 40\ \text{kHz}$ que se propagam pelo ar a $340\ \text{m/s}$.

1. a) Exprime a frequência em hertz e calcula o comprimento de onda, em metros e em milímetros.
2. b) Calcula o período e exprime-o em segundos e em microssegundos ($1\ \mu\text{s} = 10^{-6}\ \text{s}$).
3. c) Justifica, sabendo que o ouvido humano perceciona no máximo cerca de $20\ \text{kHz}$, por que razão ninguém ouve o tom emitido pelo gerador.

A fotografia instantânea de uma corda mostra um perfil sinusoidal cujas cristas se elevam $5\ \text{cm}$ acima da posição de equilíbrio e distam entre si $80\ \text{cm}$; a perturbação avança pela corda a $2\ \text{m/s}$. A figura mostra essa fotografia instantânea.

1. a) Determina a amplitude e o comprimento de onda a partir da descrição da fotografia, exprimindo-os em metros.
2. b) Calcula a frequência, o período, a frequência angular e o número de onda.
3. c) Escreve a equação da onda com fase inicial nula e propagação no sentido positivo do eixo $x$, com todas as grandezas em unidades do Sistema Internacional.

Uma onda transversal de amplitude $0,04\ \text{m}$ e período $T = 0,5\ \text{s}$ propaga-se ao longo de uma corda a $8\ \text{m/s}$ no sentido negativo do eixo $x$.

1. a) Calcula a sua frequência angular.
2. b) Calcula o seu comprimento de onda e o seu número de onda.
3. c) Escreve a sua equação de onda com fase inicial nula, tendo em atenção o sinal da fase para que represente o sentido de propagação indicado.

Ao longo de uma corda de laboratório propaga-se uma onda harmónica de $f = 50\ \text{Hz}$ a $200\ \text{m/s}$. Na figura está representado o perfil da onda com três pontos assinalados: P, Q e R.

1. a) Calcula o seu comprimento de onda.
2. b) Calcula a distância mínima entre dois pontos da corda que oscilam em fase e justifica o resultado.
3. c) Calcula a distância mínima entre dois pontos que oscilam em oposição de fase.
4. d) Determina o desfasamento entre dois pontos separados por $3\ \text{m}$ e descreve como oscila um em relação ao outro.

Ao longo de uma corda esticada propaga-se no sentido positivo do eixo $x$ uma onda transversal de amplitude $0,05\ \text{m}$, frequência angular $\omega = 20 \cdot \pi\ \text{rad/s}$ e velocidade $10\ \text{m/s}$. No instante $t = 0$ o ponto da origem atinge a sua elongação máxima positiva.

1. a) Calcula o número de onda $k$.
2. b) Determina a fase inicial $\varphi_0$ impondo a condição $y(0, 0) = A$.
3. c) Escreve a equação da onda completa.
4. d) Calcula a elongação do ponto $x = 1\ \text{m}$ no instante $t = 0,05\ \text{s}$ e justifica o sinal do resultado.

Um cabo de aço de uma bancada de ensaios de vibrações tem uma densidade linear $\mu = 4\cdot10^{-3}\ \text{kg/m}$ e é submetido a uma tensão $T = 40\ \text{N}$; a velocidade das ondas transversais no cabo é $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$. Gera-se uma onda harmónica de amplitude $0,02\ \text{m}$ e frequência $f = 100\ \text{Hz}$ que se propaga no sentido positivo do eixo $x$ com fase inicial nula.

1. a) Calcula a velocidade de propagação da onda.
2. b) Calcula o comprimento de onda, o número de onda e a frequência angular.
3. c) Escreve a equação da onda.
4. d) Se a tensão duplicasse mantendo-se a mesma frequência, calcula as novas velocidade e comprimento de onda, e justifica por que razão mudam essas grandezas e não a frequência.

Num canal de ondas de laboratório propaga-se no sentido positivo do eixo $x$ uma onda de amplitude $0,1\ \text{m}$ e velocidade $4\ \text{m/s}$. No instante $t = 0$ o perfil da superfície, com as cristas separadas por $2\ \text{m}$, é dado por $y(x, 0) = 0,1 \cdot \sen(\pi \cdot x)$.

1. a) Determina $k$ e $\omega$ e escreve a equação da onda completa.
2. b) Exprime a elongação do ponto $x = 0,5\ \text{m}$ em função do tempo e justifica se imediatamente após $t = 0$ esse ponto sobe ou desce.
3. c) Verifica a elongação inicial do ponto $x = 1\ \text{m}$ e deduz em que sentido começa a mover-se.

Num exame ecográfico utilizam-se ultrassons de $f = 3,5\ \text{MHz}$ que se propagam pelo tecido mole a $1540\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula o comprimento de onda em metros e exprime-o em milímetros.
2. b) O eco refletido numa estrutura interna é recebido $8\cdot10^{-5}\ \text{s}$ após a emissão: tendo em conta que o pulso percorre duas vezes essa distância, calcula a profundidade da estrutura.
3. c) Justifica por que razão, para discernir pormenores de poucos milímetros, interessa trabalhar com frequências da ordem dos megahertz em vez de sons audíveis.

Uma onda harmónica de $f = 2\ \text{Hz}$ e amplitude $0,05\ \text{m}$ propaga-se no sentido positivo do eixo $x$ ao longo de uma corda leve a $6\ \text{m/s}$ e passa para uma segunda corda mais densa, unida à primeira, onde a sua velocidade é de $3\ \text{m/s}$. Na mudança de meio, a frequência conserva-se. Observa o esquema das duas cordas unidas:

1. a) Calcula o comprimento de onda em cada corda.
2. b) Escreve a equação de onda em cada uma das cordas, com fase inicial nula.
3. c) Indica que grandezas se conservam e quais mudam ao passar de uma corda para a outra.
4. d) Justifica, considerando a forma como oscila o ponto de união entre ambas as cordas, por que razão a frequência não pode mudar nesse ponto.

Uma onda transversal propaga-se ao longo de uma corda a $v = 50\ \text{m/s}$ com uma frequência de $25\ \text{Hz}$.

1. a) Obtém por derivação, a partir de $y = A \cdot \sen(k \cdot x - \omega \cdot t)$, a expressão da velocidade de oscilação de um ponto da corda e demonstra que o seu valor máximo é $A \cdot \omega$.
2. b) Calcula a amplitude que a onda deveria ter para que a velocidade máxima de oscilação dos pontos igualasse a velocidade de propagação.
3. c) Justifica, indicando a direção e o significado físico de cada uma, por que razão a velocidade de oscilação e a velocidade de propagação são grandezas completamente distintas.

Numa corda esticada observa-se que dois pontos separados por $1\ \text{m}$ oscilam sempre em fase.

1. a) Justifica que o comprimento de onda só pode tomar os valores $\lambda = \frac{1}{n}\ \text{m}$, com $n = 1, 2, 3, \dots$
2. b) Sabendo-se ainda que $\lambda > 0,4\ \text{m}$, determina todos os valores possíveis de $\lambda$.
3. c) A velocidade de propagação na corda é de $100\ \text{m/s}$: calcula a frequência correspondente a cada valor possível.
4. d) Propõe uma medição adicional que permitisse decidir qual dos valores é o real e justifica a tua proposta.