Exercícios: A lei da gravitação universal

Duas esferas de aço de $1\ \text{kg}$ cada uma estão colocadas de modo que os seus centros distam $1\ \text{m}$, como se mostra na figura.

Aplica a lei da gravitação universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, com $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, e calcula a força com que se atraem. Parece-te uma força grande ou pequena? Comenta.

Na lei da gravitação universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$:

1. a) Indica o que representa cada letra ($F$, $G$, $M$, $m$ e $r$) e em que unidade se mede no Sistema Internacional.
2. b) O valor de $G$ é $6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, um número muito pequeno. Explica que consequência tem isso para a força entre objetos de massa normal.

Dois colegas de turma, de $60\ \text{kg}$ e $70\ \text{kg}$ de massa, estão sentados de modo que os seus corpos distam $1\ \text{m}$ em média. Calcula a força de atração gravítica entre eles ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$) e expressa-a em notação científica.

Dois corpos atraem-se com uma força $F$, como mostra o gráfico da força em função da distância.

Sem alterar as massas, afastamo-los até que a distância entre eles seja o dobro. Observando a fórmula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, quanto valerá agora a força? Justifica.

Dois asteroides atraem-se com uma força $F$.

1. a) Se um deles tivesse o dobro da massa, qual seria a nova força?
2. b) E se ambos tivessem o dobro da massa?

Justifica ambas as respostas com a fórmula da gravitação universal.

Calcula a força com que a Terra atrai uma pessoa de $50\ \text{kg}$ situada à sua superfície, como se mostra na figura.

Dados: massa da Terra $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, raio terrestre $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Compara o resultado com o seu peso, $P = m\cdot g$ com $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: o que observas?

Um livro e a prateleira onde está apoiado atraem-se graviticamente, tal como a Terra e a Lua. No entanto, nunca vemos o livro mover-se em direção à prateleira. Pensando no valor de $G$, nas massas dos objetos e na fórmula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, explica por que razão não notamos a atração gravítica entre os objetos do dia a dia.

Quando deixas cair uma caneta, a Terra atrai-a para baixo; mas, segundo a lei da gravitação universal, a caneta também atrai a Terra com uma força de igual módulo.

1. a) Por que razão vemos apenas a caneta mover-se e não a Terra a subir ao seu encontro?
2. b) Justifica tendo em conta as massas de ambos os corpos e a aceleração que a mesma força produz em cada um.

Calcula a força de atração gravítica entre a Terra e a Lua, como se mostra na figura.

Dados: massa da Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, massa da Lua $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distância média entre os seus centros $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Expressa o resultado em notação científica, arredondando a duas casas decimais.

O Sol mantém a Terra em órbita atraindo-a. Calcula essa força com os seguintes dados: massa do Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, massa da Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, distância média entre os seus centros $r = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Depois, compara o resultado com a força Terra-Lua, de cerca de $2\cdot10^{20}\ \text{N}$: quantas vezes maior é?

Dois petroleiros gémeos, de $10^{6}\ \text{kg}$ de massa cada um, fundeiam com os seus centros de massa separados por $100\ \text{m}$.

1. a) Calcula a força gravítica com que se atraem ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compara essa força com a necessária para arrastar uma folha de papel sobre a mesa, da ordem de $0,01\ \text{N}$. Os navios notarão essa atração? Justifica.

Dois corpos atraem-se com uma força $F$.

1. a) Se a distância entre eles triplicar, por que fator se altera a força?
2. b) Se, além de triplicar a distância, se duplicar cada uma das duas massas, por que fator se altera a força total?

Justifica cada alínea com a fórmula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.

Um satélite geoestacionário de $1000\ \text{kg}$ orbita a uma distância do centro da Terra de $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, como se mostra na figura.

1. a) Calcula a força com que a Terra o atrai (massa da Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compara essa força com o peso do satélite quando estava à superfície, $P = m\cdot g$ com $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: quantas vezes menor é, aproximadamente?

Duas esferas metálicas idênticas, colocadas com os seus centros a $2\ \text{m}$ de distância, atraem-se com uma força de $6,67\cdot10^{-5}\ \text{N}$.

1. a) Escreve a lei da gravitação universal chamando $m$ à massa de cada esfera (são ambas iguais!).
2. b) Isola $m$ da fórmula e calcula a massa de cada esfera ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).

Um satélite de $500\ \text{kg}$ está à superfície da Terra, onde o planeta o atrai com uma força de $4900\ \text{N}$, como se mostra na figura.

1. a) Raciocinando com o fator $\frac{1}{r^2}$ da lei da gravitação, com que força a Terra o atrairá quando orbitar a uma distância do centro do planeta igual ao dobro do raio terrestre?
2. b) Se o raio da Terra é $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, a que altitude acima da superfície estará então o satélite?

Calcula a força gravítica entre uma pessoa de $80\ \text{kg}$ e um camião de $5000\ \text{kg}$ estacionado a $10\ \text{m}$ de distância ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$). Depois, calcula o peso de um mosquito de $2\ \text{mg}$ de massa ($P = m\cdot g$, com $g = 9,8\ \text{m/s}^2$; atenção às unidades) e compara ambas as forças. Que conclusão retiras sobre a atração gravítica entre objetos do dia a dia?

Vamos deduzir o valor de $g$ à superfície da Terra a partir da lei da gravitação universal.

1. a) Escreve a força que a Terra exerce sobre um corpo de massa $m$ de duas formas: como $F = m\cdot g$ e como $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.
2. b) Iguala as duas expressões, simplifica a massa $m$ e isola $g$.
3. c) Calcula o seu valor com $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Que valor tão conhecido obténs?

Duas massas fixas, de $100\ \text{kg}$ e $400\ \text{kg}$, estão separadas por $3\ \text{m}$. Queremos colocar uma terceira massa na linha que as une, entre ambas, de modo que a força gravítica resultante sobre ela seja zero, como se mostra na figura.

1. a) Se $x$ for a distância da terceira massa à de $100\ \text{kg}$, escreve a igualdade entre as duas forças que atuam sobre ela.
2. b) Resolve a equação e calcula $x$ (pista: simplifica primeiro $G$ e a terceira massa, e depois calcula as raízes quadradas).
3. c) O resultado depende do valor da terceira massa? E de $G$? Comenta.

A que distância do centro da Terra a força gravítica sobre um corpo se reduz a metade da que este sente à superfície?

1. a) Formula a igualdade utilizando o facto de a força diminuir com $\frac{1}{r^2}$.
2. b) Isola $r$ em função do raio terrestre $R_T$ (vai aparecer-te um $\sqrt{2}$).
3. c) Com $R_T = 6370\ \text{km}$, calcula a que altitude acima da superfície é necessário subir, em quilómetros. Achas que um avião comercial, que voa a cerca de $10\ \text{km}$ de altitude, nota essa diminuição? Justifica a resposta.

O Sol atrai a Lua, e a Terra também a atrai. Calcula as duas forças sobre a Lua com estes dados: massa do Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, massa da Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, massa da Lua $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distância Sol–Lua $\approx 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$, distância Terra–Lua $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Quantas vezes maior é a atração do Sol sobre a Lua do que a da Terra?
2. b) Se o Sol puxa a Lua com mais força, porque é que a Lua continua a orbitar a Terra em vez de escapar em direção ao Sol? Pista: pensa em que outros corpos o Sol também atrai em simultâneo.

Um exoplaneta rochoso tem o quádruplo da massa da Terra e o dobro do raio, como se mostra na figura.

1. a) Utilizando $g = \frac{G\cdot M}{R^2}$, justifica por que fator varia a gravidade na sua superfície em relação à terrestre.
2. b) Quanto pesaria lá uma astronauta de $60\ \text{kg}$ (considera a gravidade terrestre como $9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) E se o planeta tivesse o quádruplo da massa mas o mesmo raio da Terra? Calcula o novo peso da astronauta.

Newton verificou a sua lei comparando a queda dos corpos na superfície com o movimento da Lua.

1. a) Calcula a força que a Terra exerce sobre um corpo de $1\ \text{kg}$ na sua superfície ($r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcula a força que exerceria sobre esse mesmo corpo se este estivesse à distância da Lua ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$).
3. c) Verifica que a segunda força é cerca de $3600$ vezes menor e relaciona esse valor com o quociente entre as duas distâncias, que é de cerca de $60$. Que lei fica confirmada?

Imagina que a Terra era comprimida até ficar com metade do raio, conservando toda a sua massa.

1. a) Justificando com $g = \frac{G\cdot M}{R^2}$, por que fator mudaria a gravidade na sua superfície?
2. b) Quanto pesaria, então, uma pessoa de $70\ \text{kg}$? (Considera o $g$ atual como $9,8\ \text{m/s}^2$.)
3. c) Comenta uma consequência que esta alteração teria para a vida nesse mundo.

Uma nave viaja em linha reta da Terra para a Lua. Há um ponto do trajeto no qual as atrações gravíticas de ambas se compensam, como se mostra na figura.

1. a) Se $x$ for a distância da nave ao centro da Terra, formula a igualdade entre as forças que a Terra e a Lua exercem sobre a nave (distância Terra–Lua: $3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$).
2. b) Verifica numericamente que a igualdade se verifica para $x \approx 3,46\cdot10^{8}\ \text{m}$.
3. c) Esse ponto fica a $90\ \%$ do percurso total. Explica, tendo em conta as massas da Terra e da Lua, porque está tão perto desta última.