Exercícios: Tratamento vetorial: cargas livres em campos

Uma carga de teste $q = 2\,\mu\text{C}$, colocada num ponto de um dispositivo de laboratório, experimenta uma força elétrica de $0,06\ \text{N}$. A situação está representada na figura.

1. a) Calcula a intensidade do campo elétrico nesse ponto, $E = \frac{F}{q}$, e indica a sua unidade no Sistema Internacional.
2. b) Sendo a carga positiva, que relação têm a direção e o sentido de $\vec{E}$ com os da força $\vec{F}$?

Para medir o campo elétrico num ponto utiliza-se uma carga de teste.

1. a) Explica o que é uma carga de teste e porque convém que o seu valor seja pequeno, de modo a não perturbar as cargas que criam o campo.
2. b) Escreve a expressão do campo criado por uma carga pontual $Q$ a uma distância $r$ e justifica, a partir dela, por que razão o campo não depende da carga de teste utilizada para o medir.

Uma pequena esfera com carga de $Q = 5\,\mu\text{C}$ cria um campo elétrico à sua volta (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Observa o esquema:

1. a) Calcula o módulo do campo a $0,3\ \text{m}$ da esfera.
2. b) Indica a direção e o sentido do campo nesse ponto, justificando a partir do sinal da carga.

A partir da definição $E = \frac{F}{q}$, indica quais destas expressões são unidades válidas para a intensidade do campo elétrico e justifica cada resposta:

1. a) $\text{N/C}$
2. b) $\text{N}\cdot\text{C}$
3. c) $\text{V/m}$ (tem em conta que $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$)
4. d) $\text{J/C}$

Entre as placas de um condensador existe um campo elétrico uniforme $\vec{E} = 3\cdot10^{4}\,\vec{j}\ \text{N/C}$. No seu interior coloca-se uma partícula com carga $q = -4\,\mu\text{C}$, como se mostra na figura.

1. a) Calcula o vetor força elétrica sobre a partícula, $\vec{F} = q \cdot \vec{E}$, exprimindo-o com o respetivo vetor unitário.
2. b) Justifica por que razão, sendo a carga negativa, a força tem sentido oposto ao do campo.

Uma sonda espacial acumula, devido ao bombardeamento de partículas solares, uma carga líquida de $2\ \text{nC}$ (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Supõe a sonda aproximadamente pontual.

1. a) Calcula o módulo do campo elétrico que cria a $10\ \text{cm}$ da sua superfície (exprime a distância em metros).
2. b) Calcula também o campo a $1\ \text{m}$ e verifica por que fator se reduziu ao multiplicar a distância por dez.

Desenha no caderno as linhas de campo elétrico criado por uma carga pontual positiva e, à parte, as de uma carga pontual negativa.

1. a) O que indica o sentido das setas das linhas? Relaciona-o com a força que atuaria sobre uma carga de teste positiva.
2. b) Onde é mais intenso o campo, de acordo com o teu desenho? Relaciona-o com a expressão $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

O campo criado por uma carga pontual vale $E$ a uma distância $r$.

1. a) Justifica, usando a expressão $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$, que valor terá o campo a uma distância $2 \cdot r$ e a uma distância $\frac{r}{3}$.
2. b) Se a $0,5\ \text{m}$ de determinada carga o campo vale $7200\ \text{N/C}$, calcula o seu valor a $1\ \text{m}$ sem necessidade de usar a constante $K$.

Um sensor mede um campo elétrico de $4500\ \text{N/C}$ a $2\ \text{m}$ do centro de uma esfera metálica carregada do laboratório; o campo aponta para a esfera (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). A situação está representada na figura.

1. a) Isola a carga da expressão $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$ e calcula o seu valor absoluto.
2. b) Justifica, a partir do sentido do campo medido, qual é o sinal da carga da esfera.

Num tubo de raios catódicos, um eletrão atravessa uma região com campo elétrico uniforme $E = 1000\ \text{N/C}$ (dados: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa do eletrão $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$).

1. a) Calcula a força elétrica sobre o eletrão.
2. b) Calcula a sua aceleração aplicando a segunda lei de Newton, $a = \frac{F}{m_e}$.

Uma carga pontual $Q = 4\ \text{nC}$ está na origem das coordenadas (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Observa o esquema:

1. a) Calcula o módulo do campo elétrico no ponto $P(3, 4)$, com as coordenadas em metros.
2. b) O vetor unitário radial nesse ponto é $\vec{u}_r = \frac{3}{5}\,\vec{i} + \frac{4}{5}\,\vec{j}$. Escreve o vetor $\vec{E}$ em função de $\vec{i}$ e $\vec{j}$.

Duas cargas pontuais $q_1 = 3\,\mu\text{C}$ e $q_2 = -2\,\mu\text{C}$ encontram-se sobre o eixo $x$, em $x_1 = 0$ e $x_2 = 1\ \text{m}$ (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). A figura mostra a disposição das cargas.

1. a) Calcula o campo (módulo e sentido) que cada carga cria no ponto $x = 3\ \text{m}$.
2. b) Aplica o princípio da sobreposição e calcula o campo total nesse ponto, indicando a sua direção e o seu sentido.

Duas cargas idênticas $q = 5\ \text{nC}$ estão separadas por $40\ \text{cm}$ (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Justifica, desenhando os vetores no caderno, quanto vale o campo total no ponto médio do segmento que une as cargas.
2. b) Calcula o campo total (módulo, direção e sentido) num ponto do segmento situado a $10\ \text{cm}$ de uma das cargas.

Uma carga $Q = 8\ \text{nC}$ está fixa num suporte isolador do laboratório (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula o campo elétrico (módulo, direção e sentido) a $25\ \text{cm}$ da carga.
2. b) Calcula a força (módulo, direção e sentido) que atuaria sobre uma carga $q_0 = 3\,\mu\text{C}$ colocada nesse ponto, usando $\vec{F} = q_0 \cdot \vec{E}$.

O manual de um instrumento de diagnóstico médico exige que o campo elétrico na sua posição não ultrapasse $500\ \text{N/C}$. Na mesma sala funciona um equipamento que acumula uma carga pontual de $2\ \text{nC}$ (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Isola a distância da expressão $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$ e calcula a que distância mínima do equipamento se deve instalar o instrumento.
2. b) Se for finalmente instalado ao dobro dessa distância, por que fator se reduz o campo? Justifica a resposta.

Um protão está entre as placas de um condensador, onde o campo elétrico é uniforme e vale $E = 2\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ (dados: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa do protão $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; considera $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula a força elétrica sobre o protão.
2. b) Calcula o seu peso.
3. c) Calcula o quociente entre ambas as grandezas e retira uma conclusão: em física de partículas, pode desprezar-se a gravidade face à força elétrica?

Duas cargas pontuais $q_1 = 4\,\mu\text{C}$ e $q_2 = -4\,\mu\text{C}$ ocupam, respetivamente, a origem das coordenadas e o ponto $(0, 3)$, com as coordenadas em metros (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Pretende-se determinar o campo no ponto $P(4, 0)$. Observa o esquema:

1. a) Calcula o vetor $\vec{E}_1$ criado por $q_1$ em $P$.
2. b) Calcula o módulo do campo criado por $q_2$ em $P$ e, tendo em conta que esse campo aponta de $P$ para a carga negativa (vetor unitário $-\frac{4}{5}\,\vec{i} + \frac{3}{5}\,\vec{j}$), escreve o vetor $\vec{E}_2$.
3. c) Aplica o princípio da sobreposição: calcula o vetor campo total em $P$ e o seu módulo.

Duas cargas pontuais $q_1 = 1\,\mu\text{C}$ e $q_2 = 4\,\mu\text{C}$ encontram-se sobre o eixo $x$, em $x_1 = 0$ e $x_2 = 3\ \text{m}$ (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). A figura mostra as três regiões do eixo.

1. a) Justifica, analisando o sentido do campo de cada carga, em qual das três regiões do eixo (à esquerda de $q_1$, entre as cargas ou à direita de $q_2$) se pode anular o campo total.
2. b) Formula a condição de campo nulo nessa região e calcula o ponto exato.
3. c) Confirma o resultado verificando que nesse ponto os dois campos têm o mesmo módulo.

Numa impressora de jato de tinta, as gotas de tinta carregadas são desviadas por um campo elétrico. Para estudar o princípio, considera um eletrão que entra com velocidade horizontal $v_0 = 3\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ numa região de comprimento $L = 10\ \text{cm}$ onde existe um campo vertical uniforme $E = 10^{4}\ \text{N/C}$, perpendicular à sua velocidade (dados: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa do eletrão $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). O esquema mostra a montagem.

1. a) Calcula a aceleração do eletrão na região do campo e indica a sua direção e o seu sentido.
2. b) Calcula o tempo que demora a atravessar a região.
3. c) Supondo o movimento horizontal uniforme e o vertical uniformemente acelerado (como no lançamento parabólico), calcula o desvio vertical à saída, $y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.
4. d) Justifica que forma tem a trajetória dentro do campo e que tipo de movimento tem o eletrão depois de sair dele.

Duas cargas pontuais $q_1 = q$ e $q_2 = -2 \cdot q$, com $q > 0$, encontram-se sobre o eixo $x$, em $x_1 = 0$ e $x_2 = 3\ \text{m}$ (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Prevê, justificando com o sentido dos campos e com o valor absoluto das cargas, em que região do eixo se pode anular o campo total: entre as cargas ou fora do segmento? E de que lado?
2. b) Formula a equação de campo nulo e resolve-a, obtendo o ponto exato.
3. c) Explica por que razão o resultado não depende do valor de $q$.

Três cargas idênticas $q = 2\ \text{nC}$ ocupam os vértices de um triângulo equilátero de lado $30\ \text{cm}$ (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Observa o esquema:

1. a) Justifica, por simetria (os três vetores campo no centro formam entre si ângulos de $120^\circ$), que o campo total no centro do triângulo é nulo.
2. b) Retira-se uma das cargas. Tendo em conta que o campo das três era nulo, justifica que o campo das duas restantes é exatamente o oposto do que a carga retirada criava, e calcula o seu módulo (a distância de cada vértice ao centro é $\frac{0,3}{\sqrt{3}}\ \text{m}$).
3. c) Indica a direção e o sentido do campo resultante em relação ao vértice que ficou vazio.

Duas cargas idênticas $q = 5\,\mu\text{C}$ ocupam dois vértices contíguos, $A(0, 20)$ e $B(20, 20)$, de um quadrado de lado $20\ \text{cm}$, com as coordenadas em centímetros (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $\cos 45^\circ \approx 0,71$). Estuda-se o vértice $D(0, 0)$. A figura mostra a disposição.

1. a) Calcula o campo (módulo, direção e sentido) que a carga situada em $A$ cria em $D$.
2. b) Calcula o módulo do campo que a carga situada em $B$ cria em $D$ (tem em conta que a distância é a diagonal do quadrado) e decompõe-o nas suas componentes.
3. c) Soma os vetores e calcula o módulo do campo total em $D$.
4. d) Calcula o módulo da força que atuaria sobre uma carga $Q = -2\,\mu\text{C}$ colocada em $D$.

O teu colega calcula o campo elétrico no ponto médio do segmento que une uma carga $q_1 = 6\,\mu\text{C}$ a outra $q_2 = -6\,\mu\text{C}$, separadas por $20\ \text{cm}$, e escreve: «o campo é zero, porque as cargas são opostas e cancelam-se» (considera $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Explica o erro: desenha no caderno os vetores $\vec{E}_1$ e $\vec{E}_2$ no ponto médio e justifica que sentido tem cada um.
2. b) Calcula o campo correto (módulo, direção e sentido) nesse ponto.
3. c) Para que par de cargas com o mesmo valor absoluto seria correto o resultado do teu colega? Justifica-o.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa câmara de um acelerador linear de partículas existe um campo elétrico vertical uniforme $E = 5\cdot10^{3}\ \text{N/C}$. Nela entram, separadamente e com a mesma velocidade horizontal, um protão e um eletrão (dados: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa do eletrão $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; massa do protão $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$).

1. a) Compara os módulos das forças elétricas sobre ambas as partículas e justifica por que razão são iguais.
2. b) Calcula a aceleração de cada uma.
3. c) Calcula o quociente $\frac{a_e}{a_p}$ e relaciona-o com o quociente de massas $\frac{m_p}{m_e}$.
4. d) Prevê e justifica: as duas partículas desviam-se para o mesmo lado? No mesmo tempo de voo, qual se desvia mais e quantas vezes mais?