Exercícios: Juros bancários

Após trabalhares durante o verão como monitor de campo de férias, conseguiste poupar $1500 \text{ €}$. Decides abrir uma conta poupança que te oferece juros simples de $2,5 \%$ anual. Se mantiveres o dinheiro no banco durante exatamente um ano sem efetuar qualquer movimento:

1. a) Qual será o juro ($I$) que o teu capital gerará no final do ano?
2. b) Qual será o capital final ($C_f$) disponível na tua conta?

Para comprar um tablet de última geração que custa $600 \text{ €}$, pedes um pequeno empréstimo a uma instituição financeira que te cobra juros simples de $6 \%$ anual. Se te comprometeres a devolver o dinheiro juntamente com os juros num único pagamento ao fim de 8 meses, calcula:

1. a) A taxa ($r$) expressa em taxa unitária.
2. b) O tempo ($t$) expresso em anos.
3. c) O juro total que deverás pagar pelo empréstimo.

Os teus avós deram-te $2000 \text{ €}$ pelo teu 16.º aniversário e decides investi-los num produto bancário a juros compostos de $3 \%$ anual durante 3 anos. Por se tratar de juros compostos, os juros são capitalizados anualmente (são adicionados ao capital para gerar novos juros).

Calcula o capital final ($C_f$) que terás ao cabo dos 3 anos utilizando a fórmula:

Observe a seguinte publicidade de um banco destinada a jovens poupadores:

"Faça as suas economias crescer! Deposite $3000 \text{ €}$ connosco e ao fim de dois anos devolver-lhe-emos $3180 \text{ €}$."

Supondo que o banco aplique juros simples anuais, identifique os seguintes elementos financeiros:

1. Capital inicial ($C_0$).

2. Tempo da operação ($t$).

3. Juro total gerado ($I$).

4. Taxa de juro anual ($R$) em percentagem.

Calcule que capital inicial ($C_0$) deveríamos depositar numa conta bancária para que, com juros simples de $4 \%$ anual, obtenhamos exatamente $120 \text{ €}$ de juros ao fim de um ano.

Uma plataforma de microcrédito em linha oferece dinheiro rápido com juros simples de $1 \%$ mensal. Se um utilizador pedir $400 \text{ €}$ para reparar a sua mota e planear devolver tudo ao fim de um trimestre (3 meses):

1. a) Qual é o juro que pagará em cada mês?
2. b) Qual é a quantia total (capital + juros) que devolverá ao terminar os três meses?

Um banco oferece dois tipos de contas para jovens:

• Conta A: Juros simples de $3,1 \%$ anual.

• Conta B: Juros compostos de $3 \%$ anual.

Se fores depositar $1000 \text{ €}$ durante um único ano, qual das duas contas te dará um benefício maior no final desse ano? Justifica a tua resposta realizando os cálculos necessários.

Representa graficamente o crescimento dos juros acumulados de um investimento de $1000 \text{ €}$ a um juro simples de $5 \%$ anual durante os primeiros 4 anos.

Completa primeiro a tabela de valores (juros acumulados no final de cada ano) antes de desenhar o gráfico:

• Ano 1: $I = \dots$

• Ano 2: $I = \dots$

• Ano 3: $I = \dots$

• Ano 4: $I = \dots$

Depois, desenha uns eixos: o tempo (em anos, de 0 a 4) no eixo horizontal e o juro (em €) no eixo vertical. Escolhe uma escala adequada, marca os pontos da tabela (mais o ponto do ano 0) e une-os.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

A Beatriz quer rentabilizar $2\,500$ € abrindo um depósito a prazo fixo de $3$ anos a $4$ % de juro nominal anual com liquidação trimestral de juros. Ao resolver o exercício para descobrir quanto dinheiro terá no final, escreve no seu caderno:

1. a) Localiza e explica fundamentadamente o erro concetual que a Beatriz cometeu na sua abordagem, indicando por que razão o resultado obtido é incoerente com as condições acordadas.
2. b) Corrige o cálculo aplicando a fórmula adequada de capitalização fracionada e determina o capital final exato que receberá.

Um banco promove uma conta poupança a $5$ anos com uma taxa de juro nominal anual de $3$ % e capitalização mensal de juros, na qual decides depositar $10\,000$ € sem efetuar levantamentos.

1. a) Sem aplicar ainda a fórmula do juro composto fracionado, faz uma estimativa rápida do benefício total aproximado calculando os juros através da fórmula do juro simples. Justifica se o capital final real obtido com o juro composto mensal será maior, menor ou igual à tua estimativa prévia.
2. b) Calcula com precisão o capital final e os juros reais gerados utilizando a fórmula de capitalização composta fracionada.
3. c) Compara ambos os resultados e fundamenta se a capitalização mensal representa uma diferença económica substancial ou moderada face ao cálculo simples para este prazo e taxa de juro.

O Marcos recebeu um prémio de $6\,000$ € e decide investi-lo durante 4 anos. O banco oferece-lhe duas opções diferentes para rentabilizar o dinheiro:

• Opção A: Um depósito a juro simples com uma taxa anual de $4,5$ %.

• Opção B: Uma conta poupança a juro composto com uma taxa anual de $4,2$ % e capitalização anual dos juros.

Calcula o capital final que obteria com cada opção e justifica qual das duas é mais vantajosa economicamente no final dos 4 anos.

Uma instituição financeira oferece um plano de investimento com uma taxa de juro nominal anual de $3,6$ %. Para atrair diferentes perfis de aforradores, permite escolher a frequência com que os juros são creditados na conta. Se uma pessoa investir um capital inicial de $12\,000$ € durante 5 anos, determine a diferença entre o capital final obtido se a capitalização for:

1. a) Semestral.
2. b) Mensal.

Exprima os resultados arredondando aos cêntimos.

O banco "Futuro Seguro" anuncia uma conta de poupança com uma taxa de juro nominal anual de $5$ %, realizando o crédito de juros de forma trimestral. Calcule a Taxa Anual Efetiva (TAE) deste produto financeiro. Se o banco decidisse alterar a liquidação para uma periodicidade mensal mantendo a mesma TAE, qual deveria ser a nova taxa de juro nominal anual?

Sara quer realizar uma viagem de voluntariado internacional daqui a alguns anos. O custo total estimado do projeto é de $4\,500$ €. Atualmente, dispõe de $3\,200$ € que depositou numa conta que lhe oferece $3,75$ % de juros compostos anuais. Utilizando logaritmos, calcule quanto tempo (expresso em anos e meses) deverá manter o dinheiro investido para alcançar exatamente a quantia necessária para a sua viagem.

Um aluno do 11.º ano decide abrir um plano de poupança juvenil. Para isso, compromete-se a depositar $100$ € no início de cada mês durante os próximos 10 anos. Se a instituição financeira lhe assegura uma taxa anual de $3$ % com capitalização mensal dos juros, que capital total terá acumulado no final dos 10 anos?

Para financiar a compra de um carro elétrico que custa $24\,000$ €, uma família dá uma entrada de $6\,000$ € e financia o restante mediante um empréstimo bancário a uma taxa de juro nominal de $6$ % anual. O empréstimo deve ser amortizado em 5 anos mediante prestações mensais iguais pagas no final de cada mês.

1. a) Calcule o valor da prestação mensal que a família deve pagar.
2. b) Qual é o valor total de juros que a família acabará por pagar ao banco após os 5 anos?

Um jovem empreendedor solicita um microcrédito de $8\,000$ € para comprar equipamento informático. O banco oferece-lhe duas modalidades de devolução:

• Modalidade 1: Pagamento único no final de 3 anos com juros compostos de $7$ % ao ano.

• Modalidade 2: Amortização mediante prestações anuais constantes durante 3 anos a uma taxa de juro nominal de $7,5$ %.

Calcule quanto dinheiro paga a mais a título de juros na modalidade que resultar mais cara.

Investimos $15\,000$ € num produto financeiro que oferece juros compostos com capitalização trimestral. Ao cabo de dois anos, o capital transformou-se em $16\,254,47$ €. Determine a taxa anual (percentagem de juros nominais) à qual se realizou a operação. Arredonde a percentagem final para um número inteiro.

A Paula precisa de juntar exatamente $12\,000$ € daqui a $4$ anos para comprar uma carrinha em segunda mão. Para o conseguir, recorre a duas entidades bancárias para realizar uma única contribuição inicial hoje:

• Entidade A: Oferece-lhe um depósito com um juro nominal de $3,6$ % anual com capitalização mensal de juros.

• Entidade B: Exige-lhe que deposite exatamente $10\,000$ € hoje, garantindo-lhe alcançar os $12\,000$ € ao fim dos $4$ anos mediante capitalização anual de juros.

1. a) Apresenta a equação correspondente à Entidade A e calcula que capital inicial exato deve a Paula depositar hoje para atingir o seu objetivo.
2. b) Para a Entidade B, apresenta a equação que relaciona o capital inicial com o capital final e isola a taxa de juro nominal anual ($r$) que lhe estão realmente a aplicar. Arredonda a percentagem resultante a duas casas decimais.

De acordo com dados do Banco de Espanha sobre depósitos remunerados para famílias, uma família analisa duas alternativas para aplicar $6\,000$ € das suas poupanças durante um período de $2$ anos:

• Opção A (Depósito a Prazo): Oferece um juro composto de $2,8$ % anual com capitalização trimestral e sem comissões de qualquer tipo.

• Opção B (Conta Fidelidade): Oferece um juro nominal de $3,4$ % anual com capitalização anual, mas aplica uma comissão fixa de manutenção e gestão de $25$ € que é descontada no final de cada um dos dois anos após a liquidação dos juros.

1. a) Modela matematicamente a evolução do dinheiro em ambas as opções ano a ano e calcula o saldo final disponível após os $2$ anos em cada uma.
2. b) Supõe que o capital inicial é uma variável $C$ desconhecida. Apresenta a inequação que permite deduzir a partir de que quantia mínima inicial seria mais vantajosa a Opção B face à Opção A para esse mesmo prazo de $2$ anos (considerando capitalização anual em ambas para a comparação). Interpreta o resultado em termos de custos fixos face ao rendimento percentual.

Um jovem que acaba de conseguir o seu primeiro emprego solicita um empréstimo de $15\,000$ € para comprar um carro. O banco oferece-lhe duas opções:

• Opção A: Taxa de juro nominal de $6,5\%$ anual com capitalização mensal e uma comissão de abertura de $2\%$ que é somada ao capital inicial.

• Opção B: Taxa de juro nominal de $7,2\%$ anual com capitalização trimestral, sem comissão de abertura, mas com uma despesa fixa de manutenção de $15$ € por trimestre.

Calcule a TAE real de ambas as opções para um período de um ano e determine fundamentadamente qual é a mais vantajosa se o empréstimo for devolvido integralmente no final do primeiro ano.

Uma família decide abrir um plano de poupança-reforma para a sua filha recém-nascida. Deposita $100$ € no início de cada mês numa conta com taxa de juro nominal de $4,8\%$ anual, capitalizável mensalmente. Quer saber em que momento o capital acumulado superará $50\,000$ €. Utiliza logaritmos para calcular o número exato de meses necessários e exprime o resultado final em anos e meses.

Para financiar a compra de um veículo híbrido de $28\,000$ €, uma pessoa sensibilizada para o ambiente subscreve um empréstimo a $6$ anos com uma taxa de juro de $5,5\%$ anual. Depois de ter pago exatamente as primeiras $36$ mensalidades, recebe uma herança e decide fazer uma amortização parcial de $8\,000$ €. Se decidir manter o prazo restante do empréstimo, quanto dinheiro poupará em juros totais relativamente ao plano original?

Um investidor analisa um produto de poupança que oferece juros compostos de $3,2\%$ anual com capitalização diária (considere anos de $360$ dias). Se a inflação média prevista para os próximos $5$ anos for de $2,5\%$ anual, calcule a rentabilidade real líquida (poder de compra ganho) de um investimento inicial de $10\,000$ € ao fim desse tempo. Dica: Compara o montante final obtido com o valor que o dinheiro deveria ter para manter o seu valor face à inflação.

Contrata-se um crédito à habitação de $180\,000$ € a $25$ anos com uma taxa de juro de $2,25\%$ anual. O contrato inclui uma cláusula de "período de carência" de $2$ anos, durante os quais o cliente só paga mensalmente os juros gerados, sem amortizar capital. Calcule:

1. A prestação mensal durante os dois primeiros anos.

2. A prestação mensal definitiva para os $23$ anos restantes.

Uma jovem abre uma conta-poupança a prazo com $10\,000$ € com o objetivo de juntar a entrada para o seu primeiro apartamento. A entidade concorda em devolver o capital mais os juros acumulados num único pagamento quando o montante tiver triplicado. Se a taxa de juro acordada for de $12\%$ anual com capitalização semestral, quantos anos e meses terão de passar para que se realize esse pagamento? Utiliza logaritmos no processo.

Um fundo de investimento garante um montante de $30\,000$ € dentro de $10$ anos mediante entregas fixas anuais no início de cada ano. A taxa de juro é de $3,5\%$ anual. No entanto, devido a uma crise financeira, no final do quinto ano a taxa de juro desce para $2\%$ anual durante o restante período. Se o investidor mantiver as suas entregas anuais iguais às calculadas originalmente, que capital terá realmente no final dos $10$ anos?

Calcule o capital inicial necessário que uma pessoa deve depositar numa instituição financeira que oferece $4,2\%$ de taxa de juro nominal anual com capitalização mensal, para que os seus herdeiros possam receber um rendimento mensal de $1\,500$ € de forma perpétua (considere o limite quando o número de anos tende para infinito, ou simplesmente o capital que gera esses juros todos os meses sem ser reduzido). Qual seria a TAE desta operação?

Uma família pede um empréstimo pessoal de $30\,000$ € a $6$ % de juro nominal anual para remodelar a sua habitação, a reembolsar em $5$ anos ($60$ meses). A entidade bancária propõe-lhes dois métodos de pagamento diferentes para liquidar o empréstimo:

• Método 1 (Amortização mensal padrão): Pagam desde o primeiro mês uma prestação fixa mensal de $579,98$ €.

• Método 2 (Carência durante o primeiro ano): Durante os primeiros $12$ meses pagam apenas os juros mensais gerados pela dívida (período de carência). A partir do mês $13$, e durante os $4$ anos restantes ($48$ meses), passam a pagar uma prestação mensal constante de $704,55$ €.

1. a) Para o Método 1, calcula a discriminação do mês 1: determina que parte da prestação se destina ao pagamento de juros, quanto dinheiro amortiza dívida real e qual é a dívida em dívida no início do mês 2.
2. b) Para o Método 2, calcula a prestação fixa mensal que pagarão durante os primeiros $12$ meses de carência e determina a soma total de dinheiro desembolsado ao longo dos $5$ anos em cada um dos dois métodos.
3. c) Justifica detalhadamente por que razão o Método 2 se torna economicamente mais caro no seu conjunto, apoiando-te no conceito de dívida em dívida e em como a amortização influencia o cálculo dos juros de períodos sucessivos.

Um trabalhador de $30$ anos, em Portugal, decide planear a sua reforma para os $65$ anos (daqui a $35$ anos). Para isso, depositará uma quantia fixa $A$ no início de cada ano num plano de investimento que garante um juro composto de $4$ % anual com capitalização anual.

1. a) Sabendo que a primeira contribuição gera juros durante $35$ anos, a segunda durante $34$ anos, e assim sucessivamente até à última contribuição (que gera juros durante $1$ ano), deduz a expressão algébrica do capital final acumulado como a soma dos termos de uma progressão geométrica, demonstrando que:

1. b) Se o objetivo definido for acumular um capital final de $150\,000$ € na altura da reforma, calcula o valor exato da contribuição anual $A$ que deve realizar.
2. c) Se em vez de começar aos $30$ anos tivesse adiado o início do plano até aos $45$ anos (dispondo apenas de $20$ anos de contribuições anuais aos mesmos $4$ % de juro para atingir idêntico objetivo de $150\,000$ €), calcula a nova contribuição anual necessária. Tendo em conta ambos os resultados, fundamenta matematicamente o impacto do fator temporal e a não linearidade do juro composto na acumulação de capital.