Exercícios: População e amostra

Uma fábrica de componentes eletrónicos produz um lote de $5000$ resistências. Para verificar a sua qualidade, o departamento de controlo seleciona e analisa $150$ resistências. Identifique a população, a amostra, o indivíduo e a dimensão da amostra neste estudo estatístico.

Classifique as seguintes variáveis estatísticas em qualitativas, quantitativas discretas ou quantitativas contínuas:

• A cor da pelagem de uma espécie de raposa.

• O número de satélites naturais dos planetas do sistema solar.

• A massa em quilogramas das encomendas postais de uma empresa de entregas.

• A marca dos computadores de uma sala de informática.

Num concelho de $24000$ habitantes, pretende-se realizar um estudo sobre os hábitos de leitura. Para isso, são entrevistados $800$ cidadãos. Determine qual é a população em estudo, qual é a amostra e qual é a dimensão da amostra.

Uma empresa de software quer conhecer a opinião dos seus utilizadores sobre uma nova atualização da sua aplicação. Explique brevemente em que situação a empresa realizaria um censo e em que situação realizaria um estudo amostral.

Numa reserva natural habitam $3400$ cervos. Uma equipa de biólogos decide obter uma amostra equivalente a $15\%$ da população para realizar um estudo de saúde. Calcule o tamanho da amostra que devem selecionar.

Indique se as seguintes variáveis quantitativas são discretas ou contínuas:

1. a) O volume de água numa barragem medido em hectómetros cúbicos.
2. b) O número de batimentos por minuto de um atleta após uma corrida.
3. c) A temperatura máxima diária registada numa cidade.
4. d) O número de passageiros de um voo comercial.

Para realizar um controlo de qualidade numa fábrica de refrigerantes, são retiradas $45$ latas de uma produção total de $1800$ latas diárias. Que percentagem da produção total representa a amostra selecionada?

Uma equipa de nutricionistas mede a quantidade de açúcar, em gramas, que diferentes marcas de cereais de um supermercado contêm. Identifique qual é a variável estatística do estudo e de que tipo é.

O Carlos quer fazer um inquérito sobre hábitos de reciclagem na sua escola secundária, onde há $600$ alunos matriculados em três vias: ensino básico ($360$ alunos), ensino secundário regular ($180$ alunos) e cursos profissionais ($60$ alunos). Para realizar o trabalho de Estatística, deve selecionar uma amostra de $60$ alunos. O Carlos afirma no seu relatório: «Como há $3$ vias de ensino, para que o estudo seja justo e representativo devo inquirir exatamente $20$ alunos de cada uma, já que $60 : 3 = 20$».

1. a) Identifica e explica detalhadamente o erro de raciocínio que o Carlos cometeu.
2. b) Calcula quantos alunos de cada via deveriam ser realmente escolhidos se for aplicada uma amostragem aleatória estratificada com afixação proporcional.

A Autoridade Nacional de Segurança Rodoviária (ANSR) lança durante o mês de julho uma campanha intensiva de controlo do uso do cinto de segurança e sistemas de retenção para crianças nas estradas secundárias de um distrito. Durante essa semana, as patrulhas mandam parar e inspecionam um total de $14\,400$ veículos das aproximadamente $480\,000$ deslocações previstas. Em cada controlo, os agentes registam se os ocupantes usam o cinto apertado regulamentarmente (sim/não) e o número total de ocupantes que viajam no veículo.

1. a) Identifica com precisão a população, a amostra, um indivíduo e a dimensão da amostra $n$ deste estudo.
2. b) Justifica por que razão a ANSR recorre a uma amostra e não realiza um recenseamento neste tipo de campanhas na estrada.
3. c) Classifica as duas variáveis estatísticas analisadas em cada veículo de acordo com a sua tipologia (qualitativa nominal/ordinal ou quantitativa discreta/contínua).

Numa escola do ensino secundário, há $120$ alunos no 1.º ano, $100$ no 2.º ano, $90$ no 3.º ano e $50$ no 4.º ano. Pretende-se extrair uma amostra de $72$ alunos através de uma amostragem aleatória estratificada com repartição proporcional. Calcule quantos alunos do 3.º ano devem fazer parte da amostra.

A Câmara Municipal de uma cidade quer conhecer a opinião dos cidadãos sobre a construção de uma nova ciclovia no centro. Para isso, um entrevistador posiciona-se à porta de uma loja de bicicletas e entrevista $150$ pessoas que saem dela. Analisa se a amostra selecionada é representativa da população da cidade e explica que tipo de viés está a ser cometido no planeamento do estudo.

Numa linha de montagem, foram fabricados $1200$ telemóveis num dia. Pretende-se realizar um controlo de qualidade selecionando uma amostra de $40$ telemóveis por meio de uma amostragem sistemática. Se o primeiro telemóvel selecionado aleatoriamente for o que ocupa a posição $14$, determine o coeficiente de elevação e as posições dos três primeiros e do último telemóvel selecionado na amostra.

Uma exploração avícola tem três pavilhões com galinhas poedeiras: o pavilhão A tem $4500$ galinhas, o pavilhão B tem $3000$ e o pavilhão C tem $2500$. Pretende-se extrair uma amostra de $200$ galinhas utilizando uma amostragem estratificada com afetação proporcional. Determine o tamanho da amostra correspondente a cada um dos três pavilhões.

Deseja-se estimar o tempo médio de utilização diária de redes sociais por adolescentes de toda uma região. Para isso, selecionam-se aleatoriamente $200$ alunos de uma escola privada situada no bairro de maior poder de compra da capital. Justifique por que razão essa amostra não é representativa da população e proponha um método de amostragem mais adequado.

Num estudo de ecologia marinha, registam-se as seguintes características de uma população de golfinhos:

1. a) Espécie à qual pertence.
2. b) Comprimento do corpo em metros.
3. c) Número de crias que teve ao longo da sua vida.
4. d) Nível de risco de extinção (Baixo, Vulnerável, Em perigo).

Classifique detalhadamente cada variável estatística. No caso das variáveis qualitativas, indique expressamente se são ordinais ou nominais.

Uma empresa de estudos de mercado selecionou uma amostra de $630$ pessoas para um estudo de mercado. Sabendo que essa amostra representa exatamente $3,5\%$ da população-alvo, calcule o tamanho total da população em estudo.

O esquema a seguir representa um processo de amostragem estratificada com alocação proporcional.

Se a população total é formada por $2400$ indivíduos, calcule a percentagem e o tamanho da população do estrato laranja. Se a amostra total é de $160$ indivíduos, determine quantos indivíduos de cada cor compõem a amostra.

De acordo com dados do Instituto Nacional de Estatística (INE), uma comarca rural de Espanha tem uma população total de $24\,000$ habitantes, distribuídos por três grupos etários: jovens de 0 a 19 anos ($4\,800$ pessoas), adultos de 20 a 64 anos ($14\,400$ pessoas) e pessoas idosas de 65 ou mais anos ($4\,800$ pessoas). Vai ser selecionada uma amostra de $120$ habitantes através de amostragem estratificada com afixação proporcional para um estudo sobre os cuidados de saúde comarcais.

1. a) Antes de efetuares qualquer cálculo exato, faz uma estimativa intuitiva: deduz que fração ou percentagem da população total representa aproximadamente o grupo de adultos (20 a 64 anos) e estima quantos adultos deveriam fazer parte da amostra de $120$ pessoas.
2. b) Aplica a fórmula da amostragem estratificada com afixação proporcional ($n_i = n \cdot \frac{N_i}{N}$) para calcular o número exato de indivíduos que devem ser selecionados em cada um dos três estratos etários.
3. c) Verifica se a tua estimativa inicial estava correta e avalia se a distribuição obtida respeita a representatividade da estrutura populacional da comarca.

A Câmara Municipal de um município costeiro de $60\,000$ habitantes pretende realizar uma consulta pública para decidir se pedonaliza o centro histórico. Para tal, dispõe de um orçamento que permite realizar uma amostra de $600$ inquéritos presenciais ou telefónicos. Na equipa técnica municipal surgem três propostas diferentes para selecionar os participantes:

• Proposta 1: Colocar inquiridores no sábado de manhã à porta dos três principais supermercados do centro histórico e entrevistar as primeiras $600$ pessoas que saírem.

• Proposta 2: Utilizar o recenseamento municipal ordenado alfabeticamente (de 1 a $60\,000$). Calcular o intervalo de amostragem sistemático $k = 60\,000 / 600 = 100$, escolher aleatoriamente um número de início $a$ entre 1 e 100, e inquirir os munícipes nas posições $a, a+100, a+200, \dots$

• Proposta 3: Disponibilizar um questionário aberto no sítio da Internet da câmara durante um mês e divulgá-lo pelas redes sociais; estimam que com este método participarão mais de $3\,000$ munícipes a um custo quase nulo.

Analisa fundamentadamente as vantagens, os inconvenientes e os possíveis enviesamentos de cada uma das três opções. Justifica qual dos métodos é o mais adequado para garantir que a amostra seja representativa e explica por que razão uma dimensão de amostra maior (Proposta 3) não garante por si só uma melhor representatividade.

Num município dividido em três distritos (Norte, Sul e Centro), foi realizado um inquérito utilizando uma amostragem estratificada com repartição proporcional. A amostra total é de $300$ pessoas, das quais $120$ pertencem ao distrito Norte e $75$ ao distrito Sul. Se a população total do município é de $18000$ habitantes, calcule a população de cada um dos três distritos.

Uma base de dados contém os registos de $N = 2520$ clientes. Pretende-se extrair uma amostra de tamanho $n = 45$ por meio de uma amostragem sistemática. O ponto de partida aleatório determina que o primeiro cliente selecionado é o que ocupa a posição $a = 23$.

Determina uma expressão algébrica geral para a posição do $i$-ésimo indivíduo da amostra (para $1 \le i \le 45$) e determina qual a posição na base de dados ocupada pelo cliente que foi selecionado na posição número $32$ da amostra.

Numa empresa de tecnologia, o quadro de funcionários divide-se em três categorias: $50\%$ são programadores, $30\%$ são designers e os restantes são diretores. Realiza-se um estudo de clima organizacional selecionando uma amostra através de amostragem estratificada com afetação proporcional. Se na amostra há exatamente $16$ diretores, qual é a dimensão total da amostra e quantos programadores e designers a compõem?

Um canal de televisão nacional quer prever o resultado de um importante referendo legislativo. Para isso, durante um programa de debate em horário nobre, pede aos telespectadores que manifestem a sua preferência ligando para um número de telefone pago ou enviando um SMS para votar na sua opção preferida. São recebidas mais de $100000$ respostas.

Identifique e explique pelo menos três fontes de enviesamento (erros sistemáticos) neste planeamento de amostragem e justifique por que razão, apesar do enorme tamanho da amostra, os resultados provavelmente não serão representativos da população em geral.

Uma fábrica dispõe de duas máquinas, A e B, para a produção de engrenagens. Sabe-se que a máquina A produz $65\%$ do total diário. O departamento de qualidade obtém uma amostra estratificada com repartição proporcional de $180$ engrenagens para avaliar a precisão de corte. Se a máquina B produz $1400$ engrenagens por dia, calcule o tamanho da população total diária e o número de engrenagens de cada máquina que compõem a amostra.

Num estudo sobre a adoção de uma nova tecnologia, a população de uma empresa divide-se em três departamentos: Vendas, com $3x$ funcionários; Marketing, com $x + 40$; e Desenvolvimento, com $2x - 20$. Recolhe-se uma amostra através de amostragem aleatória estratificada proporcional de tamanho $130$.

Sabendo que na amostra há exatamente $60$ funcionários do departamento de Vendas, formula uma equação para determinar o valor de $x$, calcula a população total da empresa e o tamanho da amostra correspondente aos departamentos de Marketing e Desenvolvimento.

Num observatório astronómico, registam-se as seguintes características de um catálogo de exoplanetas:

A) Distância até à estrela hospedeira (em Unidades Astronómicas).

B) Tipo de planeta (Rochoso, Gigante gasoso, Gigante gelado).

C) Número de luas confirmadas.

D) Temperatura média estimada (em Kelvin).

Classifique rigorosamente cada uma destas variáveis. Para as variáveis quantitativas, determine em que casos faz sentido estatístico calcular a média aritmética e em quais a mediana poderia ser uma medida de tendência central mais representativa se existissem valores discrepantes extremos.

As autoridades educativas de uma região querem avaliar o nível de inglês dos alunos do 10.º ano. Na região há $25$ escolas, cada uma com exatamente $120$ alunos matriculados nesse ano. Requer-se uma amostra total de $600$ alunos. Propõem-se dois métodos de amostragem:

• Método A: Escolher aleatoriamente $5$ escolas e avaliar todos os seus alunos do 10.º ano.

• Método B: Escolher aleatoriamente $24$ alunos do 10.º ano de cada uma das $25$ escolas.

Identifique o tipo de amostragem aplicado em cada método e argumente qual dos dois planeamentos garante uma maior representatividade da população total, explicando as possíveis desvantagens do método descartado.

Num hospital distrital com $450$ pacientes internados distribuídos pelas áreas de Cirurgia, Traumatologia e Medicina Interna, a direção clínica realiza uma auditoria de qualidade através de uma amostragem aleatória estratificada com afetação proporcional sobre uma amostra total de $90$ pacientes.

No relatório final extraviaram-se os dados do recenseamento inicial por pisos, mas conservam-se os seguintes dados fiáveis:

• Na amostra auditada incluíram-se exatamente $36$ pacientes de Cirurgia e $24$ de Traumatologia.

• Para selecionar os pacientes que correspondiam a Medicina Interna dentro da sua própria lista interna de internados (ordenada de 1 a $N_{\text{interna}}$), a equipa aplicou uma amostragem sistemática com um intervalo fixo $k$. Nessa lista, o primeiro paciente selecionado aleatoriamente foi o da posição $a = 3$, e o último paciente selecionado desse mesmo piso ocupava a posição $148$.

1. a) Deduz quantos pacientes de Medicina Interna fizeram parte da amostra de $90$ pacientes.
2. b) Sabendo que os pacientes de Medicina Interna ocupam as posições $a, a+k, a+2k, \dots$, estabelece a relação entre o primeiro selecionado ($a = 3$), o último ($148$) e o número de pacientes desse piso na amostra para calcular o intervalo $k$ e o total de pacientes internados em Medicina Interna ($N_{\text{interna}}$).
3. c) Utilizando a condição de proporcionalidade ($n_i = n \cdot \frac{N_i}{N}$) e sabendo a população total do hospital ($N = 450$), reconstrói quantos pacientes estavam internados em Cirurgia ($N_{\text{cirug\u00eda}}$) e quantos em Traumatologia ($N_{\text{trauma}}$).

A partir dos dados do Inquérito ao Emprego (EPA) do INE correspondentes a um distrito português com $320\,000$ pessoas empregadas, a distribuição por setores de atividade é a seguinte: Serviços com $224\,000$ trabalhadores, Indústria com $48\,000$, Construção com $32\,000$ e Agricultura com $16\,000$. Um instituto de investigação social dispõe de orçamento para inquirir uma amostra de $n = 500$ trabalhadores.

Um membro da equipa propõe: «Se aplicarmos afixação proporcional estrita, a amostra de agricultores será tão pequena que será impossível estudar as suas condições de trabalho com fiabilidade. Deveríamos inquirir $125$ trabalhadores de cada um dos quatro setores ($500 : 4 = 125$)». A diretora do estudo replica que essa distribuição não seria válida para obter dados gerais do distrito.

1. a) Modela a amostra proporcional calculando o número exato de trabalhadores ($n_i$) que corresponderia a cada setor para respeitar a representatividade distrital com $n = 500$.
2. b) Compara a distribuição real com a proposta de $125$ inquéritos: calcula a percentagem que a Agricultura representa na população empregada real e a percentagem que representaria na amostra proposta pelo investigador. Faz o mesmo cálculo comparativo para o setor dos Serviços.
3. c) Redige uma justificação estatística fundamentada: que distorção provocaria a amostra não proporcional de $125$ pessoas por setor se se quisesse estimar o salário médio dos trabalhadores de todo o distrito? Que alternativa metodológica proporias para poder estudar a fundo o setor agrícola sem desvirtuar as conclusões globais do distrito?