Exercícios: Posições relativas

Um satélite de observação segue uma trajetória linear no espaço definida pela reta $r: (x, y, z) = (1, 2, 0) + \lambda(2, -1, 3)$. Pretende-se verificar se o satélite passará exatamente por um ponto de controlo situado em $P(5, 0, 6)$. Determine se o ponto $P$ pertence à trajetória do satélite.

No projeto de um edifício inteligente, foram definidas duas superfícies planas correspondentes ao teto e ao piso de um pavimento técnico. As equações dos planos são $\pi_1: 2x - y + 3z - 5 = 0$ e $\pi_2: 4x - 2y + 6z + 8 = 0$. Analisa a posição relativa de ambos os planos para confirmar se são paralelos.

Um raio laser propaga-se seguindo a reta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}$ e incide sobre uma lâmina de vidro plana cuja equação é $\pi: x + y + z - 1 = 0$. Determine a posição relativa entre o raio laser e a lâmina. Caso se intersectem, calcule as coordenadas do ponto de impacto.

Dadas as retas $r$ e $s$ expressas pelas suas equações paramétricas:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ e $s: \begin{cases} x = \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = 2 - \mu \end{cases}$

Estuda a posição relativa de ambas comparando os seus vetores diretores. São paralelas ou têm direções distintas?

Verifique se a reta $r$, definida como a interseção dos planos $x + y = 2$ e $x - y = 0$, é paralela ao plano cartesiano $XY$ (o plano $z = 0$). Justifique a sua resposta com base no vetor diretor da reta.

Um arquiteto utiliza um programa de desenho para situar uma viga estrutural representada pela reta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+1}{-2} = \dfrac{z-4}{4}$. Determina se a viga é perpendicular ao plano da fachada $\pi: 3x - 2y + 4z + 1 = 0$. Justifica a tua resposta.

Dados os pontos $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 0)$ e $C(3, 2, 1)$, determine a posição relativa da reta que passa por $A$ e $B$ em relação à reta que passa por $B$ e $C$. Trata-se da mesma reta (coincidentes) ou são retas concorrentes no ponto $B$?

Determine o valor do parâmetro $k$ para que os planos $\pi_1: x + ky + z - 2 = 0$ e $\pi_2: 2x - 4y + 2z + 1 = 0$ sejam paralelos. Para esse valor de $k$, os planos poderiam ser coincidentes? Justifique a sua resposta observando os termos independentes.

Estude a posição relativa das seguintes retas $r$ e $s$. Caso sejam concorrentes, calcule as coordenadas do ponto de interseção:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-4}{-1}$

Considere o plano $\pi: 2x - y + az + 3 = 0$ e a reta $r$ que passa pelos pontos $A(1, 0, -1)$ e $B(2, 1, 0)$. Determine o valor do parâmetro $a \in \mathbb{R}$ para que a reta seja paralela ao plano. Para esse valor de $a$, a reta está contida no plano? Justifique a sua resposta.

Dois drones de vigilância aérea seguem trajetórias retilíneas definidas pelas retas $r$ e $s$. O centro de controlo precisa de saber se existe algum risco de colisão (se as trajetórias se intersetam). As equações das trajetórias são:

$r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{3}$

$s: \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Determine a posição relativa de ambas as trajetórias.

Discuta, em função do parâmetro real $m$, a posição relativa dos seguintes três planos:

$\pi_1: mx + y + z = 1$

$\pi_2: x + my + z = m$

$\pi_3: x + y + mz = m^2$

Encontra a equação geral do plano que contém a reta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$ e é paralelo à reta $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$. Qual é a posição relativa das retas $r$ e $s$?

Um feixe de planos tem como aresta a reta $r: \begin{cases} 3x - y + z = 2 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}$. Determine qual dos planos do feixe passa pelo ponto $P(1, 1, 1)$. Uma vez obtido, determine a posição relativa deste plano com o eixo $OY$.

Projeta-se um raio laser a partir do ponto $A(2, 3, 5)$ na direção do vetor $\vec{v} = (1, -1, -2)$. O raio incide numa parede metálica representada pelo plano $\pi: x + 2y + z = 12$.

1. a) Determine as coordenadas do ponto de incidência.
2. b) Estude a posição relativa da trajetória do laser com a reta $s: \begin{cases} x = 3 + \mu \\ y = 2 \\ z = 3 - 2\mu \end{cases}$.

Dadas as retas $r$ e $s$, demonstre que são enviesadas e encontre a equação do plano que contém $s$ e é paralelo a $r$:

$r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{1}$

$s: \frac{x-1}{-1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}$

Num projeto de design industrial, definem-se três superfícies por meio dos seguintes planos no espaço:

$\pi_1: x + ay + z = a$

$\pi_2: ax + y + (a-1)z = 1$

$\pi_3: x + y + z = 1$

Discuta a posição relativa dos três planos segundo os diferentes valores do parâmetro real $a$. Nos casos em que os três planos se intersetem numa reta (formando um feixe de planos), obtenha a equação paramétrica dessa reta.

Considera-se uma trajetória de um drone representada pela reta $r$ que passa pelo ponto $A(1, 2, -1)$ e tem como vetor diretor $\vec{v} = (k, 1, 2)$. Por outro lado, um painel solar está contido no plano $\pi$ definido pelos pontos $P(1, 0, 1)$, $Q(0, 2, 3)$ e $R(2, 1, 0)$.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a trajetória do drone seja paralela ao painel solar. Para esse valor de $k$, existe alguma reta $s$ contida no plano $\pi$ que seja perpendicular a $r$? Justifique a resposta com base na posição relativa dos elementos.

Dadas as retas $r$ e $s$ definidas por:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-4}{2} = \frac{y+1}{m} = z$

1. a) Estuda a posição relativa de $r$ e $s$ em função do parâmetro $m$.
2. b) Para o valor de $m$ que faz com que as retas sejam concorrentes, encontra a equação do plano $\pi$ que as contém.
3. c) Se $m=0$, as retas são não coplanares. Encontra a equação da reta $t$ que passa pela origem de coordenadas e interseta $r$ e $s$ simultaneamente.

Um arquiteto projeta uma estrutura onde três vigas de suporte devem convergir num ponto. As faces dos pilares principais apoiam-se nos planos:

$\pi_1: x + 2y - z = 3$

$\pi_2: 2x - y + z = 1$

$\pi_3: 5x + ay + bz = 5$

Calcule os valores de $a$ e $b$ para que:

1. a) Os três planos se intersetem numa única reta (a viga de suporte comum).
2. b) Os três planos não tenham nenhum ponto comum e se intersetem dois a dois (formando um prisma infinito). Explique que relação devem satisfazer as características da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada neste caso.

Seja a reta $r$ definida pela interseção dos planos $\sigma_1: x + y = 2$ e $\sigma_2: x - z = 1$. Consideramos também o plano $\pi: 2x + y - z = k$.

1. a) Determine o valor de $k$ para que a reta $r$ esteja contida no plano $\pi$.
2. b) Para um valor de $k$ diferente do encontrado na alínea anterior, a reta $r$ e o plano $\pi$ são paralelos. Nesta situação, determine a equação de uma nova reta $s$ que seja a projeção ortogonal de $r$ sobre o plano $\pi$.
3. c) Estude a posição relativa desta nova reta $s$ com o eixo $OY$.

São dadas as retas $r$ e $s$ de equações:

$r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$

$s: \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + z = 1 \end{cases}$

1. a) Demonstre analiticamente que as retas $r$ e $s$ são enviesadas.
2. b) Determine a equação da perpendicular comum a ambas as retas.
3. c) Determine a posição relativa desta perpendicular comum com o plano coordenado $XZ$.

Consideramos uma família de planos que dependem de um parâmetro $\alpha \in \mathbb{R}$:

$\pi_\alpha: \alpha x + y + z = \alpha$

Seja $r$ a reta que passa pelos pontos $M(1, 1, 1)$ e $N(2, 3, 0)$.

1. a) Estude a posição relativa da reta $r$ e do plano $\pi_\alpha$ segundo os valores de $\alpha$.
2. b) Existe algum valor de $\alpha$ para o qual o plano $\pi_\alpha$ contenha a reta $r$?
3. c) Para $\alpha = 0$, determine o ponto simétrico de $M$ em relação ao plano $\pi_0$ e verifique se a reta que une $M$ ao seu simétrico é concorrente, paralela ou coincidente com a reta $r$.

Num sistema de coordenadas estelar, detetam-se dois sinais de rádio lineares:

$L_1: (x, y, z) = (1, 0, 2) + \lambda(1, -1, 1)$

$L_2: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-m}{2}$

1. a) Encontre o valor de $m$ para que as trajetórias dos sinais sejam concorrentes.
2. b) Para o valor de $m$ encontrado, calcule o ponto de impacto $I$.
3. c) Considere um satélite situado no plano $\pi: x + y + z = 10$. Determine a posição relativa da reta $L_1$ em relação a esse plano e calcule, se existir, a distância mínima entre o sinal $L_1$ e o satélite (representado pelo plano).