Exercícios: Produto escalar

Uma equipa de engenheiros está a projetar a estrutura de um suporte para uma antena de telecomunicações. Eles definiram dois cabos de fixação representados pelos vetores $\vec{u} = (2, -3, 1)$ e $\vec{v} = (4, 2, 5)$. Calcule o produto escalar de ambos os vetores para estudar o ângulo que formam no nó central.

Dois drones de vigilância encontram-se em posições fixas no espaço. O primeiro drone está no ponto $A(1, 2, -1)$ e o segundo no ponto $B(3, -2, 2)$. Se o centro de controlo está na origem das coordenadas $O(0, 0, 0)$, calcule o módulo do vetor posição de cada drone, $|\vec{OA}|$ e $|\vec{OB}|$.

Determine o valor do parâmetro real $k$ para que os vetores $\vec{a} = (k, 4, -2)$ e $\vec{b} = (3, -2, 5)$ sejam perpendiculares (ortogonais). Este tipo de cálculo é fundamental na programação de jogos eletrónicos para detetar colisões entre superfícies.

Numa atração de um parque temático, dois cabos puxam uma cabine. As direções dos cabos são dadas pelos vetores $\vec{u} = (1, 0, 1)$ e $\vec{v} = (0, 1, 1)$. Utilizando a definição de produto escalar, determine o ângulo $\alpha$ formado por ambos os cabos.

Um vetor de vento tem componentes $\vec{w} = (3, -4, 12)$. Em meteorologia é útil trabalhar com direções normalizadas. Calcule o vetor unitário $\vec{u_w}$ com a mesma direção e o mesmo sentido que $\vec{w}$.

Dado o vetor $\vec{a} = (6, 2, -3)$, calcule a sua projeção escalar sobre o eixo das abcissas (eixo $X$). Para isso, utilize o produto escalar de $\vec{a}$ com o vetor unitário desse eixo, $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Represente graficamente a ideia da projeção.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Consideram-se os pontos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 1, 1)$ e $C(1, 4, 1)$.

1. a) Determine os vetores $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$.
2. b) Calcule o seu produto escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
3. c) Justifique se o triângulo $ABC$ tem um ângulo reto no vértice $A$.

Na física, o trabalho realizado por uma força constante é definido como o produto escalar do vetor força pelo vetor deslocamento: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Se uma força $\vec{F} = (5, 3, 2)$ Newtons desloca um objeto do ponto $P(0, 0, 0)$ até ao ponto $Q(2, 4, 1)$ metros, calcule o trabalho realizado expresso em Joules.

A Helena tem de calcular a projeção escalar do vetor $\vec{a} = (3, -1, 2)$ sobre o vetor $\vec{b} = (1, 2, -2)$ e deduzir se o ângulo que formam é agudo, reto ou obtuso. No seu exame escreve o seguinte:

«Calculamos a projeção: $\text{proy}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|} = \frac{3\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + 2\cdot(-2)}{\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{3-2-4}{\sqrt{14}} = \frac{-3}{\sqrt{14}}$. Como uma projeção representa uma medida geométrica, não pode ser negativa, pelo que o resultado correto é $\text{proy}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{3}{\sqrt{14}}$. Além disso, por ser uma quantidade positiva, isto demonstra que o ângulo que $\vec{a}$ e $\vec{b}$ formam é agudo».

Identifica fundamentadamente os três erros concetuais cometidos pela Helena (na fórmula empregue, na interpretação do sinal da projeção e na conclusão sobre o ângulo), explica por que razão estão incorretos e redige a resolução devidamente corrigida.

Dados os vetores $\vec{u} = (4, 1, 1)$ e $\vec{v} = (-1, 5, 2)$:

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo numérico exato:

• Observa os sinais e magnitudes das componentes homólogas e estima fundamentadamente se o produto escalar $\vec{u}\cdot\vec{v}$ será positivo, negativo ou muito próximo de zero. A partir daí, prevê se o ângulo $\alpha$ entre ambos será agudo, obtuso ou quase reto.

• Sabendo que $\vec{u}$ tem quase todo o seu peso no eixo $X$ e $\vec{v}$ no eixo $Y$, estima se a sombra ou projeção escalar de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ será grande ou pequena em comparação com o comprimento de $\vec{v}$.

1. b) Calcula agora o produto escalar $\vec{u}\cdot\vec{v}$, os módulos $|\vec{u}|$ e $|\vec{v}|$, o ângulo exato $\alpha$ (arredondado ao grau mais próximo) e a projeção escalar $\text{proy}_{\vec{v}}\vec{u}$.
2. c) Compara os resultados numéricos obtidos com as tuas estimativas da alínea a) e fundamenta se a tua intuição geométrica inicial foi acertada.

Dados os vetores $\vec{u} = (m, 2, -1)$ e $\vec{v} = (3, m, m+2)$, determine os valores do parâmetro real $m$ para que ambos os vetores sejam ortogonais. Se existirem vários valores, explique se os vetores resultantes em cada caso têm o mesmo módulo.

Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ dois vetores do espaço tais que os seus módulos são $|\vec{u}| = 4$ e $|\vec{v}| = 3$. Sabendo que o ângulo por eles formado é de $60^\circ$, calcule o valor do produto escalar dos vetores $\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$ e $\vec{b} = \vec{u} + 3\vec{v}$ utilizando as propriedades distributiva e comutativa.

Calcula a projeção escalar e a projeção vetorial do vetor $\vec{a} = (1, -2, 5)$ sobre o vetor $\vec{b} = (3, 0, 4)$.

1. a) Calcula a projeção escalar de $\vec{a}$ sobre $\vec{b}$.

1. b) Calcula a projeção vetorial de $\vec{a}$ sobre $\vec{b}$.

1. c) Interpreta graficamente se o vetor projeção tem o mesmo sentido que $\vec{b}$, baseando-te no sinal do produto escalar $\vec{a}\cdot\vec{b}$ que obtiveste.

Os vértices de um triângulo no espaço são $A(1, 2, 1)$, $B(3, -1, 0)$ e $C(-1, 0, 4)$.

• a) Calcule o ângulo interno no vértice $A$.

• b) Utilize o produto escalar para determinar se o triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

Um vetor $\vec{w}$ tem módulo 10 e os seus dois primeiros cossenos diretores são $\cos \alpha = 0,6$ e $\cos \beta = -0,8$.

• a) Determina o terceiro cosseno diretor, $\cos \gamma$.

• b) Determina as componentes do vetor $\vec{w}$.

Numa estrutura de engenharia, uma força $\vec{F} = (4, -3, 2)$ newtons atua sobre um ponto, deslocando-o da posição $P(1, 1, 1)$ até $Q(5, 2, -3)$ (coordenadas em metros). Calcule o trabalho realizado pela força, lembrando que o trabalho é o produto escalar do vetor força pelo vetor deslocamento $\vec{W} = \vec{F} \cdot \vec{d}$.

Determine o valor de $k$ para que o ângulo formado pelos vetores $\vec{u} = (1, 1, 0)$ e $\vec{v} = (0, 1, k)$ seja exatamente de $45^\circ$. Justifique se o valor de $k$ obtido é único ou se existem várias orientações possíveis para o vetor $\vec{v}$.

Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ dois vetores unitários. Demonstre que o vetor soma $\vec{u} + \vec{v}$ e o vetor diferença $\vec{u} - \vec{v}$ são sempre perpendiculares entre si, independentemente das componentes desses vetores. Utilize este resultado para explicar a relação geométrica entre as diagonais de um losango.

Determina todos os vetores $\vec{w} = (x, y, z)$ do espaço que satisfaçam simultaneamente as três condições seguintes:

1. É ortogonal ao vetor $\vec{u} = (1, 1, 0)$.

2. Forma um ângulo de $45^\circ$ com o vetor $\vec{v} = (0, 1, 1)$.

3. O seu módulo é $|\vec{w}| = \sqrt{6}$.

Assim que obtiveres os vetores, explica através de argumentos geométricos por que razão o problema admite exatamente duas soluções distintas (interpreta a interseção geométrica entre o plano de ortogonalidade, o cone de ângulo constante e a esfera de raio fixado).

Numa instalação de energia solar fotovoltaica situada no Alentejo, os painéis estão montados sobre uma estrutura fixa orientada segundo o vetor normal unitário $\vec{n} = (0; 0,6; 0,8)$ em relação a um sistema de referência onde o semieixo $X$ positivo aponta para Este, o semieixo $Y$ positivo para Norte e o semieixo $Z$ positivo para o zénite (vertical para cima). Às 14:00 h de um dia de primavera, a radiação solar incide na direção do vetor unitário $\vec{s} = (0,3; -0,4; -0,866)$ (orientado no sentido do avanço dos raios em direção ao solo).

1. a) Modela a direção dos raios solares em relação à placa: obtém o vetor unitário que aponta para o Sol, $\vec{u}_{\text{sol}} = -\vec{s}$, e calcula através do produto escalar o ângulo de incidência $\theta$ que os raios formam com o vetor normal $\vec{n}$ do painel.
2. b) A potência instantânea gerada pela instalação é modelada como $P = P_{\text{máx}}\cdot \cos\theta$, onde $P_{\text{máx}} = 20\text{ kW}$ corresponde à situação ótima na qual os raios incidem com perpendicularidade total sobre o painel. Calcula a potência que a instalação gera a essa hora.
3. c) A partir da fórmula do produto escalar, justifica fundamentadamente como se deveria reorientar o vetor normal do painel a essa hora para atingir a potência máxima.

Uma equipa de engenheiros está a calibrar o sensor de orientação de um drone de inspeção industrial. O sistema de referência está fixado na base de descolagem. Sabe-se que o eixo principal do drone deve seguir a direção de um vetor $\vec{w}$ que cumpra simultaneamente as seguintes três condições:

1. O vetor $\vec{w}$ deve ser unitário.

2. $\vec{w}$ deve ser ortogonal ao vetor $\vec{u} = (1, -2, 2)$, que representa a direção do vento dominante.

3. O ângulo que $\vec{w}$ forma com o vetor de posição do objetivo, $\vec{v} = (0, 3, 4)$, deve ser de $45^\circ$.

Determine as coordenadas dos possíveis vetores $\vec{w}$ que o software de navegação do drone pode utilizar.

Considera-se um tetraedro de vértices $O(0,0,0)$, $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$ e $C(0, 0, c)$ com $a, b, c > 0$. Seja $M$ o ponto médio do segmento $BC$.

1. a) Utilizando exclusivamente o produto escalar, demonstre que o vetor $\vec{AM}$ é perpendicular ao segmento $BC$ se e só se os catetos da base sobre os eixos $Y$ e $Z$ têm o mesmo comprimento ($b = c$).

1. b) Se fixarmos $a=4$, $b=2$ e $c=2$, calcule a projeção ortogonal do vetor $\vec{OA}$ sobre a direção definida pelo vetor $\vec{AB}$. Exprima o resultado como um vetor.

No projeto de uma estrutura arquitetónica de vanguarda, é necessário colocar um cabo de tensão que una um ponto fixo $P(1, 2, 3)$ a um ponto variável $Q$ situado sobre uma viga metálica cuja trajetória é dada pela reta $r: (x, y, z) = (2, 0, 1) + \lambda(1, -1, 0)$.

Pretende-se que o cabo seja o mais curto possível. Utiliza o conceito de produto escalar e projeção para:

1. a) Determinar as coordenadas do ponto $Q$ que minimiza o comprimento do cabo.
2. b) Verificar que, para tal ponto, o vetor $\vec{PQ}$ é perpendicular ao vetor diretor da viga $r$.

Dados os vetores $\vec{u} = (m, 1, 1)$ e $\vec{v} = (1, m, 1)$, pede-se:

1. a) Determinar os valores do parâmetro real $m$ para os quais o ângulo formado por $\vec{u}$ e $\vec{v}$ seja exatamente de $60^\circ$.

1. b) Para o valor de $m=0$, determine um vetor $\vec{w}$ de módulo $\sqrt{6}$ que seja combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$, e que além disso seja ortogonal ao vetor $\vec{a} = (1, 1, -1)$.

Demonstre, utilizando as propriedades do produto escalar, que, para quaisquer dois vetores $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^3$, se cumpre a seguinte identidade (conhecida como Identidade de Polarização):

De seguida, utilize esse resultado para calcular o produto escalar de dois vetores cuja soma e cuja diferença têm módulos $|\vec{x} + \vec{y}| = 10$ e $|\vec{x} - \vec{y}| = 6$. Que ângulo formam esses vetores se, além disso, sabemos que os seus módulos são iguais?

Um satélite artificial desloca-se segundo uma trajetória retilínea. Num dado instante, o seu vetor posição é $\vec{r} = (2, 2, 1)$ e o seu vetor velocidade é $\vec{v} = (1, -2, 2)$. Um centro de controlo na Terra emite um sinal de rádio cuja direção é dada pelo vetor $\vec{s} = (k, 1, 0)$.

Calcule o valor do parâmetro $k$ para que a projeção da velocidade do satélite sobre a direção do sinal de rádio seja nula. Interprete fisicamente o que significa que essa projeção seja zero em termos de aproximação ou afastamento do satélite em relação à fonte do sinal.

Seja $B = \{ \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 \}$ uma base de $\mathbb{R}^3$ que não é necessariamente ortonormada. São conhecidos os seguintes produtos escalares entre os vetores da base:

• $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 = 2$, $\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = 1$, $\vec{e}_3 \cdot \vec{e}_3 = 3$

• $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = -1$, $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 = 0$, $\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 = 1$

Calcule o módulo do vetor $\vec{u} = 2\vec{e}_1 - 3\vec{e}_2 + \vec{e}_3$ e determine o cosseno do ângulo que este vetor $\vec{u}$ forma com o vetor $\vec{e}_1$.

Considera os pontos do espaço $A(1, 0, -1)$ e $B(3, 2, 1)$. Seja $r$ a reta que passa pelo ponto $C(0, 4, 3)$ e tem como direção o vetor $\vec{d} = (1, 1, 1)$.

Determina se existe algum ponto $P$ pertencente à reta $r$ tal que os vetores $\vec{AP}$ e $\vec{BP}$ sejam ortogonais. Existe uma única solução? Justifica a tua resposta analisando a equação quadrática resultante.

Consideram-se dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ do espaço tais que $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 5$ e o ângulo que formam é $\alpha = 120^\circ$. Define-se o vetor combinação linear $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$. Pede-se para determinar o módulo de $\vec{w}$ e o ângulo $\beta$ que $\vec{w}$ forma com $\vec{u}$. Para o resolver propõem-se duas estratégias:

• Método 1 (analítico por coordenadas): Fixar um sistema cartesiano conveniente onde $\vec{u} = (3, 0, 0)$ e $\vec{v} = (5\cos 120^\circ, 5\sin 120^\circ, 0) = (-2,5; 2,5\sqrt{3}; 0)$, calcular as componentes de $\vec{w}$ e aplicar as fórmulas habituais em coordenadas.

• Método 2 (algébrico intrínseco): Desenvolver $|\vec{w}|^2 = (2\vec{u}-3\vec{v})\cdot(2\vec{u}-3\vec{v})$ empregando unicamente as propriedades do produto escalar (comutativa, distributiva, extração de escalares e $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$), e calcular $\cos\beta = \frac{\vec{w}\cdot\vec{u}}{|\vec{w}|\,|\vec{u}|}$ desenvolvendo o numerador sem introduzir eixos.

1. a) Resolve o problema aplicando ambos os métodos até obteres o valor exato de $|\vec{w}|$ e de $\cos\beta$.
2. b) Compara criticamente ambos os métodos: qual requer menos passos de cálculo e evita arrastar raízes desnecessárias? Que dificuldade adicional apresentaria o Método 1 se tivesses três vetores no espaço não coplanares dos quais só conheces os seus módulos e os ângulos dois a dois? Justifica qual método é concetualmente mais potente e generalizável em matemática.

Num pavilhão logístico de Évora, uma ponte rolante aplica uma força $\vec{F} = (10, -5, 15)\text{ kN}$ sobre um nó estrutural. Um pilar guia de fixação segue a direção do vetor $\vec{d} = (1, 2, -2)$.

1. a) Todo o vetor $\vec{F}$ decompõe-se de forma única como $\vec{F} = \vec{F}_\parallel + \vec{F}_\perp$, onde $\vec{F}_\parallel$ é paralelo a $\vec{d}$ e $\vec{F}_\perp$ é ortogonal a $\vec{d}$. Deduz fundamentadamente, estabelecendo $\vec{F}_\parallel = \lambda\vec{d}$ e impondo que $(\vec{F} - \lambda\vec{d})\cdot\vec{d} = 0$, a fórmula vetorial $\vec{F}_\parallel = \left(\frac{\vec{F}\cdot\vec{d}}{|\vec{d}|^2}\right)\vec{d}$. Calcula as componentes exatas de $\vec{F}_\parallel$ e $\vec{F}_\perp$.
2. b) Verifica explicitamente que $\vec{F}_\perp\cdot\vec{d} = 0$ e confirma que se cumpre a relação pitagórica $|\vec{F}|^2 = |\vec{F}_\parallel|^2 + |\vec{F}_\perp|^2$.
3. c) Retira-se a força $\vec{F}$ e aplica-se outra força desconhecida $\vec{G}$ de módulo $|\vec{G}| = 10\text{ kN}$. Sem conhecer as componentes de $\vec{G}$, sabe-se que forma um ângulo obtuso com o vetor $\vec{d}$ e que a magnitude da sua componente perpendicular ao cabo é $|\vec{G}_\perp| = 6\text{ kN}$. Utilizando as relações vetoriais demonstradas, calcula o valor numérico exato da projeção escalar $\text{proy}_{\vec{d}}\vec{G}$ e do produto escalar $\vec{G}\cdot\vec{d}$, justificando com rigor o sinal obtido.