Exercícios: Dependência e independência. Bases

Dois drones de vigilância deslocam-se pelo espaço seguindo trajetórias retilíneas definidas pelos vetores $\vec{u} = (2, -4, 6)$ e $\vec{v} = (-1, 2, -3)$. Determine se os drones se movem em direções paralelas analisando a dependência linear dos seus vetores diretores.

Num motor gráfico de um jogo eletrónico, a posição de um objeto é definida mediante a combinação linear de dois vetores básicos: $\vec{a} = (1, 0, 2)$ e $\vec{b} = (0, -1, 3)$. Calcule as coordenadas do vetor resultante $\vec{w}$ se for aplicada a seguinte operação:

Dados os vetores $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (2, 0, 1)$ e $\vec{w} = (3, 2, 4)$, demonstre sem realizar cálculos complexos (observando a relação entre as suas componentes) que o conjunto $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ é linearmente dependente.

Um sistema de sensores laser requer que dois feixes de luz sejam paralelos. O primeiro feixe segue a direção do vetor $\vec{d_1} = (3, k, -1)$ e o segundo a do vetor $\vec{d_2} = (6, -4, -2)$. Determine o valor do parâmetro $k$ para que os vetores sejam linearmente dependentes e, portanto, os feixes sejam paralelos.

Verifique se os vetores $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$, $\vec{e_2} = (1, 1, 0)$ e $\vec{e_3} = (1, 1, 1)$ podem formar uma base de $\mathbb{R}^3$. Para isso, justifique se são linearmente independentes utilizando o determinante da matriz que formam.

Consideram-se os pontos do espaço $A(1, 2, -1)$, $B(2, 3, 1)$ e $C(3, 4, 3)$.

1. a) Determine os vetores $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$.
2. b) A partir das suas componentes, decida se os pontos $A, B$ e $C$ estão alinhados.

Se um vetor $\vec{v}$ tem coordenadas $(3, -2, 5)$ em relação à base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, expresse-o como uma combinação linear de tais vetores unitários.

Argumente a veracidade ou falsidade da seguinte afirmação: "No espaço tridimensional $\mathbb{R}^3$, qualquer conjunto formado por quatro vetores não nulos é sempre linearmente dependente". Dê um exemplo simples para apoiar a sua resposta.

Para verificar se os vetores $\vec{u} = (1, 2, 0)$, $\vec{v} = (2, 1, 0)$ e $\vec{w} = (3, 3, 0)$ formam uma base de $\mathbb{R}^3$, o Marcos escreve o seguinte raciocínio no seu exame:

«Verifico se são proporcionais dois a dois:

• $\vec{u}$ e $\vec{v}$ não são proporcionais porque $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{1}$.

• $\vec{u}$ e $\vec{w}$ não são proporcionais porque $\frac{1}{3} \neq \frac{2}{3}$.

• $\vec{v}$ e $\vec{w}$ não são proporcionais porque $\frac{2}{3} \neq \frac{1}{3}$.

Como nenhum par de vetores tem a mesma direção, os três vetores são linearmente independentes e, portanto, constituem uma base de $\mathbb{R}^3$».

1. a) Localiza e explica detalhadamente o erro concetual que o Marcos comete.
2. b) Explica, sem realizar cálculos algébricos e fixando-te unicamente na terceira componente dos vetores, por que razão era evidente desde o início que não podiam formar uma base do espaço tridimensional.
3. c) Aplica o cálculo do determinante $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ através da regra de Sarrus para dar a justificação analítica formal que desmente a conclusão do Marcos.

Delineia três vetores do espaço tridimensional, $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$, que satisfaçam simultaneamente as três condições seguintes:

1. Nenhum dos três vetores tem componentes nulas (nenhuma componente pode ser $0$).

2. Nenhum par de vetores é proporcional entre si (ou seja, não há dois vetores com a mesma direção).

3. O conjunto $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ é linearmente dependente.

Para o conseguires:

1. a) Explica a estratégia que seguiste para os construir a partir da definição de combinação linear.
2. b) Escreve as componentes numéricas dos teus três vetores.
3. c) Verifica formalmente que são dependentes calculando o determinante formado pelas suas componentes e confirmando que o seu valor é exatamente $0$.

Dados os vetores $\vec{u} = (1, 2, -1)$ e $\vec{v} = (0, 1, 2)$, determine o valor do parâmetro real $k$ para que o vetor $\vec{w} = (2, k, 0)$ seja combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$. Que relação geométrica os três vetores guardam para esse valor de $k$?

Estuda a dependência ou independência linear do conjunto de vetores $S = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ de acordo com os valores do parâmetro $m \in \mathbb{R}$, sendo $\vec{a} = (m, 1, 1)$, $\vec{b} = (1, m, 1)$ e $\vec{c} = (1, 1, m)$.

Demonstre fundamentadamente que, se os vetores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ são linearmente independentes, então os vetores $\{\vec{u} + \vec{v}, \vec{v} + \vec{w}, \vec{w} + \vec{u}\}$ também são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de $\mathbb{R}^3$.

Um drone de vigilância desloca-se seguindo trajetórias retilíneas definidas por vetores. Se os vetores de direção de três drones são $\vec{d_1} = (1, 3, a)$, $\vec{d_2} = (4, 1, 2)$ e $\vec{d_3} = (a, -1, 0)$, calcule os valores de $a$ para os quais as trajetórias dos três drones estariam contidas em planos paralelos entre si (ou seja, os vetores são coplanares).

Considera os pontos do espaço $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 1)$ e $C(2, 0, m)$.

1. a) Determina o vetor $\vec{AB}$ e o vetor $\vec{AC}$.
2. b) Determina o valor de $m$ para que o vetor $\vec{v} = (3, -3, -3)$ seja linearmente dependente de $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$.
3. c) Para o valor de $m$ determinado, escreve $\vec{v}$ como combinação linear de $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$.

Dados os vetores da base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, definem-se os vetores:

Justifique se o conjunto $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ é uma base de $\mathbb{R}^3$. Se um vetor $\vec{x}$ tem coordenadas $(1, 2, 3)$ na base canónica, quais serão as suas coordenadas na base $B' = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$?

Determine se os pontos $P(1, 2, -1)$, $Q(3, 1, 1)$, $R(0, 5, -2)$ e $S(k, 0, 4)$ são complanares em função do valor de $k$. Para realizar esta análise, utilize a dependência linear dos vetores com origem em $P$ e extremidades nos demais pontos.

Consideram-se os vetores $\vec{u} = (1, -1, 2)$, $\vec{v} = (2, 0, 3)$ e $\vec{w} = (0, 2, -1)$. Pretende-se averiguar se $\vec{w}$ é coplanar com $\vec{u}$ e $\vec{v}$. Dois colegas de turma propõem resolver o problema por vias diferentes:

• Método do Tomás: Calcular diretamente o determinante $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ através da regra de Sarrus.

• Método da Inês: Formular a igualdade vetorial $\vec{w} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v}$ como um sistema de três equações com duas incógnitas ($a$ e $b$), resolvê-lo com duas delas e verificar se a terceira é satisfeita.

1. a) Aplica o método do Tomás para determinar se $\vec{w}$ é coplanar com $\vec{u}$ e $\vec{v}$.
2. b) Aplica o método da Inês para determinar, se existirem, os escalares $a$ e $b$ que expressam $\vec{w}$ como combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$.
3. c) Compara ambos os procedimentos: se num teste apenas te perguntassem «estes três vetores são coplanares?», qual escolherias e porquê? Em que mudaria a tua escolha se te pedissem também «expressa o vetor $\vec{w}$ em função de $\vec{u}$ e $\vec{v}$»?

Uma unidade de drones de reconhecimento do dispositivo BRIF (Brigadas de Reforço em Incêndios Florestais) na Serra da Estrela utiliza três vetores de deslocamento elementar calibrados nos seus motores (medidos em quilómetros sobre os eixos Este, Norte e Altitude):

$\vec{d}_1 = (2, 1, 0,5)$, $\vec{d}_2 = (1, 3, 1)$ e $\vec{d}_3 = (4, -1, k)$, onde $k$ é um parâmetro de resposta vertical ajustável por software.

1. a) Para que o drone possa manobrar em direção a qualquer ponto do espaço tridimensional, os seus três movimentos elementares devem formar uma base de $\mathbb{R}^3$. Determina o valor crítico de $k$ para o qual os movimentos ficariam confinados a um único plano (ou seja, seriam linearmente dependentes), impedindo o controlo total do drone.
2. b) Se os técnicos configurarem $k = 1\text{ km}$, justifica fundamentadamente por que razão os três vetores formam uma base $B = \{\vec{d}_1, \vec{d}_2, \vec{d}_3\}$.
3. c) Para alcançar um foco de incêndio situado na posição relativa $\vec{p} = (7, 3, 2,5)\text{ km}$, calcula quantas unidades de cada movimento elementar $(a, b, c)$ o piloto deve programar; isto é, calcula as coordenadas de $\vec{p}$ na base $B$.

Uma equipa de engenheiros está a projetar o sistema de navegação de um satélite. Para que o satélite possa orientar-se em qualquer direção do espaço tridimensional, precisa de três propulsores cujas direções de empuxo sejam linearmente independentes. Foram instalados três propulsores definidos pelos vetores $\vec{u} = (1, m, 1)$, $\vec{v} = (m, 1, 1)$ e $\vec{w} = (1, 1, m)$.

Determine justificadamente para que valores do parâmetro real $m$ o sistema de propulsão não seria capaz de manobrar em todo o espaço (ou seja, quando os vetores são linearmente dependentes). No caso em que $m=1$, explique geometricamente o que acontece com as direções de empuxo e se formam uma base de $\mathbb{R}^3$.

Dados os vetores do espaço $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (0, 1, 2)$ e $\vec{c} = (k, 1, -3)$, pede-se:

1. a) Determina o valor de $k$ para que o vetor $\vec{v} = (3, 4, -7)$ possa ser expresso como combinação linear de $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{c}$ de forma a que os três vetores sejam linearmente dependentes.

1. b) Se $k = 2$, formam uma base de $\mathbb{R}^3$? Em caso afirmativo, calcula as coordenadas do vetor $\vec{w} = (1, 1, 1)$ relativamente a essa base $B = \{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}$.

No desenvolvimento de um jogo eletrónico de mundo aberto, a posição de uma personagem é definida por meio de uma base não padrão $B' = \{ \vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3} \}$. Sabe-se que esses vetores se relacionam com a base canónica $B = \{ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \}$ da seguinte forma:

$\vec{u_1} = \vec{i} + \vec{j}$

$\vec{u_2} = \vec{j} + \vec{k}$

$\vec{u_3} = \vec{i} + \vec{k}$

1. a) Demonstre que $B'$ é uma base de $\mathbb{R}^3$.

1. b) Se um objeto do jogo tem coordenadas $(2, -4, 6)$ na base canónica, determine as suas coordenadas na base $B'$.

Estude a dependência ou independência linear dos seguintes vetores segundo os valores dos parâmetros $a$ e $b$:

$\vec{u} = (a, 1, 0)$

$\vec{v} = (1, a, 1)$

$\vec{w} = (0, 1, b)$

Determine para que relação entre $a$ e $b$ os vetores são complanares. Existe algum valor de $a$ para o qual os vetores sejam linearmente dependentes independentemente do valor de $b$? Justifique a sua resposta.

Seja $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ uma base de $\mathbb{R}^3$. Consideram-se os vetores:

$\vec{x} = \vec{u} + \vec{v}$

$\vec{y} = \vec{v} + \vec{w}$

$\vec{z} = \vec{w} + \lambda\vec{u}$

1. a) Para que valores de $\lambda$ o conjunto $\{\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\}$ não constitui uma base de $\mathbb{R}^3$?

1. b) Para $\lambda = 0$, expresse o vetor $\vec{w}$ como combinação linear de $\vec{x}$, $\vec{y}$ e $\vec{u}$.

Um arquiteto projeta uma estrutura tensionada mediante três cabos que convergem num ponto de ancoragem $P$. As direções dos cabos são dadas pelos vetores $\vec{v_1} = (1, 1, a)$, $\vec{v_2} = (a, 0, 1)$ e $\vec{v_3} = (2, 1, 1)$.

1. a) Se a ancoragem deve ser estável, os cabos não podem estar todos no mesmo plano. Encontra os valores de $a$ que fariam a estrutura colapsar por os vetores serem linearmente dependentes.

1. b) Para $a = 2$, aplica-se uma força total de $\vec{F} = (5, 2, 4)$ no ponto $P$. Determine se esta força pode ser decomposta de forma única como soma de tensões nas direções dos cabos e, em caso afirmativo, encontre essa decomposição.

Considere os pontos $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$ e $C(2, 1, 0)$.

1. a) Encontra um ponto $D$ de modo que o vetor $\vec{AD}$ seja linearmente dependente do vetor $\vec{BC}$ e tenha módulo 6. A solução é única?

1. b) Determina se o ponto $E(5, -1, 4)$ pertence ao plano definido pelos vetores $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$. Justifica a tua resposta utilizando o conceito de dependência linear e base.

Demonstre que, se três vetores $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ são linearmente independentes, então os vetores $\vec{u} - \vec{v}$, $\vec{v} - \vec{w}$ e $\vec{w} - \vec{u}$ são sempre linearmente dependentes.

Dê uma interpretação geométrica deste resultado, considerando os vetores como os lados de uma figura fechada no espaço.

Considera a base $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ de $\mathbb{R}^3$ formada pelos vetores $\vec{u} = (10, 0, 0)$, $\vec{v} = (1, 10, 0)$ e $\vec{w} = (1, 1, 10)$, e o vetor objetivo $\vec{x} = (12, 21, 30)$. Procuram-se as coordenadas $(a, b, c)_B$ tais que $\vec{x} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v} + c\cdot\vec{w}$.

1. a) Estima: Antes de resolveres qualquer sistema numérico, analisa a estrutura dos vetores da base (observa a posição dos zeros e os valores dominantes $10$):

• Que vetor da base é o único capaz de contribuir para a terceira componente ($z$)? Estima o valor exato que $c$ deve ter.

• Sabendo que esse valor de $c$ já contribui com uma quantidade fixa para a segunda componente ($y$), em torno de que valor se deve situar a coordenada $b$? Será maior ou menor do que $2,1$?

• Raciocinando de forma análoga com a primeira componente ($x$), estima se a coordenada $a$ resultará maior ou menor do que $1$.

1. b) Calcula: Formula o sistema linear correspondente a $\vec{x} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v} + c\cdot\vec{w}$ e calcula com exatidão os valores de $a$, $b$ e $c$.
2. c) Avalia: Compara as tuas estimativas qualitativas com os resultados exatos e explica por que razão a disposição triangular desta base provoca um «efeito de cascata» que corrige sucessivamente cada coordenada de baixo para cima.

Considera-se o conjunto de vetores de $\mathbb{R}^3$ formado por $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (1, 0, 1)$ e $\vec{w} = (0, 1, 1)$.

1. a) Demonstra que $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ é uma base de $\mathbb{R}^3$ calculando o volume do paralelepípedo que determinam a partir do seu produto misto ou determinante.
2. b) Um estudante afirma com veemência: «Dado que $B$ não é a base canónica, é impossível que um vetor não nulo tenha exatamente as mesmas componentes na base canónica e coordenadas na base $B$». Para verificar se tem razão, formula a equação vetorial que traduz essa condição:

Transforma esta igualdade num sistema linear homogéneo, resolve-o fundamentadamente e conclui se a afirmação do estudante é verdadeira ou falsa.

1. c) Interpreta geometricamente o conjunto de vetores que satisfazem a condição anterior, indicando que figura formam no espaço e que relação têm com os vetores da base $B$.