Exercícios: Ponto médio de um segmento

Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades $A(2, -4)$ e $B(-6, 8)$.

O ponto $M(1, 3)$ é o ponto médio do segmento que une os pontos $A(-2, 5)$ e $B$. Determine as coordenadas da extremidade $B$.

Os pontos $P(-3, -1)$ e $Q(5, 7)$ são as extremidades do diâmetro de uma circunferência. Determine as coordenadas do seu centro.

Determine o ponto médio do segmento determinado pelos pontos de interseção da reta $2x + 3y - 12 = 0$ com os eixos coordenados.

Os vértices opostos de um quadrado estão situados nos pontos $A(1, 1)$ e $C(7, 5)$. Determine as coordenadas do centro do quadrado.

Para determinar as coordenadas do extremo $B$ de um segmento do qual se conhece a origem $A(-3, 5)$ e o ponto médio $M(1, -2)$, o Marcos realizou o seguinte cálculo no seu teste:

1. a) Explica detalhadamente que ponto geométrico calculou na realidade o Marcos e por que motivo a sua abordagem algébrica está errada.
2. b) Formula as equações corretas a partir da definição de ponto médio e determina as coordenadas reais do extremo $B$.

Um drone de salvamento marítimo parte da base costeira $A(-7, 8)$ e voa em linha reta até localizar uma embarcação avariada em $B(3, -2)$, com coordenadas expressas em quilómetros relativamente à torre de controlo.

1. a) Sem realizar cálculos com fórmulas, observa os sinais e os valores numéricos das coordenadas de $A$ e $B$: estima fundamentadamente em que quadrante do plano cartesiano deve encontrar-se o ponto médio $M$ da trajetória e delimita entre que números inteiros estarão a sua abcissa e a sua ordenada. Justifica a tua dedução a partir da posição relativa de ambos os pontos.
2. b) Calcula com exatidão as coordenadas de $M$ aplicando a média aritmética e verifica se a tua estimativa prévia estava correta.

Os pontos médios dos lados de um triângulo são $M_1(1, 2)$, $M_2(3, 4)$ e $M_3(-1, 5)$. Formule um sistema de equações e calcule as coordenadas dos três vértices do triângulo $A, B$ e $C$.

Três vértices consecutivos de um paralelogramo são $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(6, -1)$. Utilizando a propriedade de que as diagonais de um paralelogramo se intersetam no seu ponto médio, determine as coordenadas do quarto vértice $D$.

Determina o valor do parâmetro $k$ para que o ponto médio do segmento de extremos $A(-k, 2)$ e $B(4, k-1)$ pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares ($y = x$).

Um feixe de laser parte do emissor $S(2, 8)$ e deve atingir o recetor $T(10, 8)$ após refletir num espelho plano situado sobre a reta $y = 5$. Verifica se o ponto médio do segmento $ST$ coincide com o ponto de impacto no espelho.

Determine a equação da mediana correspondente ao vértice $A$ no triângulo de vértices $A(1, -3)$, $B(5, 1)$ e $C(-3, 5)$.

No mapa territorial de uma região (com distâncias em quilómetros), a sede central regional de estafetagem situa-se em $A(1, 3)$ e uma filial em $C(9, 7)$. A empresa planeia construir um armazém intermédio de distribuição no ponto médio $M$ do segmento $AC$.

1. a) Calcula as coordenadas do centro de distribuição $M$.
2. b) A empresa pretende completar um recinto logístico com a forma de um paralelogramo $ABCD$, de modo a que $AC$ e $BD$ sejam as suas diagonais. Se o segundo armazém está situado em $B(2, 8)$, determina, fundamentadamente, as coordenadas do quarto armazém $D$, utilizando a propriedade que as diagonais de um paralelogramo partilham relativamente ao seu ponto médio.
3. c) Uma autoestrada retilínea segue o traçado da reta $r: x - 2y + 5 = 0$. Averigua analiticamente se o centro de distribuição $M$ e o armazém $D$ têm acesso direto à autoestrada (isto é, se pertencem à reta $r$).

O ponto $M(3, 2)$ é o ponto médio de um segmento de extremos desconhecidos $A$ e $B$. Sabe-se ainda que o extremo $A$ se encontra sobre a reta $r: y = 2x - 1$, enquanto o extremo $B$ está apoiado sobre o eixo das abcissas ($y = 0$).

1. a) Escreve as coordenadas genéricas dos pontos $A$ e $B$ em função de um único parâmetro independente para cada um.
2. b) Formula e resolve o sistema de equações lineares que determina de forma única as coordenadas numéricas de $A$ e $B$.
3. c) Verifica analiticamente se o segmento $AB$ é perpendicular à reta $r$ calculando os declives de ambos os elementos.

Calcule as coordenadas do ponto simétrico de $A(1, 5)$ em relação à reta $r: 2x - y - 3 = 0$.

Determine a equação do lugar geométrico dos pontos médios de todos os segmentos que unem a origem do referencial aos pontos da reta $3x + 4y - 12 = 0$.

Demonstre analiticamente que os pontos médios dos lados do quadrilátero de vértices $A(0,0)$, $B(6,2)$, $C(4,8)$ e $D(-2,4)$ formam um paralelogramo (paralelogramo de Varignon) e calcule a sua área.

O baricentro de um triângulo é o ponto $G(2, 1)$. Se dois dos seus vértices são $A(-1, 3)$ e $B(4, -2)$, determine as coordenadas do terceiro vértice $C$ com base na propriedade do baricentro relativamente aos pontos médios dos lados.

Para determinar as coordenadas do quarto vértice $D$ de um paralelogramo cujos três primeiros vértices consecutivos são $A(-2, 3)$, $B(4, 1)$ e $C(6, 7)$, dois alunos propõem caminhos distintos:

• A Leonor propõe calcular o ponto médio $M$ da diagonal $AC$ e utilizar o facto de $M$ ser também o ponto médio da diagonal $BD$ para isolar diretamente as coordenadas de $D$.

• O Gonçalo propõe determinar as equações gerais da reta paralela a $AB$ que passa por $C$ e da reta paralela a $BC$ que passa por $A$, obtendo $D$ como o ponto de interseção de ambas as retas.

1. a) Resolve o problema aplicando o procedimento proposto pela Leonor.
2. b) Resolve o problema aplicando o procedimento proposto pelo Gonçalo.
3. c) Compara ambos os métodos: avalia o número de operações algébricas e o risco de erro de cálculo em cada um, justificando qual é o mais eficiente. Poder-se-ia aplicar a estratégia da Leonor se o quadrilátero fosse um trapézio não paralelogramo? Justifica a tua resposta a partir das propriedades geométricas das diagonais.

Uma equipa de topografia que delimita uma reserva natural triangular $ABC$ extraviou as coordenadas dos três vértices originais, mas conserva nos seus registos as coordenadas dos pontos médios dos três lados: $M_1(2, 1)$ (ponto médio do lado $AB$), $M_2(5, 4)$ (ponto médio do lado $BC$) e $M_3(1, 5)$ (ponto médio do lado $CA$).

1. a) Formula o sistema de equações que relaciona as coordenadas desconhecidas dos vértices com as dos pontos médios dados e obtém as coordenadas exatas de $A$, $B$ e $C$.
2. b) Determina as coordenadas do baricentro $G$ do triângulo original $ABC$ e as do baricentro $G'$ do triângulo medial $M_1M_2M_3$ formado pelos pontos médios. Que conclusão obténs ao comparar ambos os resultados?
3. c) Demonstra algebricamente que a igualdade $G = G'$ se verifica de forma universal para qualquer triângulo do plano, independentemente das coordenadas que os seus vértices tenham.