Exercícios: Equações da reta no plano

Escreva a equação vetorial e as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto $A(3, -2)$ e tem como vetor diretor $\vec{v} = (-1, 4)$.

Dada a reta em equações paramétricas $x = 2 - 3t$, $y = 1 + 5t$, exprime-a na forma contínua e na forma geral.

Determine o declive e a ordenada na origem da reta cuja equação geral é $4x - 2y + 8 = 0$.

Escreva a equação reduzida da reta que passa pelos pontos $P(-1, 5)$ e $Q(2, -1)$.

Verifique se os pontos $M(4, -3)$ e $N(1, 2)$ pertencem à reta de equação reduzida $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2}$.

Determine a equação reduzida da reta que passa pela origem do referencial e tem declive $m = -\frac{3}{5}$.

Escreve as equações implícitas da reta horizontal que passa pelo ponto $H(-7, 4)$ e da reta vertical que passa pelo ponto $V(3, -9)$.

Dada a equação geral da reta $5x + 7y - 11 = 0$, indique um vetor diretor, um vetor normal e um ponto pelo qual a reta passa.

Num teste de Matemática, o João deve escrever a equação contínua da reta que passa pelo ponto $A(-3, 5)$ e tem vetor diretor $\vec{v} = (2, -4)$. Na sua folha escreve:

Ao corrigir, a sua professora assinala que a resposta contém um erro conceptual muito comum.

1. a) Identifica com precisão os dois erros de sinal que o João cometeu nos numeradores da expressão.
2. b) Explica a origem deste erro deduzindo a equação contínua passo a passo a partir das equações paramétricas: escreve primeiro $x = a_1 + t\cdot v_1$ e $y = a_2 + t\cdot v_2$ com os dados do enunciado e isola o parâmetro $t$ em cada uma para demonstrar por que razão os sinais devem ser os opostos aos que o João colocou.
3. c) Escreve a equação contínua correta e, a partir dela, obtém a equação geral da reta simplificando os coeficientes inteiros ao máximo.

Desenha a trajetória retilínea de um robô de transporte num centro logístico cumprindo as seguintes especificações:

1. a) Escreve equações paramétricas de uma reta que passe pelo ponto $P(4, -1)$ e cujo declive seja exatamente $m = -\frac{2}{3}$.
2. b) A partir dos dados anteriores, escreve diretamente a equação da reta na forma ponto-declive tomando como referência o ponto $P$.
3. c) Uma colega afirma que outra resposta válida para as equações paramétricas da mesma reta é $x = 1 - 6k$, $y = 1 + 4k$ ($k \in \mathbb{R}$). Verifica se o ponto que ela usou como base pertence à reta e se o seu vetor diretor é colinear com o teu. Conclui argumentando por que razão as equações paramétricas de uma reta não são únicas e que elementos podem variar representando geometricamente a mesma reta.

Um drone de vigilância desloca-se em linha reta e com velocidade constante a partir do ponto $A(10, 20)$ até ao ponto $B(50, 80)$, estando as coordenadas medidas em metros. Escreva as equações paramétricas da sua trajetória e indique quais serão as suas coordenadas quando tiver percorrido exatamente metade do trajeto.

O custo de produção de um componente eletrónico segue um modelo linear. Fabricar $100$ unidades custa $450$ €, e fabricar $250$ unidades custa $825$ €. Determine a equação explícita que relaciona o custo $y$ com o número de unidades $x$, e calcule o custo fixo de produção (o custo quando são fabricadas $0$ unidades).

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a reta de equação $3x - ky + 5 = 0$ passe pelo ponto $P(-2, 1)$. Uma vez encontrado $k$, escreva a equação da reta na forma contínua.

No projeto de uma ponte suspensa, um dos cabos tensores de aço deve unir o ponto de ancoragem $P(0, 15)$ à base $Q(40, 0)$ (coordenadas em metros). Determine a equação geral da reta que define o cabo e determine a que altura ele se encontra quando a distância horizontal a partir do eixo $Y$ é de $16$ metros.

Determine a equação geral da reta que passa pelo ponto $A(-4, 6)$ e é paralela à reta que une os pontos $B(1, 1)$ e $C(3, -5)$.

Uma canalização subterrânea segue a trajetória dada pelas equações paramétricas $x = -5 + 2t$, $y = 12 - 3t$ (em km). Determine em que pontos exatos a canalização cruza os eixos coordenados.

Calcule a área do triângulo que a reta $2x + 5y - 20 = 0$ forma com os eixos coordenados cartesianos.

Exprime a reta $y = -\frac{1}{4}x + 2$ na forma vetorial e determina três pontos distintos que pertençam a ela, sendo que pelo menos um tem abscissa negativa.

Considera a reta $r$ que passa pelos pontos $A(-2, 7)$ e $B(4, -5)$.

1. a) Antes de calcular qualquer equação analítica:

• Observa como variam as coordenadas ao passar de $A$ para $B$ e estima o sinal do declive (a reta sobe ou desce da esquerda para a direita?).

• Sabendo que o ponto $A$ tem $x = -2$ com $y = 7$ e o ponto $B$ tem $x = 4$ com $y = -5$, estima fundamentadamente se a ordenada na origem $n$ (a interseção com o eixo $Y$, onde $x = 0$) será positiva ou negativa, e se o seu valor estará mais perto de $7$ ou de $-5$.

1. b) Escreve a equação contínua da reta $r$ e transforma-a mediante passos algébricos claros até obteres a sua equação reduzida $y = mx + n$.
2. c) A partir da equação reduzida, calcula as coordenadas exatas dos pontos de interseção com o eixo das ordenadas ($x = 0$) e com o eixo das abcissas ($y = 0$). Verifica se o valor da ordenada na origem coincide com a tua estimativa inicial e justifica geometricamente por que razão esse valor fica a essa altura.

Pretende-se determinar a equação geral da reta $s$ que passa pelo ponto $P(-3, 2)$ e é perpendicular à reta $r: 2x - 5y + 11 = 0$. Dois alunos propõem estratégias distintas:

• Método do Sérgio: Isolar $y$ na reta $r$ para determinar o seu declive $m_r$; calcular o declive perpendicular $m_s = -\frac{1}{m_r}$; escrever a equação na forma ponto-declive com $P(-3, 2)$ e, finalmente, desembaraçar de denominadores e transpor termos para chegar à equação geral.

• Método da Irene: Obter diretamente dos coeficientes de $r$ o seu vetor normal $\vec{n}_r = (2, -5)$; deduzir que esse vetor é um vetor diretor da reta perpendicular $s$; extrair daí um vetor normal para $s$, $\vec{n}_s = (5, 2)$; e formular a equação $5x + 2y + C = 0$, calculando $C$ ao substituir as coordenadas de $P$.

1. a) Compara ambos os caminhos analisando as suas vantagens e desvantagens: número de passos, aparecimento de frações intermédias e probabilidade de cometer erros operatórios com os sinais.
2. b) Justifica qual dos dois métodos é mais eficiente e direto para este exercício.
3. c) Aplica o método que selecionaste como preferível para determinar a equação geral de $s$.

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a reta dada na forma paramétrica $x = a + 2t$, $y = 3 - bt$ represente a mesma reta que a equação geral $4x + 3y - 10 = 0$.

Um raio laser parte do ponto $A(2, 5)$, incide sobre um espelho plano situado ao longo do eixo das abcissas, reflete-se e passa pelo ponto $B(8, 3)$. Sabendo que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, determine as equações das retas que contêm o raio incidente e o raio refletido, e o ponto exato de reflexão no espelho.

Os lados de um triângulo estão contidos nas retas $r: x - 2y + 4 = 0$, $s: 3x + y - 9 = 0$ e $t: x + 5y + 4 = 0$. Calcule as coordenadas dos seus três vértices e decida, calculando os comprimentos dos seus lados, de que tipo de triângulo se trata.

Demonstre que se uma reta interseta os eixos coordenados nos pontos $(a, 0)$ e $(0, b)$, com $a \neq 0$ e $b \neq 0$, a sua equação pode ser escrita na forma segmentária $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Utilize este resultado para determinar a equação de uma reta que forma com os eixos cartesianos um triângulo de área $12 \text{ u}^2$ sabendo que $a = 2b$ e que ambas as interseções com os eixos são positivas.

Dois aviões movem-se no plano de um radar. O avião $A$ segue a trajetória $x = 2 + 3t$, $y = 1 + 4t$, e o avião $B$ segue a trajetória $x = 10 - t$, $y = -2 + 5t$ (onde $t$ é o tempo em minutos e as coordenadas estão em km). Determine o ponto exato onde as suas trajetórias se cruzam e verifique se os aviões chegam a colidir (ou seja, se passam por esse ponto no mesmo instante $t$).

Determina a equação da reta que passa pelo ponto de interseção das retas $r: 2x - y + 5 = 0$ e $s: x + 3y - 1 = 0$, e que forma com os semieixos negativos de coordenadas um triângulo isósceles.

Dado o ponto $P(3, 4)$ e a reta $r: 2x + y - 5 = 0$, determine as coordenadas de um ponto $Q$ situado sobre o eixo das ordenadas de modo que a reta que une $P$ e $Q$ tenha a mesma ordenada na origem que a reta $r$.

Considere o feixe de retas determinado pela equação $(2 + k)x + (1 - 2k)y + (3k - 4) = 0$. Determine o centro do feixe (o ponto pelo qual passam todas as retas, independentemente do valor de $k$) e determine o valor de $k$ para o qual a reta do feixe tem um declive de $\frac{3}{5}$.

Num estudo meteorológico do IPMA no Parque Nacional da Serra da Estrela (Guarda), analisa-se a variação da temperatura com a altitude durante um dia de inverno anticiclónico. Na estação de Torre (cota $x_1 = 2100\text{ m}$) mede-se ao meio-dia uma temperatura de $y_1 = 8,4\ ^\circ\text{C}$, enquanto na estação próxima do Cântaro Magro (cota $x_2 = 3100\text{ m}$) o termómetro marca simultaneamente $y_2 = 1,9\ ^\circ\text{C}$. Assume-se um comportamento linear entre a altitude $x$ (em metros) e a temperatura $y$ (em $^\circ\text{C}$).

1. a) Escreve a equação contínua que modela esta relação linear tomando como ponto de referência Torre e um vetor diretor cujas componentes reflitam a variação de temperatura por cada $1000\text{ m}$ de subida.
2. b) Transforma essa equação para a forma reduzida $y = mx + n$. Interpreta com rigor físico o significado do declive $m$ (gradiente térmico vertical) e da ordenada na origem $n$. O valor numérico de $n$ faz sentido físico se comparado com uma temperatura verosímil ao nível do mar ($x = 0$) na costa algarvia?
3. c) Utiliza o modelo linear para calcular a altitude da cota de neve (isoterma de zero graus: altitude onde a temperatura desce até aos $0\ ^\circ\text{C}$). A partir desse dado, justifica se um alpinista que atinja o cume do Pico ($3479\text{ m}$) registará temperaturas positivas ou negativas nesse mesmo instante.

Uma reta $r$ de declive negativo passa pelo ponto $A(2, 3)$ e interseta a parte positiva dos eixos coordenados nos pontos $P(p, 0)$ e $Q(0, q)$, determinando com a origem das coordenadas um triângulo retângulo situado no primeiro quadrante cuja área mede exatamente $12\text{ u}^2$.

1. a) Deduz passo a passo que a equação que passa por $(p, 0)$ e $(0, q)$ pode ser reescrita na forma segmentária $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$.
2. b) Sabendo que o ponto $A(2, 3)$ pertence à reta e que a área do triângulo é $\frac{p\cdot q}{2} = 12$, formula um sistema de duas equações algébricas com incógnitas $p$ e $q$.
3. c) Resolve o sistema e demonstra que existe unicamente um par de valores reais $(p, q)$ que cumpre ambas as condições simultaneamente. Com esses valores, escreve a equação geral da reta.
4. d) Analisa algebricamente por que razão o discriminante da equação do segundo grau que surge ao resolver o sistema resulta ser exatamente zero para uma área de $12\text{ u}^2$, e interpreta geometricamente o que aconteceria com a existência de retas que passem por $A(2,3)$ se tivéssemos exigido que a área do triângulo fosse menor, por exemplo de $10\text{ u}^2$.