Exercícios: Ângulo entre duas retas. Paralelismo e perpendicularidade

Calcule o ângulo agudo que as retas $r: 2x - y + 4 = 0$ e $s: 3x + y - 1 = 0$ formam.

Determine a equação geral da reta paralela a $y = 3x - 5$ que passa pelo ponto $P(2, -1)$.

Determine a equação da reta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que passa pela origem do referencial. Apresente o resultado na forma reduzida.

Dadas as retas $r: kx - 2y + 5 = 0$ e $s: 3x + 4y - 1 = 0$, determine o valor do parâmetro $k$ para que ambas as retas sejam paralelas.

Encontra o valor de $m$ para que as retas $r: 5x + 2y = 0$ e $s: mx - 5y + 3 = 0$ sejam perpendiculares.

Calcule o ângulo formado pelas retas dadas pelas suas equações explícitas $y = 2x + 1$ e $y = -3x + 4$.

Indique quais das seguintes retas são paralelas e quais são perpendiculares entre si:

• $r_1: 2x - 3y + 1 = 0$

• $r_2: 6x + 4y - 5 = 0$

• $r_3: -4x + 6y + 7 = 0$

Determine o ângulo que a reta $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ forma com o sentido positivo do eixo das abscissas.

O Marcos deve calcular a medida do ângulo formado pelas retas $r: 2x - y + 3 = 0$ e $s: 3x + y - 5 = 0$. Para isso, isola os seus declives obtendo $m_r = 2$ e $m_s = -3$. Em seguida, aplica a fórmula do ângulo:

O Marcos deduz que $\alpha = \arctan(-1) = -45^\circ$ e argumenta: «Como um ângulo geométrico entre retas não pode ser negativo, somo-lhe $180^\circ$ e a solução é $135^\circ$».

1. a) Aponta os dois erros concetuais cometidos pelo Marcos (um na própria fórmula aplicada e outro ao interpretar que ângulo define a posição relativa de duas retas concorrentes).
2. b) Explica por que razão na geometria euclidiana o ângulo entre duas retas é considerado sempre não obtuso, isto é, limitado ao intervalo $[0^\circ, 90^\circ]$ (ou $[0, \pi/2]\text{ rad}$).
3. c) Corrige o desenvolvimento e calcula a medida correta do ângulo agudo, expressando-a tanto em graus sexagesimais como em radianos (em função de $\pi$).

Considera as retas $r: y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 1$ e $s: y = \sqrt{3}x - 4$.

1. a) Sem recorrer ainda às fórmulas de cálculo do ângulo entre retas, relaciona o declive de cada reta com o seu ângulo de inclinação relativamente ao semieixo positivo das abcissas ($m = \tan \theta$). A partir dessa relação, estima de forma fundamentada o valor exato do ângulo agudo $\alpha$ que formam entre si (tanto em graus sexagesimais como em radianos).
2. b) Verifica analiticamente a tua estimativa calculando o ângulo através do produto escalar dos seus vetores diretores com a expressão $\cos \alpha = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$.
3. c) Volta a verificar o resultado aplicando a fórmula da tangente a partir dos declives: $\tan \alpha = \left|\frac{m_s - m_r}{1 + m_s \cdot m_r}\right|$. Por que razão coincidem os três caminhos e que utilidade tem estimar antes de calcular?

No projeto de um parque, uma nova avenida deve ser perpendicular à rua principal definida pela equação $3x - 4y + 10 = 0$. Além disso, essa avenida deve passar pelo ponto de interseção das ruas secundárias $x + y - 2 = 0$ e $2x - y - 4 = 0$. Obtenha a equação geral da nova avenida.

Calcule os valores do parâmetro $k$ para que a reta $kx + y - 2 = 0$ forme um ângulo de $45^\circ$ com a reta de equação $x - 2y + 1 = 0$.

Um raio laser viaja ao longo da reta $y = -2x + 5$ e reflete-se num espelho plano situado sobre o eixo das abcissas. Calcule o ângulo de incidência (ângulo entre o raio e a normal ao espelho) e determine a equação da reta que contém o raio refletido.

Dois aviões seguem trajetórias retilíneas no ecrã de um radar dadas pelas equações $r: x - 3y + 2 = 0$ e $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determine o valor (ou valores) de $k$ para que as suas rotas se cruzem formando um ângulo exato de $60^\circ$.

Dado um triângulo de vértices $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ e $C(4, 6)$, determine a equação geral da altura correspondente ao vértice $A$ e calcule o ângulo que essa altura forma com o lado $AB$.

No projeto de uma estrutura metálica, uma viga de suporte principal apoia-se sobre a reta que passa pelos nós $P(-2, 4)$ e $Q(4, 1)$. É necessário soldar uma segunda viga perpendicular à primeira exatamente no seu ponto médio. Determine a equação explícita da reta que define esta segunda viga.

Encontra as coordenadas da projeção ortogonal da origem do referencial $(0,0)$ sobre a reta de equação $2x - 5y + 10 = 0$.

Dois braços robóticos numa fábrica deslocam-se sobre calhas retilíneas. O primeiro segue a reta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ e o segundo a reta $s: ax + 8y - 5 = 0$.

1. Determine $a$ para que as calhas sejam paralelas.

2. Determine a equação de uma terceira calha transversal que seja perpendicular a ambas e que cruze a calha $r$ exatamente no seu ponto de interseção com o eixo das ordenadas.

Consideram-se as retas do plano $r: x - \sqrt{3}y + 6 = 0$ e a reta vertical $s: x = -3$.

1. a) Tenta calcular o ângulo agudo entre $r$ e $s$ através da fórmula dos declives $\tan \alpha = \left|\frac{m_r - m_s}{1 + m_r \cdot m_s}\right|$. Explica que limitação matemática ou indeterminação surge ao atribuir um valor numérico a $m_s$ e por que razão esta fórmula não é diretamente aplicável.
2. b) Modela o cálculo utilizando os vetores diretores $\vec{u}_r$ e $\vec{u}_s$ juntamente com a fórmula do cosseno. Justifica por que razão a abordagem vetorial é mais geral e vantajosa neste caso.
3. c) Obtém o valor do ângulo agudo $\alpha$ através do método vetorial e expressa-o tanto em graus sexagesimais como em radianos (como fração irredutível de $\pi$).

Num projeto de infraestrutura ferroviária da IP (Infraestruturas de Portugal) nas proximidades de Lisboa, a via principal desenvolve-se sobre a reta $r: 3x - 4y + 12 = 0$ (num plano coordenado em quilómetros). Um novo ramal de ligação para um terminal logístico é projetado sobre a reta $s: x - 7y - 5 = 0$.

A regulamentação da Instituto da Mobilidade e dos Transportes (IMT) estipula que, se o ângulo agudo de divergência entre dois alinhamentos for superior a $0,26\text{ rad}$ (aproximadamente $15^\circ$), não é admissível um desvio direto a velocidade convencional e deve ser projetada uma curva de transição com desaceleração prévia.

1. a) Modela a situação calculando o ângulo agudo $\alpha$ formado por ambas as vias. Determina o valor exato de $\tan \alpha$ e a medida de $\alpha$ em graus sexagesimais e em radianos (com três casas decimais).
2. b) Determina, justificando a conclusão com o cálculo anterior, se a infraestrutura requer obrigatoriamente a referida curva de desaceleração.
3. c) É projetada uma via secundária de emergência $t$ que parte do ponto onde $r$ interseta o eixo das abcissas e é rigorosamente perpendicular à via principal $r$. Obtém a equação geral de $t$ verificando a perpendicularidade através da relação entre os seus declives.

Determine as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas $r: 3x - 4y + 5 = 0$ e $s: 12x + 5y - 1 = 0$. Demonstre analiticamente, utilizando os seus vetores diretores ou os seus declives, que ambas as bissetrizes são perpendiculares entre si.

As diagonales de um losango estão contidas nas retas $r: x + 2y - 4 = 0$ e $s: 2x - y - 3 = 0$. Sabendo que um dos seus vértices é $A(0, 2)$ e que o comprimento do seu lado é $\sqrt{20}$, determine as coordenadas dos outros três vértices.

Um vértice de um triângulo equilátero é a origem das coordenadas $(0,0)$ e o lado oposto está contido na reta $x + y - 4 = 0$. Determine as equações gerais das retas que contêm os outros dois lados do triângulo, sabendo que devem formar um ângulo de $60^\circ$ com o lado dado.

Dada a família de retas dependente do parâmetro $k \in \mathbb{R}$: $(2 + k)x + (1 - 2k)y + 3k - 4 = 0$. Demonstre que todas as retas dessa família passam por um mesmo ponto fixo e calcule as suas coordenadas. Depois, encontre o valor de $k$ para obter a reta da família que é perpendicular a $3x - y + 2 = 0$.

Um painel solar está alinhado com a reta $r: \sqrt{3}x - y + 10 = 0$. Os raios solares incidem de forma paralela à reta $s: 2x + 2y - 5 = 0$. Calcule o ângulo de incidência dos raios sobre o painel. Se o painel deve ser reorientado rodando em torno do seu ponto de interseção com o eixo $OY$ para que os raios incidam totalmente perpendiculares à sua superfície, qual será a nova equação geral da reta que define o painel?

Dois vértices opostos de um quadrado são $A(-1, 3)$ e $C(5, 1)$. Encontre as equações das retas que contêm os quatro lados do quadrado, calculando primeiro o seu centro e as direções das suas diagonais.

Determine a equação geral da reta simétrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ em relação à reta $s: x + y - 1 = 0$.

Demonstre que, se duas retas $r: ax + by + c = 0$ e $s: a'x + b'y + c' = 0$ se intersetam formando um ângulo $\alpha$, se verifica que $\tan \alpha = \left| \frac{ab' - a'b}{aa' + bb'} \right|$. Utilize este resultado para determinar as equações gerais das retas que passam por $P(1,1)$ e formam um ângulo $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ com a reta $2x - y + 3 = 0$.

Uma antena de comunicações encontra-se no ponto $P(2, 1)$. É necessário instalar uma linha de fibra ótica subterrânea em linha reta, representada por $s$, de modo a formar um ângulo agudo de $\frac{\pi}{4}\text{ rad}$ ($45^\circ$) com uma conduta de água já construída que segue a reta $r: 2x - y + 5 = 0$.

1. a) Formula a equação que o declive $m$ da reta $s$ deve satisfazer a partir da fórmula $\tan \alpha = \left|\frac{m - m_r}{1 + m \cdot m_r}\right|$. Ao resolver algebricamente a equação com valor absoluto, justifica por que razão surgem dois declives possíveis e calcula-os.
2. b) Obtém as equações gerais das duas retas solução, $s_1$ e $s_2$, que passam pelo ponto $P$.
3. c) Demonstra que $s_1$ e $s_2$ são perpendiculares entre si verificando tanto o produto dos seus declives como o produto escalar dos seus vetores diretores.
4. d) Interpreta geometricamente o resultado da alínea c): fundamenta, sem recorrer ao cálculo algébrico, por que razão duas retas que formam o mesmo ângulo de $45^\circ$ para ambos os lados de uma reta de referência dada devem ser necessariamente perpendiculares entre si.

Considera a família de retas $r_k: kx + (k - 1)y - 3 = 0$, onde $k \in \mathbb{R}$, e a reta fixa $s: 2x - y + 1 = 0$.

1. a) Determina o valor de $k$ para o qual $r_k$ é perpendicular a $s$, verificando a condição tanto com o produto de declives como através do produto escalar de vetores diretores.
2. b) Determina o valor de $k$ para o qual $r_k$ e $s$ são paralelas.
3. c) Pretende-se que o ângulo agudo entre $r_k$ e $s$ seja exatamente $\alpha = \frac{\pi}{4}\text{ rad}$ ($45^\circ$). Formula a equação correspondente (através de declives ou vetores), resolve-a e determina quantos valores de $k$ verificam essa condição.
4. d) Expressa a equação da família na forma $A(x,y) + k\cdot B(x,y) = 0$ para demonstrar que todas as retas $r_k$ passam por um mesmo ponto fixo $Q$ (feixe de retas concorrentes). Utilizando esta propriedade geométrica, justifica por que razão era previsível obter exatamente dois valores de $k$ na alínea c), um na alínea a) e um na alínea b).