Exercícios: Vetores no plano

Dados os pontos $A(2, -1)$ e $B(5, 3)$, calcule as componentes do vetor $\vec{AB}$ e o seu módulo.

Considere os vetores $\vec{u} = (3, -2)$ e $\vec{v} = (-1, 4)$. Calcule as componentes do vetor resultante da operação $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$.

Determine as coordenadas do ponto médio $M$ do segmento cujos extremos são os pontos $P(-4, 7)$ e $Q(2, -3)$.

O ponto $M(1, 2)$ é o ponto médio do segmento $AB$. Se conhecemos as coordenadas do extremo $A(-3, 5)$, determine as coordenadas do extremo $B$.

Observe os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ representados na grelha quadriculada. Escreva as suas componentes e calcule analiticamente as coordenadas do vetor soma $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v}$.

Indique se os vetores $\vec{a} = (6, -9)$ e $\vec{b} = (-2, 3)$ são paralelos (têm a mesma direção). Justifique a sua resposta matematicamente.

Calcule o produto escalar dos vetores $\vec{p} = (4, 5)$ e $\vec{q} = (-2, 3)$. A partir do resultado, indique se são perpendiculares.

Determine os possíveis valores de $x$ para que o vetor $\vec{v} = (x, -8)$ tenha um módulo exatamente igual a $10$.

Num teste de Geometria analítica, o Marcos deve calcular as componentes do vetor $\vec{AB}$ que une a origem $A(3, -2)$ à extremidade $B(-1, 4)$, bem como o seu módulo exato. Na sua folha de teste escreve o seguinte:

1) $\vec{AB} = (3 - (-1),\ -2 - 4) = (4, -6)$

2) $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 - 6^2} = \sqrt{16 - 36} = \sqrt{-20}$

Após observar o resultado, o Marcos conclui que «o vetor não existe no plano real porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real».

1. a) Localiza e explica detalhadamente os dois erros concetuais que o Marcos cometeu no seu raciocínio.
2. b) Corrige o exercício passo a passo: determina as componentes corretas de $\vec{AB}$, calcula o seu módulo exato através de radicais e indica também o seu valor aproximado com uma casa decimal.

Um guarda florestal percorre um trilho em linha reta desde o posto de vigia situado no ponto $P(2, 1)$ até um miradouro localizado em $Q(9, 5)$ (coordenadas em quilómetros).

1. a) Antes de calcular o módulo exato, observa a deslocação que ocorre no eixo horizontal ($x$) e no vertical ($y$). Tendo em conta que a hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre maior do que o maior dos seus catetos e menor do que a soma de ambos, e comparando a soma dos quadrados de ambos os deslocamentos com os quadrados perfeitos mais próximos, faz uma estimativa fundamentada e delimita entre que dois números inteiros consecutivos deve encontrar-se a distância total percorrida (o módulo do vetor $\vec{PQ}$).
2. b) Calcula as componentes do vetor $\vec{PQ}$ e determina o seu módulo exato sob a forma de raiz quadrada.
3. c) Obtém a aproximação decimal desse módulo com duas casas decimais, verifica se a tua estimativa da alínea a) estava correta e fundamenta se o resultado obtido é coerente com a situação física.

Um drone de entrega voa com uma velocidade própria representada pelo vetor $\vec{v}_d = (12, 5)$ km/h. Nesse instante, o vento sopra com uma velocidade de $\vec{v}_v = (-3, 2)$ km/h. Calcule o vetor velocidade real do drone e a sua rapidez (o módulo do vetor resultante).

Para instalar um painel solar com forma de paralelogramo $ABCD$, os técnicos fixaram três dos seus vértices nas coordenadas $A(1, 1)$, $B(5, 2)$ e $C(6, 6)$ (em metros). Calcule as coordenadas do quarto vértice $D$ utilizando operações com vetores.

No projeto de uma ponte, três pilares devem estar perfeitamente alinhados. No plano do arquiteto, as bases dos pilares estão situadas nas coordenadas $P(-2, 1)$, $Q(2, 3)$ e $R(8, k)$. Determine o valor de $k$ para que o alinhamento esteja correto.

Num experimento de física, aplicam-se duas forças $\vec{F}_1 = (2, -1)$ N e $\vec{F}_2 = (-1, 3)$ N. Queremos obter uma força resultante $\vec{R} = (4, 3)$ N combinando as duas primeiras através de um sistema que multiplica a sua intensidade. Determine os valores dos escalares $a$ e $b$ tais que $\vec{R} = a\vec{F}_1 + b\vec{F}_2$.

Uma tubagem retilínea liga uma estação de bombagem $A(-15, 20)$ a um depósito $B(45, -12)$ (coordenadas em metros). Pretende-se instalar uma válvula de controlo exatamente no ponto médio do trajeto. Calcule as coordenadas onde a válvula ficará localizada e o comprimento total da tubagem.

Numa mesa de bilhar, uma bola é batida e segue a trajetória do vetor $\vec{u} = (4, 3)$. Após rebater na tabela, a sua nova trajetória é dada pelo vetor $\vec{v} = (-3, k)$. Calcule o valor de $k$ para que a trajetória de rebordo forme um ângulo de $90^\circ$ com a trajetória de chegada.

Um raio laser parte de uma fonte situada em $F(-3, -2)$ e reflete-se num espelho plano que coincide com o eixo das abscissas (eixo X). Se o ponto exato de impacto no espelho é $I(1, 0)$, determine as coordenadas do ponto simétrico de $F$ em relação ao espelho e escreva as componentes do vetor que define a trajetória refletida.

Verifique se o triângulo formado pelas antenas de telecomunicações situadas nas coordenadas $A(1, 2)$, $B(4, 6)$ e $C(9, -1)$ é um triângulo retângulo. Utilize o produto escalar dos vetores que formam os seus lados para justificar a sua resposta.

O centro de coordenação de Salvamento Marítimo em Sagres monitoriza uma mancha de combustível que avança à deriva ao largo da costa algarvia. Os dados indicam que o derrame se desloca na direção e sentido do vetor $\vec{v} = (6, -2)$ (em milhas náuticas por hora). Para conter a maré negra, um navio de intervenção deve colocar uma barreira flutuante numa direção rigorosamente perpendicular ao avanço do derrame.

1. a) Modela o problema e calcula o valor da coordenada $x$ para que o vetor $\vec{u} = (x, 12)$ seja perpendicular à direção do derrame $\vec{v}$, aplicando a condição do produto escalar.
2. b) O navio dispõe de troços de barreira que perfazem um comprimento total de $15$ milhas náuticas. Calcula o módulo do vetor $\vec{u}$ obtido na alínea anterior e determina se a barreira disponível é mais curta, igual ou mais comprida do que $|\vec{u}|$.
3. c) Por que número real positivo $k$ se deve multiplicar o vetor $\vec{u}$ para obter um vetor com a sua mesma direção e sentido, mas cujo comprimento coincida exatamente com as $15$ milhas náuticas da barreira disponível?

No desenho de um logótipo com estética técnica, dois traços retilíneos são representados pelos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$. Sabe-se que o vetor $\vec{u}$ tem a sua origem no ponto $A(-2, 1)$ e a sua extremidade em $B(2, 4)$. O segundo vetor tem componentes $\vec{v} = (k, -8)$, a sua origem situa-se no ponto $C(5, -1)$ e deve ser obrigatoriamente perpendicular a $\vec{u}$.

1. a) Escreve a equação correspondente e calcula o valor do parâmetro real $k$ para que ambos os vetores sejam perpendiculares.
2. b) Com o valor de $k$ já determinado, encontra as coordenadas do ponto $D$, que é a extremidade do vetor $\vec{v}$.
3. c) Compara os comprimentos de ambos os traços: calcula os módulos $|\vec{u}|$ e $|\vec{v}|$ e indica qual é a relação de proporcionalidade exata entre o comprimento do vetor $\vec{v}$ e o do vetor $\vec{u}$.

Uma viga de aço cujos extremos estão nas coordenadas $A(-4, 2)$ e $B(8, 14)$ deve ser cortada em três partes idênticas para fabricar suportes. Calcule as coordenadas dos dois pontos de corte $P$ e $Q$ que dividem o segmento $AB$ em três partes de igual comprimento.

Determine as coordenadas de um ponto $P$ situado sobre o eixo das ordenadas (eixo Y) que esteja à mesma distância dos pontos $A(2, 5)$ e $B(-4, 1)$.

Considere os vetores dependentes de um parâmetro $\vec{u} = (m, 2)$ e $\vec{v} = (3, m-1)$. Determine os valores do parâmetro $m$ em dois casos geométricos distintos:

1. a) Para que $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sejam perpendiculares.
2. b) Para que $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sejam colineares.

Quatro boias delimitam uma zona de reserva marinha nos pontos $A(-2, -1)$, $B(4, 1)$, $C(5, 5)$ e $D(-1, 3)$. Demonstre em primeiro lugar, utilizando vetores, que a figura formada é um paralelogramo. Em seguida, calcule o produto escalar das suas diagonais para verificar se se trata especificamente de um losango.

Encontra as componentes de um vetor $\vec{w}$ que seja perpendicular ao vetor $\vec{u} = (-5, 12)$ e cujo módulo seja exatamente metade do módulo de $\vec{u}$. Quantas soluções matemáticas existem para $\vec{w}$? Escreve todas.

Dois rebocadores puxam um barco avariado situado na origem das coordenadas. O primeiro rebocador exerce uma força definida pelo vetor $\vec{F}_1 = (6, 8)$ kN. O segundo rebocador exerce uma força $\vec{F}_2$. Sabendo que a força resultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ tem a direção do eixo X positivo e um módulo de $12$ kN, determine as componentes do vetor $\vec{F}_2$ e calcule o seu módulo.

Os pontos $A(-1, 3)$ e $B(5, -5)$ representam dois vértices opostos de um terreno com forma de quadrado $ABCD$. Calcule o comprimento da diagonal do quadrado e a área total do terreno. Em seguida, determine as coordenadas do centro exato do quadrado.

O baricentro $G$ (centro de gravidade) de um triângulo encontra-se sempre a uma distância de $\frac{2}{3}$ desde qualquer vértice até ao ponto médio do lado oposto. Se os vértices de uma placa triangular metálica são $A(1, 1)$, $B(7, 3)$ e $C(4, 8)$, determine primeiro o ponto médio $M$ do lado $BC$. Depois, usando o vetor $\vec{AM}$, calcule as coordenadas exatas do baricentro $G$.

Uma cooperativa agrícola vai adquirir um terreno triangular cujos vértices no cadastro predial são $A(-2, 1)$, $B(2, 4)$ e $C(-1, 8)$ (coordenadas expressas em hectómetros). Antes de escriturar a compra, os técnicos devem certificar se o terreno contém um ângulo reto ($90^\circ$) para poderem instalar um armazém de alfaias agrícolas nesse vértice.

Dois técnicos propõem caminhos distintos:

• Método métrico (Marta): Determinar os comprimentos dos três lados através dos módulos $|\vec{AB}|$, $|\vec{BC}|$ e $|\vec{AC}|$, e verificar se satisfazem a igualdade do teorema de Pitágoras.

• Método vetorial (Carlos): Calcular as componentes dos vetores dos lados que concorrem em cada vértice e efetuar os seus produtos escalares para verificar se algum é igual a zero.

1. a) Resolve o problema aplicando ambos os métodos de forma completa e confirma em que vértice se encontra o ângulo reto.
2. b) Avalia criticamente ambos os procedimentos: qual dos dois métodos é mais eficiente e direto do ponto de vista do cálculo algébrico? Justifica a tua resposta analisando a necessidade de calcular raízes quadradas e o risco de arrastar erros de arredondamento em cada caso.

Um atelier de arquitetura projeta uma pérgula retangular $ABCD$ num parque de Coimbra. No projeto foram fixadas as coordenadas de três dos seus vértices: $A(1, 2)$, $B(5, 5)$ e $C(2, 9)$.

1. a) Demonstra analiticamente que os lados contíguos representados pelos vetores $\vec{AB}$ e $\vec{BC}$ formam um ângulo reto utilizando o produto escalar.
2. b) Para situar o quarto vértice $D(x, y)$ de modo a que a figura seja um paralelogramo retângulo, deve verificar-se a igualdade vetorial $\vec{AD} = \vec{BC}$. Deduz a partir dela as coordenadas exatas do ponto $D$.
3. c) Vão ser instalados dois cabos de aço como tensores diagonais que unirão os vértices opostos: um entre $A$ e $C$, e outro entre $B$ e $D$. Calcula os módulos $|\vec{AC}|$ e $|\vec{BD}|$ e demonstra analiticamente que ambas as diagonais têm o mesmo comprimento.
4. d) Calcula o produto escalar dos vetores diagonais $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$ e interpreta geometricamente o resultado: que propriedade adicional tem este retângulo quanto aos seus lados?