Exercícios: Posição relativa de duas retas

Escreva a posição relativa das retas $r: y = 3x - 5$ e $s: y = -2x + 4$ justificando a sua resposta a partir dos respetivos declives.

Determine a posição relativa das retas $r: 2x - 4y + 6 = 0$ e $s: -x + 2y - 3 = 0$ comparando os seus coeficientes.

Calcule as coordenadas do ponto de interseção das retas concorrentes $r: x + y - 4 = 0$ e $s: 2x - y - 5 = 0$.

Determine a equação reduzida da reta paralela a $r: y = -4x + 1$ que passa pelo ponto $P(0, 3)$.

Verifique se as retas dadas na forma contínua $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ e $s: \frac{x}{4} = \frac{y-1}{6}$ são paralelas ou concorrentes.

Calcule o valor do parâmetro $k$ para que as retas $r: 3x + ky - 2 = 0$ e $s: x - 2y + 5 = 0$ sejam paralelas.

Dadas as retas $r: x = 2 - t, y = 3 + 2t$ e $s: 2x + y - 7 = 0$, estude a sua posição relativa comparando os seus vetores diretores e verificando se um ponto de $r$ pertence a $s$.

Determine o ponto de interseção da reta $r: 3x - 2y - 12 = 0$ com o eixo das abscissas (eixo X).

O Marcos tem de determinar na aula a posição relativa das retas $r: 2x - 3y + 6 = 0$ e $s: 4x - 6y - 10 = 0$. No seu caderno escreve:

«Calculo a razão dos coeficientes: $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$. Como dá o mesmo resultado, as duas retas têm exatamente os mesmos pontos e, portanto, são coincidentes».

1. a) Identifica o erro concetual que o Marcos cometeu e explica que verificação ele se esqueceu de realizar.
2. b) Corrige a resolução dele determinando a posição relativa correta através do critério dos coeficientes.
3. c) Que valor deveria ter o termo independente da reta $s$ para que a conclusão do Marcos fosse realmente correta? Justifica a tua resposta.

Dada a reta $r: 3x - 4y + 12 = 0$:

1. a) Escreve a equação geral de uma reta $s$ que seja paralela a $r$ e que passe pela origem do referencial $(0, 0)$. Justifica o seu paralelismo comparando as razões dos seus coeficientes.
2. b) Determina as coordenadas do ponto de interseção da reta $r$ com o eixo das abcissas ($y = 0$).
3. c) Escreve a equação geral de uma reta $t$ que seja secante a $r$ e cuja interseção com ela seja exatamente o referido ponto de interseção com o eixo das abcissas. Explica como escolheste os coeficientes de $t$ para garantir que não seja paralela a $r$.

Duas tubagens principais de rega num campo de cultivo seguem as trajetórias das retas $r: 5x + 3y - 15 = 0$ e $s: 2x - y + 5 = 0$. Verifique se se cruzam e, em caso afirmativo, determine as coordenadas exatas do ponto de ligação.

Uma estrada reta segue a equação $2x - y + 4 = 0$. Um repetidor de telefonia está situado no ponto $P(5, 1)$. Determine a equação geral da linha de cabos mais curta (que deve ser perpendicular) que une o repetidor à estrada.

Na planta arquitetónica de um edifício, duas paredes mestras são dadas pelas equações $r: ax - 6y + 12 = 0$ e $s: 2x + by - 4 = 0$. Determine os valores de $a$ e $b$ para que ambas as paredes representem exatamente a mesma linha (retas coincidentes).

Um barco de resgate desloca-se pela linha reta que passa pelos pontos $A(-2, 1)$ e $B(4, 5)$. Um veleiro segue a trajetória dada pela reta $s: y = \frac{2}{3}x + 4$. Determine se as suas trajetórias são paralelas ou se, pelo contrário, se intersetam em algum ponto.

Dois barcos navegam com trajetórias dadas pelas equações paramétricas $r: x = 1 + 2t, y = -3 + t$ e $s: x = -1 + 4k, y = 2 + 2k$. Verifique analiticamente se as suas rotas são paralelas ou se navegam pela mesma linha.

Calcule o valor do parâmetro $m$ para que as retas $r: mx + 2y - 5 = 0$ e $s: 3x - y + 1 = 0$ sejam perpendiculares.

Num programa de design 3D, um laser corta uma chapa metálica ao longo da reta $r: 4x - 3y - 12 = 0$. Determine a equação geral de outra reta de corte, paralela à anterior, que passe pelo ponto $Q(-1, 2)$.

Dois cometas seguem trajetórias retilíneas num modelo espacial 2D. O primeiro passa pelos pontos $P(0, 4)$ e $Q(3, 0)$. O segundo tem como equação contínua $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{4}$. Verifique se as suas trajetórias se cruzam nalgum ponto ou se são paralelas.

Para determinar a posição relativa das retas $r: y = -\frac{3}{4}x + 2$ e $s: 6x + 8y - 5 = 0$, dois alunos propõem caminhos distintos:

• A Inês propõe transformar a reta $r$ para a sua forma geral ($Ax + By + C = 0$) e aplicar diretamente o critério de proporcionalidade de coeficientes ($\frac{A_1}{A_2}$, $\frac{B_1}{B_2}$, $\frac{C_1}{C_2}$).

• O Duarte prefere isolar a variável $y$ na equação de $s$ para a deixar na forma reduzida ($y = mx + n$) e comparar declives e ordenadas na origem.

1. a) Aplica o método da Inês e conclui a posição relativa de ambas as retas.
2. b) Aplica o método do Duarte e verifica que se chega à mesma conclusão.
3. c) Compara ambos os procedimentos: fundamenta qual dos dois consideras mais direto ou com menor risco de cometer erros de cálculo (sinais ou frações) para este par de equações concreto.

Considera as retas $r: 2x - y - 6 = 0$ e $s: x + y - 6 = 0$.

1. a) Sem resolver o sistema algébrico, analisa o sinal dos declives e obtém os pontos de interseção com os eixos coordenados de cada reta. A partir dessa informação geométrica qualitativa, estima de forma fundamentada em que quadrante do plano cartesiano ocorrerá o ponto de interseção entre $r$ e $s$.
2. b) Verifica formalmente que são retas secantes utilizando a relação entre os seus coeficientes e calcula as coordenadas exatas do seu ponto de interseção resolvendo o sistema linear.
3. c) Avalia se as coordenadas obtidas confirmam a tua estimativa prévia e explica por que motivo antecipar o quadrante ajuda a detetar possíveis erros de sinal no cálculo algébrico.

Três ruas formam um parque triangular no centro de uma cidade. As equações das ruas são $r: x + y - 6 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ e $t: x - 2y + 6 = 0$. Calcule as coordenadas exatas dos três vértices do parque.

Discuta a posição relativa das retas $r: kx + y - 3 = 0$ e $s: 4x + ky - 6 = 0$ em função dos possíveis valores do parâmetro $k$.

Um robô aspirador move-se sobre a trajetória descrita pela reta $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Ao encontrar um obstáculo exatamente no ponto de interseção com o eixo das ordenadas (eixo Y), gira $90^{\circ}$ e continua a sua marcha em linha reta. Determina a equação geral da nova trajetória e o ponto onde intersetará o eixo das abscissas (eixo X).

Determine as coordenadas do ponto simétrico de $A(2, 5)$ em relação à reta $r: x - 2y + 3 = 0$.

Os lados de um terreno com forma de quadrilátero estão situados sobre as retas $r: 2x + y - 5 = 0$ e $s: x - 2y + 5 = 0$. Sabendo que um dos vértices do terreno é o ponto $P(4, 2)$ e que o terreno é um retângulo perfeito, determine as equações gerais das retas que contêm os outros dois lados.

Calcule a área do triângulo que a reta $r: 5x + 2y - 20 = 0$ forma com os dois eixos coordenados.

Dadas as retas $r: 2x - y + 4 = 0$ e $s: x + y - 1 = 0$, determine a equação reduzida de uma reta paralela a $r$ que passe pelo ponto de interseção de $s$ com o eixo das abcissas.

Um raio de luz segue a trajetória da reta $r: x - y + 2 = 0$ e incide sobre um espelho plano situado ao longo do eixo X. Sabendo que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão em relação à normal, determine a equação geral da reta que descreve o raio refletido.

O Consórcio de Transportes de uma região oferece duas opções de passe mensal para viajar numa linha interurbana:

• Opção Frequente: uma mensalidade fixa de $15$ € mais $1,20$ € por cada viagem realizada.

• Opção Ocasional: sem mensalidade fixa, com um custo de $2,20$ € por cada viagem realizada.

1. a) Modela o custo mensal total ($y$, em euros) de acordo com o número de viagens realizadas por mês ($x$) para cada opção, exprimindo ambas as relações como equações gerais de retas ($Ax + By + C = 0$).
2. b) Justifica analiticamente a posição relativa de ambas as retas a partir do quociente dos seus coeficientes. Encontra as coordenadas exatas do ponto de interseção e interpreta que significado prático têm para um utilizador na hora de escolher que passe comprar.
3. c) A entidade gestora planeia substituir a Opção Ocasional por uma nova tarifa cuja reta associada seja estritamente paralela à da Opção Frequente. Que preço exato por viagem deveria fixar nessa nova tarifa para o conseguir? Seria possível que ambas as opções custassem o mesmo para algum número de viagens nesse caso? Justifica a tua resposta a partir das propriedades geométricas das retas paralelas.

Consideram-se as retas $r: kx + 3y - 6 = 0$ e $s: 3x + ky - (k + 3) = 0$, onde $k$ é um parâmetro real:

1. a) Discute a posição relativa de ambas as retas segundo os diferentes valores de $k$, distinguindo com clareza, mediante a proporcionalidade dos coeficientes, quando são concorrentes, paralelas ou coincidentes.
2. b) Para o caso particular $k = 1$, as retas são concorrentes. Calcula de forma exata as coordenadas do seu ponto de interseção e verifica algebricamente que o referido ponto pertence a ambas as retas.
3. c) Um colega de turma sustenta a seguinte afirmação: «Se duas retas têm a mesma direção, trata-se forçosamente da mesma reta». Apoiando-te nas conclusões obtidas na alínea a) para o valor $k = -3$, refuta de forma fundamentada a afirmação dele, explicando a diferença algébrica e geométrica entre retas paralelas e coincidentes.