Exercícios: Retas paralelas aos eixos

Escreva a equação da reta paralela ao eixo das abscissas (eixo $X$) que passa pelo ponto $A(3, -5)$.

Escreva a equação da reta paralela ao eixo das ordenadas (eixo $Y$) que passa pelo ponto $B(-2, 7)$.

Uma reta passa pelos pontos $P(4, 2)$ e $Q(-3, 2)$. É paralela a algum dos eixos? Escreva a sua equação.

O Marcos tem de determinar num exame a equação da reta que passa pelos pontos $A(5, -2)$ e $B(5, 7)$. Na sua folha de respostas escreve o seguinte:

«Calculo o declive: $m = \frac{7 - (-2)}{5 - 5} = \frac{9}{0} = 0$. Como o declive é $0$, a reta é horizontal e a sua equação é $y = 5$, porque a primeira coordenada de ambos os pontos vale $5$».

1. a) Identifica os dois erros conceptuais cometidos pelo Marcos (um sobre a operação matemática realizada e outro sobre a relação entre as coordenadas e a orientação da reta).
2. b) Explica como se deduz a equação correta observando diretamente as coordenadas de $A$ e $B$, e escreve essa equação.

Desenha três pontos no plano cartesiano, chamados $A$, $B$ e $C$, que satisfaçam simultaneamente as três condições seguintes:

1. A reta que passa por $A$ e $B$ é paralela ao eixo $X$.

2. A reta que passa por $B$ e $C$ é paralela ao eixo $Y$.

3. O ponto de interseção das duas retas é $B(-3, 4)$ e a distância entre o ponto $A$ e o ponto $B$ é de $6$ unidades.

Escreve todas as coordenadas possíveis para o ponto $A$, propõe umas coordenadas válidas para o ponto $C$ e escreve a equação de cada uma das duas retas que determinaste.

A cabeça de uma impressora 3D deve traçar uma linha de suporte horizontal constante a $15\text{ mm}$ da origem no eixo $Y$. Escreva as equações paramétricas e a equação geral desta reta.

Determine o valor de $k$ para que a reta de equação geral $kx + 3y - 6 = 0$ seja paralela ao eixo $X$. Escreva a equação resultante.

Num campo de futebol, representamos o centro do campo na origem das coordenadas $(0,0)$. Se o campo tem $100\text{ m}$ de comprimento (situado sobre o eixo $X$) e $60\text{ m}$ de largura (situado sobre o eixo $Y$), escreva as equações das quatro retas que delimitam o campo de jogo.

Para encontrar a equação da reta que passa pelos pontos $P(-7, 3)$ e $Q(5, 3)$, dois estudantes do 4.º ano do ESO propõem estratégias diferentes:

• A Alba diz: «Aplico a equação contínua da reta que passa por dois pontos: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$, substituo as coordenadas e multiplico em cruz para isolar».

• O Bruno diz: «Não é preciso fazer contas: reparo que a ordenada de ambos os pontos é a mesma ($y = 3$), por isso a reta não sobe nem desce, é horizontal e a sua equação é diretamente $y = 3$».

1. a) Justifica por que razão o raciocínio do Bruno está correto e explica que inconveniente algébrico a Alba encontraria se tentasse aplicar a sua fórmula a uma reta vertical como a que une $R(2, -1)$ e $S(2, 8)$.
2. b) Tendo em conta o anterior, argumenta qual das duas abordagens é mais segura e eficiente para identificar retas paralelas aos eixos.

O Instituto Geográfico Nacional (IGN) estabelece um perímetro de segurança retangular em torno de uma zona vulcânica numa ilha dos Açores. Toma-se uma estação de vigilância como origem de coordenadas $(0, 0)$, medindo as distâncias em quilómetros (eixo $X$ para este, eixo $Y$ para norte). O perímetro tem os seus lados orientados exatamente segundo os pontos cardeais, e dois dos seus vértices opostos são $V_1(-4, -2)$ e $V_2(3, 5)$.

1. a) Escreve a equação de cada uma das quatro retas que formam os limites do perímetro, indicando a que ponto cardeal (norte, sul, este ou oeste) corresponde cada uma.
2. b) Uma patrulha de emergência envia a sua posição GPS a partir do ponto $P(-4, 1)$. Determina de forma fundamentada se a patrulha se encontra no interior da zona de exclusão, fora dela ou exatamente sobre um dos seus limites.

No desenvolvimento de um jogo eletrónico, o ecrã tem uma resolução de $1920 \times 1080$ píxeis. Se posicionarmos a origem $(0,0)$ no canto inferior esquerdo, escreve as equações das duas retas (uma horizontal e outra vertical) que dividem o ecrã exatamente em quatro quadrantes iguais.

Um quadrado tem o seu centro no ponto $C(3, 3)$ e os seus lados são paralelos aos eixos coordenados. Se o lado do quadrado mede $4\text{ u}$, escreva as equações das quatro retas que contêm os seus lados.

Consideram-se as retas fixas $r: y = 6$, $s: y = 1$ e $t: x = 2$. Procura-se uma quarta reta vertical $u: x = k$ (com $k \neq 2$) tal que as quatro retas delimitem uma região retangular de área igual a $20\text{ unidades quadradas}$.

1. a) Antes de calcular: observa a distância que separa as retas $r$ e $s$. Estima mentalmente que comprimento deve ter a base do retângulo e prevê quantos valores distintos pode tomar $k$, indicando de que lados da reta $t$ se situarão.
2. b) Apresenta a relação matemática entre a área, a altura fixa e a base em função do parâmetro $k$. Resolve a equação para encontrar os valores exatos de $k$ e escreve as equações das possíveis retas $u$.
3. c) Verifica se os valores obtidos coincidem com a tua estimativa prévia e explica geometricamente o significado de existirem exatamente duas soluções.

Considera-se a família de retas dada pela equação geral implícita:

onde $a$ e $b$ são parâmetros reais constantes.

1. a) Determina os valores numéricos exatos de $a$ e $b$ para que a reta seja paralela ao eixo das abcissas (eixo $X$) e passe pelo ponto $P(7, -5)$. Escreve a equação resultante.
2. b) Analisa se é possível ajustar os parâmetros $a$ e $b$ para que a reta resultante seja paralela ao eixo das ordenadas (eixo $Y$) e, além disso, coincida exatamente com o próprio eixo $Y$. Justifica a tua conclusão a partir das condições algébricas que os coeficientes devem cumprir.