Exercícios: Operações com vetores

Dados os pontos $A(3, -2)$ e $B(5, 4)$, calcule as coordenadas do vetor $\vec{AB}$ e do vetor $\vec{BA}$.

Calcule o módulo do vector $\vec{v} = (-6, 8)$.

Dados os vetores $\vec{u} = (4, -1)$ e $\vec{v} = (-2, 5)$, calcule as coordenadas do vetor soma $\vec{u} + \vec{v}$ e do vetor diferença $\vec{u} - \vec{v}$.

Dado o vetor $\vec{w} = (3, -7)$, calcule as coordenadas dos vetores $2\vec{w}$ e $-\frac{1}{2}\vec{w}$.

Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento de extremos $P(-4, 7)$ e $Q(8, -1)$.

Verifique se os vetores $\vec{a} = (2, -5)$ e $\vec{b} = (-6, 15)$ têm a mesma direção, ou seja, se são paralelos.

Determine as coordenadas do ponto simétrico de $A(1, 4)$ em relação ao ponto $M(3, -2)$.

O vetor $\vec{v} = (5, 2)$ tem a sua origem no ponto $A(-3, 1)$. Determine as coordenadas do seu extremo $B$.

Para obter um vetor unitário com a mesma direção e sentido que $\vec{v} = (-6, 8)$, o Marcos raciocina da seguinte forma no seu teste:

«Como as componentes somam $-6 + 8 = 2$, para que o vetor meça $1$ só tenho de dividir cada componente por $2$. Assim obtenho o vetor $\vec{u} = \left(\frac{-6}{2}, \frac{8}{2}\right) = (-3, 4)$, que já é unitário».

1. a) Identifica os dois erros concetuais graves cometidos pelo Marcos ao calcular o módulo e ao definir o que é um vetor unitário.
2. b) Demonstra analiticamente que o vetor $(-3, 4)$ não é unitário calculando o seu módulo real.
3. c) Corrige o procedimento e obtém as componentes exatas do verdadeiro vetor unitário $\vec{u}$ com a mesma direção e sentido que $\vec{v}$, verificando que o seu módulo é exatamente igual a $1$.

Dados os vetores $\vec{u} = (4, -1)$ e $\vec{v} = (-1, 3)$:

1. a) Antes de fazeres contas no papel, analisa o efeito de multiplicar $\vec{u}$ por $2$ e $\vec{v}$ por $3$, e estima fundamentadamente em que quadrante do plano cartesiano ficará o vetor $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$. Justifica a tua previsão prestando atenção aos sinais dominantes de cada componente.
2. b) Compara visualmente as grandezas de $2\vec{u}$ e $3\vec{v}$ e faz uma estimativa: o módulo de $\vec{w}$ será maior ou menor do que $10$?
3. c) Calcula com precisão as componentes de $\vec{w}$ e o seu módulo exato $|\vec{w}|$.
4. d) Compara os teus cálculos com as estimativas das alíneas a) e b) e explica se as tuas conjeturas iniciais eram coerentes com o resultado obtido.

Um robô de armazém realiza o seguinte trajeto a partir da sua base na origem das coordenadas: primeiro desloca-se segundo o vetor $\vec{d_1} = (4,5; 2,1)$ m, depois segue o vetor $\vec{d_2} = (-1,2; 3,4)$ m e finalmente avança segundo $\vec{d_3} = (0; -1,5)$ m. Determine o vetor de posição final do robô e a que distância em linha reta se encontra da base.

No design de um jogo de computador, o movimento de uma personagem é dado pelo vetor $\vec{u} = (x, 12)$, e o de um projétil pelo vetor $\vec{v} = (5, -4)$. Calcule o valor de $x$ para que ambos os vetores tenham a mesma direção e verifique se têm o mesmo sentido.

Exprima o vetor $\vec{w} = (1, 11)$ como combinação linear dos vetores $\vec{u} = (2, 3)$ e $\vec{v} = (-1, 5)$. Ou seja, determine os valores de $a$ e $b$ tais que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

Duas cidades estão situadas num mapa nas coordenadas $A(-15, 20)$ e $B(35, -4)$ (em quilómetros). Pretende-se instalar uma antena de telecomunicações exatamente no ponto médio entre ambas. Calcule as coordenadas onde deve situar-se a antena e o comprimento do cabo de fibra ótica necessário para a ligar em linha reta à cidade $A$.

Numa obra de engenharia civil, devem alinhar-se três pilares. No plano, as suas posições são $P(1, -2)$, $Q(4, 2)$ e $R(10, k)$. Determine o valor de $k$ para que os três pilares estejam perfeitamente alinhados.

Calcule as coordenadas de um ponto $P$ que divide o segmento de extremos $A(-2, 5)$ e $B(7, -1)$ de modo que a distância de $A$ a $P$ seja o dobro da distância de $P$ a $B$. Ou seja, cumpre-se a relação vetorial $\vec{AP} = 2\vec{PB}$.

Sobre um corpo atuam duas forças representadas pelos vetores $\vec{F_1} = (15, -8)$ N e $\vec{F_2} = (-5, 12)$ N. Calcule o vetor força resultante $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$ e determine a intensidade (módulo) dessa força resultante.

Os vértices de um terreno triangular são $A(0, 0)$, $B(8, 6)$ e $C(12, -3)$ (medidos em decâmetros). Calcule o perímetro do terreno.

Um drone de resgate deve alcançar uma posição prefixada pelo vetor deslocamento total $\vec{d}_{\text{total}} = (7, -1)$. Para navegar, o seu sistema dispõe de dois movimentos elementares calibrados: $\vec{u} = (3, 1)$ e $\vec{v} = (-1, 3)$. O piloto automático deve determinar dois escalares $a$ e $b$ tais que $\vec{d}_{\text{total}} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

1. a) Modela o sistema de duas equações lineares que relaciona as componentes horizontal e vertical dos vetores.
2. b) Resolve o sistema para encontrar os valores exatos dos coeficientes $a$ e $b$.
3. c) Interpreta o significado geométrico e físico dos valores e sinais encontrados para $a$ e $b$: esticou-se, encolheu-se ou inverteu-se o sentido de cada vetor da base? Justifica a tua resposta a partir do que explicam os apontamentos sobre o produto de um escalar por um vetor.

Um drone de vigilância da DGT sobrevoa um troço da autoestrada A-3 na província de Cuenca. Os seus motores propulsionam-no com um vetor de velocidade própria em relação ao ar de $\vec{v}_p = (45, 60)\text{ km/h}$. No entanto, a estação meteorológica da AEMET na zona regista um vento constante com vetor velocidade $\vec{v}_w = (-15, 20)\text{ km/h}$.

1. a) Modela a velocidade resultante do drone em relação à terra como a soma vetorial $\vec{v}_r = \vec{v}_p + \vec{v}_w$ e determina as suas componentes.
2. b) Calcula a rapidez própria do drone ($|\vec{v}_p|$) e a rapidez resultante sobre a terra ($|\vec{v}_r|$). Comparando ambos os módulos, fundamenta se o vento está a favorecer ou a travar o avanço global do drone.
3. c) Se o drone mantiver este voo durante $15$ minutos ($0,25\text{ h}$), determina o seu vetor deslocamento líquido $\vec{d} = 0,25\cdot \vec{v}_r$ e calcula a que distância em linha reta se encontrará em relação ao ponto de partida.

Um robô explorador em Marte parte do ponto $A(-3, 2)$ e realiza um deslocamento descrito pelo vetor $\vec{u} = (5, 4)$ até chegar a um ponto $B$. A partir de $B$, desloca-se para um ponto $C$ tal que $\vec{BC} = -2\vec{u} + \vec{w}$, sendo $\vec{w} = (1, -6)$. Determine as coordenadas dos pontos $B$ e $C$, e calcule o módulo do vetor deslocamento total $\vec{AC}$.

Três dos vértices de um painel solar com forma de paralelogramo $ABCD$ estão situados nos pontos $A(-1, 3)$, $B(5, 1)$ e $C(6, 4)$. Calcule as coordenadas do quarto vértice $D$ sabendo que os vetores $\vec{AB}$ e $\vec{DC}$ são equipolentes. Verifique o seu resultado calculando o ponto médio de ambas as diagonais.

Na física de partículas, um feixe de protões segue uma trajetória retilínea com vetor diretor $\vec{v} = (3, -4)$. Determina um vetor unitário (de módulo 1) que tenha a mesma direção e sentido que $\vec{v}$, e outro vetor que tenha a mesma direção, sentido oposto e módulo 10.

Dados os pontos $A(1, 2)$, $B(3, -1)$ e $C(0, 4)$, determine as coordenadas de um ponto $D$ que cumpra a equação vetorial $2\vec{AB} - 3\vec{CD} = \vec{v}$, sabendo que o vetor $\vec{v}$ tem coordenadas $(-5, 2)$.

O centro de um hexágono regular encontra-se na origem das coordenadas $O(0,0)$ e um dos seus vértices é o ponto $A(4, 0)$. Utilizando as propriedades dos vetores e sabendo que o hexágono pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros idênticos, determine as coordenadas dos outros cinco vértices.

Demonstra analiticamente que o quadrilátero de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$, $C(6, -1)$ e $D(0, -3)$ é um paralelogramo. Para isso, verifica que os lados opostos são vetores equipolentes.

Um avião voa com uma velocidade própria representada pelo vetor $\vec{v_m} = (250, 150)$ km/h. O vento sopra com uma velocidade de $\vec{v_v} = (-30, 40)$ km/h. A velocidade real do avião em relação ao solo é a soma de ambos os vetores. Pretende-se modificar a velocidade dos motores somando um vetor de correção $\vec{c} = a\vec{u} + b\vec{w}$, onde $\vec{u} = (1, 0)$ e $\vec{w} = (0, 1)$, para que a velocidade real final do avião seja exatamente $\vec{v_r} = (300, 0)$ km/h. Formule a equação vetorial e determine os valores de $a$ e $b$.

Determine as coordenadas de um ponto $P$ situado sobre o eixo das ordenadas de forma que o triângulo formado pelos pontos $A(-3, 2)$, $B(1, 4)$ e $P$ seja isósceles, sendo os lados $AP$ e $BP$ de igual comprimento. Ou seja, deve cumprir-se que $|\vec{AP}| = |\vec{BP}|$.

Pretende-se dividir o segmento de extremos $A(-4, 7)$ e $B(5, -2)$ em três partes exatamente iguais introduzindo dois pontos interiores, $P$ e $Q$ (com $P$ situado mais próximo de $A$). Na aula surgem três propostas:

• Proposta da Beatriz: Calcular o ponto médio $M$ entre $A$ e $B$, e depois determinar o ponto médio entre $A$ e $M$.

• Proposta do Bruno: Calcular o vetor passo $\vec{u} = \frac{1}{3}\vec{AB}$ e obter consecutivamente $P = A + \vec{u}$ e $Q = P + \vec{u}$.

• Proposta da Carolina: Formular duas equações vetoriais independentes usando proporções: $\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{PB}$ e $\vec{AQ} = 2\vec{QB}$, resolvendo as coordenadas $(x, y)$ de cada ponto.

1. a) Explica mediante um argumento geométrico por que razão a proposta da Beatriz é conceptualmente errada e que divisão do segmento geraria na realidade.
2. b) Compara as propostas do Bruno e da Carolina: argumenta qual dos dois métodos válidos é mais eficiente, tem menor risco de erro no manuseamento de sinais e permite generalizar melhor para divisões em $5$ ou mais partes.
3. c) Aplica o método mais eficiente para calcular as coordenadas exatas dos pontos $P$ e $Q$.

No plano cartesiano consideram-se os pontos $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(2, 7)$, vértices de um triângulo.

1. a) Determina as coordenadas do ponto médio $M$ do lado $BC$ e, utilizando a relação vetorial de simetria $A' = 2M - A$, calcula as coordenadas do ponto $A'$, simétrico de $A$ em relação a $M$.
2. b) Calcula as componentes dos vetores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ e $\vec{AA'}$, e verifica numericamente se se cumpre a relação $\vec{AA'} = \vec{AB} + \vec{AC}$.
3. c) Demonstra algebricamente por que razão a relação $\vec{AA'} = \vec{AB} + \vec{AC}$ se cumpre sempre para qualquer triângulo do plano, substituindo de forma genérica as expressões $M = \frac{B + C}{2}$ e $A' = 2M - A$ no vetor $\vec{AA'} = A' - A$, sem usar coordenadas numéricas. A partir deste resultado, justifica que tipo de quadrilátero formam os pontos $A$, $B$, $A'$ e $C$.