Exercícios: Movimentos e translações

Um drone de entrega está na posição $A(3, 5)$ e desloca-se seguindo o vetor $\vec{v} = (-4, 2)$. Quais são as coordenadas da sua posição final $A'$?

Num tabuleiro de xadrez gigante, uma peça move-se da casa com coordenadas $P(-1, -3)$ até à casa $Q(4, 2)$. Determine as componentes do vetor de translação $\vec{PQ}$.

Um jardineiro quer plantar uma árvore no ponto $B'$, que deve ser simétrico à árvore situada em $B(2, -6)$ em relação ao centro do jardim $C(0, 0)$. Calcule as coordenadas de $B'$.

No design de um logotipo, o ponto $M(-4, 7)$ é refletido em relação ao eixo das ordenadas (eixo Y). Quais são as coordenadas do ponto refletido $M'$?

Uma peça de uma engrenagem situada no ponto $K(5, 0)$ roda $90^\circ$ no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio em torno da origem do referencial $O(0, 0)$. Em que posição $K'$ ficará a peça após a rotação?

Aplica-se uma rotação de $180^\circ$ a um sinal de trânsito circular com centro no ponto $C(3, 4)$ e raio $2$. Qual é o ponto exato do sinal que permanece na mesma posição (é invariante) após o movimento?

Um robô aspirador move-se a partir da sua base seguindo o vetor $\vec{u} = (2, 5)$ e depois segue o vetor $\vec{w} = (1, -3)$. Se a base está na origem $O(0,0)$, quais são as coordenadas da sua posição final e que vetor único $\vec{v}$ representa o deslocamento total?

Dois postes de iluminação estão situados nos pontos $F_1(-2, 8)$ e $F_2(6, -2)$. Pretende-se colocar um transformador elétrico no centro de simetria de ambos. Quais são as coordenadas desse centro?

A Maria está a programar os movimentos de uma personagem num videojogo em duas dimensões. A personagem encontra-se no ponto $A(2, 5)$ e deve ser refletida em relação à reta horizontal $y = 1$. A Maria escreve no seu caderno de desenvolvimento: «Para refletir em relação à reta $y = 1$, a abcissa não varia e à ordenada subtraio o valor da reta, pelo que $y' = 5 - 1 = 4$, ficando a personagem no ponto $A'(2, 4)$».

1. a) Sem realizar ainda os cálculos numéricos corretos, explica o erro de raciocínio que a Maria cometeu tendo em conta a distância entre o ponto original e o eixo de simetria (para que lado do eixo ficou a suposta imagem?).
2. b) Corrige o cálculo aplicando a expressão analítica correspondente às simetrias em relação a retas horizontais $y = k$ e determina as coordenadas corretas do ponto transformado $A'$.

Um veículo guiado automatizado de um centro logístico em Évora parte da posição $P(5, 2)$. O software de controlo ordena-lhe executar dois movimentos consecutivos: em primeiro lugar, uma rotação de $90^\circ$ no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio com centro na origem de coordenadas $(0, 0)$; em segundo lugar, uma translação segundo o vetor $\vec{v} = (-3, 4)$.

1. a) Estima: Antes de realizar as operações algébricas, deduz fundamentadamente em que quadrante do plano ficará o veículo imediatamente após a rotação. De seguida, antecipa que sinal terão a abcissa e a ordenada da posição final após aplicar a translação $\vec{v}$.
2. b) Comprova: Calcula passo a passo as coordenadas do ponto intermédio após a rotação e as do ponto final após a translação. Comprova se o resultado numérico confirma as previsões que fizeste na estimativa.

Num software de arquitetura (CAD), o desenho de uma janela está definido pelo polígono de vértices $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 3)$ e $D(1, 3)$. O projetista decide transladar a janela aplicando o vetor $\vec{v} = (-3, 2)$. Calcule as coordenadas dos novos vértices $A'$, $B'$, $C'$ e $D'$.

Numa fábrica têxtil, uma máquina dobra um tecido ao longo da reta horizontal $y = 2$. Se uma estampa decorativa está impressa no ponto $P(3, -1)$, quais serão as coordenadas da estampa $P'$ após o tecido ser dobrado?

Um braço robótico articula-se no ponto $C(2, 1)$. A sua garra encontra-se inicialmente em $P(5, 3)$. Se o braço efetua uma rotação de $180^\circ$ em torno da articulação $C$, quais serão as novas coordenadas $P'$ da garra?

Um programa de impressão 3D primeiro translada um vértice de um sólido através do vetor $\vec{v} = (0, 0, 4)$ e, em seguida, aplica-lhe uma simetria central em relação à origem de coordenadas $O(0, 0, 0)$. Se o vértice original estava na posição $V(2, -3, 1)$, qual é a sua posição final $V'$?

Um raio laser é emitido a partir do ponto $E(1, 5)$ e, após refletir-se num espelho plano e paralelo ao eixo X, atinge o ponto recetor $R(1, -1)$. Sabendo que a abcissa não muda e a ordenada dos pontos simétricos é equidistante do espelho, qual é a equação da reta que define a posição do espelho?

Num armazém automatizado, um pacote move-se em linha reta da prateleira $A(10, 5, 2)$ até à zona de carga $B(2, 8, 0)$. Determine o vetor de translação $\vec{AB}$. Se outro pacote situado em $C(4, 4, 4)$ realizar exatamente o mesmo movimento, quais serão as coordenadas da sua posição final $C'$?

Uma câmara de segurança montada num poste em $C(1, 2)$ aponta inicialmente para uma porta situada em $P(4, 2)$. Para cobrir um corredor, a câmara gira $90^\circ$ no sentido anti-horário ao redor do seu eixo em $C$. Quais são as coordenadas do novo ponto $P'$ para o qual a câmara apontará? (Assume que a distância focal permanece constante).

Um veleiro desloca-se no mar impulsionado pelo vento, o que lhe confere um deslocamento segundo o vetor $\vec{v} = (12, -5)$ km. Simultaneamente, uma corrente marinha arrasta-o segundo o vetor $\vec{c} = (-3, -2)$ km. Se o veleiro partiu do porto em $P(-4, 10)$, qual é a sua posição final $P'$ e a que distância em linha reta se encontra do ponto de partida?

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) conta com uma estação de radar situada no ponto $C(3, 1)$ (coordenadas em dezenas de quilómetros). O radar localiza o núcleo de uma tempestade na posição $P(7, 4)$. Devido ao regime de ventos, a massa de ar roda $90^\circ$ no sentido anti-horário em torno da estação $C$ e, logo a seguir, desloca-se segundo o vetor de translação $\vec{u} = (-2, 3)$.

1. a) Descreve os três passos geométricos necessários para efetuar uma rotação quando o centro não coincide com a origem de coordenadas.
2. b) Determina as coordenadas exatas da posição final do núcleo da tempestade após a conclusão de ambos os movimentos.
3. c) Calcula a distância em linha reta, em quilómetros reais, a que a tempestade se encontra relativamente ao radar $C$ na sua posição final (lembra-te de que $1\text{ unidade} = 10\text{ km}$).

Para a reformulação do logótipo de um clube desportivo aplicam-se duas transformações geométricas independentes sobre o plano de coordenadas:

• Uma reflexão axial relativamente a uma reta vertical desconhecida $r: x = k$, que transforma o vértice $A(-3, 4)$ no ponto $A'(7, 4)$.

• Uma translação segundo um vetor desconhecido $\vec{w}$, que desloca a marca $B(2, -1)$ até à posição $B'(-1, 5)$.

1. a) Determina o valor do parâmetro $k$ que define a reta de reflexão e obtém as componentes do vetor de translação $\vec{w}$.
2. b) Resolve o problema inverso: descobre quais eram as coordenadas do ponto original $P(x, y)$ sabendo que, após aplicar-lhe primeiro a translação $\vec{w}$ e em seguida a reflexão relativamente à reta $x = k$, a sua posição final resultante é o ponto $(1, 2)$.

Um raio de luz atravessa um vidro espesso e sofre uma dupla reflexão interna. Primeiro experimenta uma reflexão axial em relação à reta vertical $x = 1$ e, em seguida, outra reflexão axial em relação à reta $x = 4$. Se uma impureza no vidro está no ponto $M(-2, 3)$, determine a sua posição após a primeira reflexão ($M'$) e após a segunda ($M''$). A que vetor de translação equivale a composição destas duas reflexões axiais?

Numa mesa de snooker, uma bola está na posição $A(2, 3)$. Um jogador quer batê-la para que atinja a tabela direita (situada ao longo da reta $x = 8$) e, depois de ressaltar, atinja outra bola situada em $B(4, 7)$. Para calcular a trajetória, utiliza o ponto simétrico de $B$ em relação à tabela, chamando-lhe $B'$. Determina as coordenadas de $B'$ e encontra a equação da reta que une $A$ a $B'$. Em que ponto exato $P$ da tabela a bola vai ressaltar?

Um quadrado tem o seu centro geométrico na origem $O(0, 0)$ e um dos seus vértices é $V_1(3, 3)$. Para encontrar os restantes vértices, aplicam-se rotações sucessivas de $90^\circ$ no sentido horário em torno da origem, obtendo-se $V_2$, $V_3$ e $V_4$. Calcule as coordenadas dos quatro vértices e verifique analiticamente que a distância entre $V_1$ e $V_2$ é exatamente igual à distância entre $V_2$ e $V_3$.

Na maquinagem CNC de uma peça, a ferramenta de corte encontra-se inicialmente no ponto $H(0, 5)$. O programa executa dois comandos: primeiro, a placa de fixação roda $180^\circ$ em relação ao centro $C(2, 3)$, levando a ferramenta à posição $H'$. Imediatamente depois, o carro translada-se segundo o vetor $\vec{u} = (-1, -4)$ até atingir a posição final $H''$. Determine as coordenadas exatas de $H'$ e $H''$.

Num estudo de transformações geométricas, os vértices de um triângulo são $A(1, 2)$, $B(3, 1)$ e $C(2, 4)$. Após aplicar um único movimento no plano, os novos vértices passam a ser $A'(-1, -2)$, $B'(-3, -1)$ e $C'(-2, -4)$. Identifique de que tipo de movimento se trata (translação, rotação ou simetria) e especifique os seus elementos característicos (vetor, centro e ângulo, ou eixo). Justifique analiticamente a sua resposta.

Uma tubagem reta de abastecimento de água passa pelos pontos $A(0, 4)$ e $B(4, 0)$. Por motivos de redundância no projeto, constrói-se uma segunda tubagem que é exatamente simétrica à primeira em relação ao eixo das abcissas (eixo X). Determine as coordenadas dos pontos simétricos $A'$ e $B'$ e a equação reduzida da reta que define a trajetória dessa segunda tubagem.

Uma peça triangular de um mosaico histórico com um vértice em $P(2, 6)$ soltou-se e, ao cair, rodou exatamente $90^\circ$ no sentido anti-horário em torno de um ponto desconhecido $C(x, y)$, ficando o vértice na nova posição $P'(-4, 4)$. Sabendo que, numa rotação de $90^\circ$ no sentido anti-horário em torno da origem, um vetor $(a, b)$ se transforma em $(-b, a)$, elabora as equações correspondentes à transformação do vetor $\vec{CP}$ em $\vec{CP'}$ e resolve o sistema para encontrares as coordenadas do centro de rotação $C$.

Numa biblioteca gráfica para programar trajetórias de robôs industriais é necessário transformar qualquer ponto $P(x, y)$ mediante uma reflexão central em relação a um ponto de apoio $C(a, b)$. A equipa técnica coloca a hipótese de utilizar dois algoritmos distintos:

• Método 1: Aplicar diretamente a fórmula analítica de reflexão central relativamente a um ponto: $P' = 2C - P$.

• Método 2: Compor duas reflexões axiais perpendiculares consecutivas: refletir primeiro $P(x, y)$ relativamente à reta vertical $x = a$ para obter um ponto intermédio $P_1$, e depois refletir $P_1$ relativamente à reta horizontal $y = b$ para obter $P'$.

1. a) Desenvolve algebricamente as coordenadas finais $(x', y')$ obtidas através de ambos os métodos para um ponto genérico $P(x, y)$ com centro $C(a, b)$. Demonstra rigorosamente se ambos os métodos são matematicamente equivalentes.
2. b) Justifica se a ordem de aplicação das duas reflexões no Método 2 influencia o resultado final.
3. c) Se tiveres de implementar este cálculo num microcontrolador que visa minimizar o número total de operações aritméticas em tempo real, compara o custo computacional de ambos os métodos e justifica qual deles escolherias.

Um helicóptero de Salvamento Marítimo com base no ponto costeiro $A(2, 6)$ deve realizar uma intervenção de emergência. A missão exige que desça primeiro até ao nível da margem (representada pela reta horizontal $y = 1$) para recolher material de resgate num ponto $P(x_0, 1)$, e continue imediatamente em direção a uma embarcação em apuros situada em $B(8, 4)$ (as coordenadas estão expressas em milhas náuticas). Para minimizar o consumo de combustível, deve otimizar-se a trajetória de modo a que a distância total percorrida $d = AP + PB$ seja a menor possível.

1. a) Determina as coordenadas do ponto simétrico de $B$ relativamente à reta da margem $y = 1$, ao qual chamaremos $B'$.
2. b) Demonstra fundamentadamente, apoiando-te nas propriedades da reflexão axial e na desigualdade triangular, por que razão a distância $AP + PB$ coincide com o comprimento do trajeto $AP + PB'$, e deduz por que motivo o ponto ótimo $P$ deve pertencer obrigatoriamente ao segmento retilíneo que une $A$ a $B'$.
3. c) Obtém a equação da reta que passa pelos pontos $A$ e $B'$, e determina a partir dela as coordenadas exatas do ponto de contacto $P(x_0, 1)$ na margem.

Desafio do tema. Como condiciona o vento a conceção de corredores para drones de emergência?

1. Dados reais: Consulta no site do IPMA a velocidade e direção do vento durante 6 horas consecutivas na tua estação meteorológica mais próxima. Modela cada registo como um vetor no plano $\vec{v}_i = (x_i, y_i)$.

2. Análise estatística: Numa folha de cálculo, determina as medidas de localização (média e mediana) e de dispersão (variância e amplitude) das componentes horizontal e vertical para sintetizar a dispersão do fluxo aéreo.

3. Construção no GeoGebra: Fixa a tua escola no ponto $A(x_0, y_0)$. Aplica uma translação a $A$ através do vetor médio $\vec{u} = (\bar{x}, \bar{y})$, obtendo $A'$. Determina a equação da reta diretriz $r$ que une ambos os pontos, uma reta $s$ perpendicular a $r$ (pista de aterragem com vento cruzado) e as retas paralelas aos eixos cartesianos que passam por $A$.

4. Produto final: Entrega uma proposta técnica fundamentada com a captura do modelo geométrico, argumentando a orientação mais segura para a descolagem.

Será valorizado:

• Obtenção rigorosa dos vetores e rigor no cálculo das medidas de localização e de dispersão.

• Correção algébrica e geométrica em operações vetoriais, translações e retas paralelas/perpendiculares.

• Qualidade do relatório e justificação técnica baseada na simulação.