Exercícios: Ponto médio de um segmento

Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento cujos extremos são os pontos $A(2, 4)$ e $B(6, 10)$.

O ponto médio do segmento $AB$ é $M(3, 5)$. Se o extremo $A$ tem por coordenadas $(1, 2)$, determine as coordenadas do extremo $B$.

Determine as coordenadas do ponto médio do segmento cujos extremos são os pontos $P(-4, -6)$ e $Q(2, -8)$.

Determine o ponto simétrico de $A(5, -3)$ em relação à origem das coordenadas $O(0,0)$.

Calcule o ponto médio do segmento que une os pontos $C\left(\frac{1}{2}, 3\right)$ e $D\left(\frac{3}{2}, -1\right)$.

Verifique analiticamente se o ponto $M(-1, 2)$ é o ponto médio do segmento de extremos $E(-4, 5)$ e $F(2, -1)$.

Os pontos $A(0, 4)$ e $B(4, 0)$ formam um segmento no plano cartesiano. Calcule as coordenadas do seu ponto médio.

Dado o segmento de extremos $G(-3, 7)$ e $H(-3, -1)$, determine o seu ponto médio e indique sobre que eixo ou reta paralela aos eixos se encontra tal segmento.

O Marcos tem de calcular o ponto médio do segmento que une os pontos $A(-4, 7)$ e $B(2, -1)$. No seu caderno escreve o seguinte:

Identifica o erro conceptual que o Marcos cometeu, explicando com que outra fórmula ou procedimento de geometria analítica se confundiu. Em seguida, fundamenta por que razão o seu resultado é visualmente impossível atendendo à posição dos pontos e calcula a solução correta.

Considera o segmento de extremos $A(-9, 2)$ e $B(3, 10)$.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo algébrico, estima fundamentadamente em que quadrante do plano cartesiano deve encontrar-se o ponto médio $M$ e prevê o sinal da sua abcissa e da sua ordenada, comparando os valores absolutos dos extremos.
2. b) Aplica a fórmula do ponto médio para calcular as coordenadas exatas de $M$.
3. c) Verifica se o resultado obtido confirma a tua estimativa e justifica por que razão a abcissa de $M$ dista exatamente a mesma quantidade de $-9$ e de $3$.

Uma lancha de salvamento navega em linha reta desde o ponto $A(-15, 20)$ até ao ponto $B(45, -10)$ (coordenadas em metros). Se deve largar uma boia de sinalização exatamente a meio do seu percurso, em que coordenadas o fará?

Os extremos de um diâmetro de uma circunferência são os pontos $P(-3, 5)$ e $Q(7, -1)$. Calcule as coordenadas do centro da circunferência e a medida do seu raio.

Duas antenas de telecomunicações estão situadas nas coordenadas $T_1(4,5; 8,2)$ e $T_2(-1,5; 3,4)$ num mapa topográfico à escala. Pretende-se instalar um repetidor exatamente no ponto médio entre ambas. Calcule as coordenadas exatas onde deve situar-se o repetidor.

Um raio laser incide numa lente situada no ponto $L(2, 5)$. Se o ponto de origem do laser é $O(-3, 1)$ e a lente atua como ponto de simetria central, calcule as coordenadas do ponto $P$ onde o laser incidirá após atravessar a lente, assumindo que mantém a sua trajetória retilínea.

Dado o triângulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 5)$ e $C(2, -3)$, determine as coordenadas do ponto médio do lado $BC$ e, em seguida, calcule o comprimento da mediana que parte do vértice $A$.

O ponto médio do segmento $AB$ é $M(a, 3)$. Se conhecemos as coordenadas dos extremos $A(-2, 5)$ e $B(6, b)$, formula as equações correspondentes e calcula os valores dos parâmetros $a$ e $b$.

Num programa de design gráfico, traça-se um segmento desde $P_1(-4, -2)$ até $P_2(8, 6)$. O designer precisa de colocar três pontos no segmento que o dividam em quatro partes exatamente iguais. Calcule as coordenadas do ponto central desses três pontos de divisão.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Verifique se o quadrilátero de vértices $A(-1, 2)$, $B(3, 4)$, $C(4, 0)$ e $D(0, -2)$ é um paralelogramo. Para isso, calcule os pontos médios das suas duas diagonais e verifique se coincidem.

Pretende-se construir um segmento retilíneo no plano cartesiano de modo a que o seu ponto médio exato seja $M(4, -3)$.

1. a) Determina as coordenadas dos extremos $A$ e $B$ sabendo que o ponto $A$ está situado obrigatoriamente sobre o eixo das abcissas ($y = 0$) e o ponto $B$ sobre o eixo das ordenadas ($x = 0$).
2. b) Apresenta o sistema de equações correspondente e justifica fundamentadamente se este par de pontos $(A, B)$ é único ou se podem existir mais soluções que satisfaçam ambas as condições.
3. c) Escreve as coordenadas de outro par diferente de extremos, $C$ e $D$, cujo ponto médio continue a ser $M$, mas com a condição de que nenhum dos dois pertença aos eixos coordenados.

No Parque Nacional da Serra da Estrela, o serviço de resgate de montanha precisa de instalar um repetidor de telecomunicações no ponto médio exato da linha que une o Refúgio A, localizado nas coordenadas $(12, 18)$, e o Refúgio B, situado em $(36, 6)$ (coordenadas expressas em quilómetros).

1. a) Modela a situação no plano e calcula as coordenadas de localização do repetidor principal.
2. b) Por razões de segurança no protocolo de ligação, devem ser colocadas também duas balizas secundárias: a baliza $S_1$ no ponto médio entre o Refúgio A e o repetidor principal, e a baliza $S_2$ no ponto médio entre o repetidor principal e o Refúgio B. Obtém as coordenadas de ambas as balizas utilizando a técnica de pontos médios sucessivos.
3. c) Interpreta a divisão do trajeto: em quantas partes de igual comprimento ficou dividido o troço original entre ambos os refúgios?

O projeto de uma ponte estaiada situa os ancoradouros de um cabo nos pontos $A(2k, -4)$ e $B(6, k+2)$, sendo $k$ um parâmetro desconhecido. O ponto médio do cabo deve apoiar-se sobre um pilar vertical situado exatamente sobre o eixo das abscissas (ou seja, a sua ordenada é $y=0$). Calcule o valor de $k$ e as coordenadas exatas do ponto de apoio.

Três vértices consecutivos de um terreno topográfico com forma de paralelogramo são $A(-3, -1)$, $B(2, -2)$ e $C(5, 2)$. Utilizando a propriedade geométrica de que as diagonais de um paralelogramo se cruzam no seu ponto médio, calcule as coordenadas do quarto vértice $D$.

O segmento $AB$ tem o seu ponto médio em $M(4, 3)$. Sabendo que o extremo $A$ se encontra sobre o eixo das abscissas (eixo X) e o extremo $B$ se encontra sobre o eixo das ordenadas (eixo Y), formule as equações correspondentes e determine as coordenadas exatas de $A$ e de $B$.

Um braço robótico move uma peça em linha reta desde o ponto $P_1(-8, 4)$ até $P_2(2, -6)$, e faz uma pausa no ponto médio $M_1$. Depois, move a peça desde $M_1$ até $P_3(10, 8)$, fazendo uma nova pausa no ponto médio $M_2$ do segmento $M_1 P_3$. Calcule as coordenadas exatas de $M_2$.

Duas massas pontuais iguais deslocam-se de tal forma que num instante $t$ (em segundos) se encontram nas posições $A(t, 2t-1)$ e $B(3t+2, -t+5)$. Determina a expressão das coordenadas do centro de massa (ponto médio $M$) em função do tempo. Em que instante $t$ o centro de massa cruza o eixo das ordenadas ($x=0$)?

Deseja-se dividir o segmento de extremos $A(-5, 1)$ e $B(7, 9)$ em quatro partes de igual comprimento utilizando exclusivamente o cálculo de pontos médios. Detalhe o processo e calcule as coordenadas dos três pontos que dividem tal segmento.

Dado o triângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(2, 6)$, calcule os pontos médios dos seus três lados ($M_1$, $M_2$, $M_3$). Em seguida, demonstre analiticamente calculando as distâncias que o perímetro do triângulo formado pelos pontos médios é exatamente metade do perímetro do triângulo original.

Um segmento no plano cartesiano tem por extremos os pontos genéricos $A(a, b)$ e $B(b, a)$, com $a \neq b$. Demonstre algebricamente que o ponto médio de tal segmento pertence sempre à reta bissetriz dos quadrantes ímpares (cuja equação é $y = x$), independentemente dos valores numéricos que tomem $a$ e $b$.

Conhecem-se três vértices consecutivos de uma parcela com a forma de paralelogramo $ABCD$: $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(6, 9)$. Para encontrar as coordenadas do quarto vértice $D$, dois desenhadores propõem caminhos distintos:

• Método 1: Usar a equipolência de vetores igualando as componentes de $\vec{AB}$ e $\vec{DC}$.

• Método 2: Calcular o ponto médio da diagonal conhecida $AC$ e utilizar o facto de que deve coincidir com o ponto médio da outra diagonal, $BD$.

1. a) Desenvolve por completo ambos os métodos e verifica que conduzem ao mesmo resultado numérico para $D$.
2. b) Se o levantamento topográfico exigisse também encontrar o centro de simetria da parcela (o ponto central onde se cruzam as vedações diagonais), compara a eficiência de ambos os métodos e justifica qual deles poupa operações.
3. c) Se não fosse especificado que os vértices $A$, $B$ e $C$ estão em ordem alfabética consecutiva, fundamenta quantos paralelogramos distintos poderiam ser construídos com esses mesmos três pontos como vértices.

Num triângulo de vértices $A(-1, 3)$, $B(5, 7)$ e $C(3, -1)$:

1. a) Calcula as coordenadas do ponto médio $M$ do lado $BC$ e obtém as componentes do vetor que vai desde o vértice $A$ até esse ponto médio (segmento que define a mediana do triângulo).
2. b) O baricentro $G$ de um triângulo é o ponto que se encontra sobre cada mediana a dois terços da distância a partir do vértice correspondente ao lado oposto, satisfazendo a relação vetorial $\vec{AG} = 2\cdot \vec{GM}$. Calcula as coordenadas exatas de $G$ para este triângulo e demonstra algebricamente que essas coordenadas coincidem com a média aritmética das coordenadas dos seus três vértices: $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\ \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.
3. c) Se completarmos um paralelogramo que tenha como lados consecutivos os segmentos $AB$ e $AC$, fundamenta, sem necessidade de calcular distâncias, se o baricentro $G$ pode coincidir com o ponto de interseção das diagonais desse paralelogramo.