Exercícios: Distância entre dois pontos

Calcule a distância exata entre os pontos $A(2, 3)$ e $B(5, 7)$ no referencial cartesiano.

Um barco encontra-se nas coordenadas $P(-4, 1)$ e um farol em $Q(2, -7)$. Se cada unidade do plano equivale a um quilómetro, a que distância em linha reta o barco se encontra do farol?

Determine o comprimento do segmento cujas extremidades são a origem de coordenadas $O(0, 0)$ e o ponto $M(-8, 6)$.

Os vértices de um triângulo são $A(1, 1)$, $B(4, 1)$ e $C(1, 5)$. Calcule o perímetro deste triângulo somando os comprimentos dos seus três lados.

Num ecrã de radar bidimensional, dois aviões estão localizados nos pontos $R(-3, -2)$ e $S(9, 3)$. Determine a distância linear entre ambos nas unidades do radar.

Calcule o comprimento da diagonal de um retângulo sabendo que dois dos seus vértices opostos têm coordenadas $V_1(-1, 4)$ e $V_2(5, -4)$.

Verifique matematicamente se os segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ têm exatamente o mesmo comprimento, sendo as coordenadas dos pontos $A(0, 2)$, $B(3, 6)$, $C(-2, -1)$ e $D(2, 2)$.

Um topógrafo marca dois pontos num terreno plano: $T_1(12, 5)$ e $T_2(24, 10)$. Se as coordenadas estão expressas em metros, quantos metros de cabo precisa para os unir em linha reta?

O Marcos quer calcular a distância entre os pontos $A(-1, 5)$ e $B(3, 2)$ num plano cartesiano. No seu caderno escreve o seguinte desenvolvimento:

1. a) Aponta com precisão o erro conceptual e algébrico que o Marcos comete no último passo e explica por que motivo a raiz quadrada de uma soma não é igual à soma das raízes.
2. b) Corrige o procedimento e calcula o valor numérico exato da distância euclidiana entre $A$ e $B$.

Considera os pontos $A(1, 2)$ e $B(7, 10)$ no plano cartesiano.

1. a) Antes de aplicar a fórmula da distância, analisa as deslocações horizontal ($\Delta x = |7 - 1| = 6$) e vertical ($\Delta y = |10 - 2| = 8$). Raciocina por que razão o valor de $d(A,B)$ deve ser forçosamente maior do que $8$ e menor do que $14$ apoiando-te nas propriedades geométricas dos catetos e da hipotenusa de um triângulo retângulo (desigualdade triangular).
2. b) Calcula agora o valor analítico exato de $d(A,B)$ e verifica se a tua estimativa e os teus intervalos iniciais estavam corretos.

A distância entre os pontos $A(1, 2)$ e $B(x, 5)$ é de exatamente $5$ unidades. Determine os dois possíveis valores da coordenada $x$.

Um estafeta de bicicleta sai da loja situada em $O(0,0)$, vai em linha reta até à primeira entrega em $A(6, 8)$ e depois muda de direção para se dirigir à segunda entrega em $B(15, -4)$. Se cada unidade do plano representa $100$ metros, qual é a distância total percorrida em quilómetros?

Numa planta de arquitetura, três colunas principais serão situadas nas coordenadas $P(-2, 1)$, $Q(2, 4)$ e $R(5, 0)$. Demonstre matematicamente se o triângulo formado por estas três colunas é isósceles.

Uma antena de telecomunicações tem um alcance circular máximo de $10\text{ km}$. Se a antena está localizada no ponto $C(3, -2)$ de um mapa (onde $1$ unidade de coordenada equivale a $1\text{ km}$), verifique se um utilizador situado na posição $U(-4, 5)$ se encontra dentro da zona de cobertura.

Encontra as coordenadas de todos os pontos situados sobre o eixo das abcissas (eixo X) que estejam a exatamente $10$ unidades de distância do ponto $M(-6, 8)$.

Numa jogada ensaiada de futebol, um jogador situado em $J_1(10, 20)$ faz um passe rasteiro ao seu companheiro em $J_2(34, 27)$, que, sem parar a bola, remata diretamente em direção ao centro da baliza em $P(50, 15)$. Calcule a distância total percorrida pela bola. (As coordenadas estão dadas em metros).

Demonstre, calculando os comprimentos dos três lados e utilizando o teorema de Pitágoras, que o triângulo de vértices $A(2, 1)$, $B(6, 1)$ e $C(2, 4)$ é um triângulo retângulo.

A estação base de um teleférico está em $B(0, 0)$ e o cume da montanha em $C(120, 50)$ num plano bidimensional. É necessário instalar uma torre de suporte exatamente no ponto médio do trajeto linear. Calcule as coordenadas desse ponto médio e a distância da base até à torre.

Concebe as coordenadas de três pontos distintos do plano cartesiano, $A$, $B$ e $C$, situados todos no primeiro quadrante e com coordenadas inteiras não nulas, que cumpram ao mesmo tempo as seguintes condições:

1. A distância entre $A$ e $B$ deve ser exatamente $\sqrt{13}$ unidades.

2. A distância entre $B$ e $C$ deve ser exatamente $\sqrt{52}$ unidades.

3. Os três pontos devem estar alinhados, verificando a relação $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$.

Explica o raciocínio que seguiste para construir as suas coordenadas e demonstra analiticamente, calculando a distância $d(A,C)$, que os pontos estão efetivamente alinhados sem te apoiares num desenho.

O centro de coordenação de Salvamento Marítimo de Sines monitoriza duas embarcações em emergência na costa algarvia. No ecrã do radar (onde cada unidade da grelha representa $1\text{ milha náutica}$), um pesqueiro avariado está na posição $P(2, 5)$ e um veleiro em $V(8, -3)$. Uma lancha rápida de resgate encontra-se na costa no ponto $C(2, -1)$.

1. a) Se a lancha navegar em linha reta a velocidade constante, determina a qual das duas embarcações prestará auxílio primeiro. Justifica a tua conclusão calculando as distâncias exatas desde $C$ até cada uma delas.
2. b) Uma embarcação de apoio encontra-se no ponto intermédio $M(5, 1)$. Verifica numericamente, aplicando a condição métrica de alinhamento de pontos, se a referida embarcação se encontra exatamente no rumo direto que une o pesqueiro $P$ ao veleiro $V$.

Encontra as coordenadas de um ponto $P$ situado sobre a bissetriz do primeiro quadrante (a reta $y = x$) que seja equidistante dos pontos fixos $A(2, 0)$ e $B(0, 4)$.

Os pontos $A(-1, 3)$, $B(4, 5)$ e $C(2, -2)$ são três vértices consecutivos de um paralelogramo $ABCD$. Determine as coordenadas do quarto vértice $D$ e calcule o comprimento exato de ambas as diagonais do paralelogramo.

Num simulador de voo espacial em 3D, uma nave move-se da coordenada $P_1(2, -1, 4)$ até à estação orbital em $P_2(5, 3, 16)$. Calcule a distância linear exata que a nave percorre no espaço.

Uma tubagem reta deve ligar um poço situado no ponto $A(-3, 2)$ a uma bomba de água $P$ que obrigatoriamente deve ser instalada sobre o eixo das ordenadas (eixo Y). Se, por restrições de pressão, o comprimento da tubagem deve ser de exatamente $\sqrt{29}$ unidades, encontra as possíveis coordenadas para a bomba $P$.

Os vértices de um terreno com formato triangular são $A(-4, -2)$, $B(2, 6)$ e $C(6, 3)$. Demonstre primeiro que o terreno forma um triângulo retângulo e, em seguida, calcule o seu perímetro e a sua área exata.

Um sistema de rega automatizado é composto por um aspersor circular com centro em $C(x, y)$ que deve regar igualmente três árvores situadas nas coordenadas $T_1(0, 0)$, $T_2(6, 0)$ e $T_3(0, 8)$. Determine as coordenadas nas quais deve ser colocado o aspersor $C$ e qual será o seu raio de alcance exato.

Determine se os pontos $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$ e $C(7, 7)$ estão perfeitamente alinhados. Para isso, calcule as distâncias $d(A,B)$, $d(B,C)$ e $d(A,C)$, e verifique se a igualdade $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$ é satisfeita.

Uma empresa de telecomunicações quer instalar um cabo de fibra ótica que ligue dois edifícios $E_1(0, 0)$ e $E_2(21, 0)$. O custo de instalação é de $150\text{ \euro}$ por cada unidade de comprimento. Se decidirem adicionar um nó intermédio em $N(16, 12)$ e ligar $E_1$ com $N$, e depois $N$ com $E_2$, quanto dinheiro extra custará esse desvio em relação à ligação direta entre ambos os edifícios?

Para verificar se os pontos $A(-1, -2)$, $B(1, 2)$ e $C(3, 6)$ estão alinhados numa mesma reta, propõem-se duas estratégias matemáticas diferentes:

• Método 1 (Métrico): Calcular as três distâncias $d(A,B)$, $d(B,C)$ e $d(A,C)$ através do módulo dos deslocamentos e verificar se a soma das duas menores é igual à maior.

• Método 2 (Vetorial): Calcular as componentes dos vetores $\vec{AB}$ e $\vec{BC}$ e verificar se são diretamente proporcionais.

1. a) Aplica o Método 1 simplificando os radicais ao máximo para operar com valores exatos.
2. b) Aplica o Método 2.
3. c) Compara ambos os caminhos e argumenta qual dos dois é preferível do ponto de vista da economia de cálculo e da segurança para evitar erros de arredondamento quando as distâncias são números irracionais.

Uma empresa de telecomunicações planeia instalar uma torre repetidora para fornecer cobertura a duas povoações rurais representadas num mapa do concelho pelos pontos $A(-3, 2)$ e $B(5, 6)$ (coordenadas medidas em quilómetros). Por motivos técnicos de acesso, a estação deve ser construída sobre uma estrada reta cujo traçado corresponde à equação $y = 3x - 4$. Além disso, para equilibrar a potência do sinal recebido em ambas as povoações, a estação $P(x, y)$ deve ser equidistante de ambas ($d(P,A) = d(P,B)$).

1. a) Modela a condição de equidistância desenvolvendo a igualdade $d(P,A)^2 = d(P,B)^2$ e obtém a equação geral da reta mediatriz do segmento que une ambas as povoações.
2. b) Propõe e resolve o sistema de equações para encontrar as coordenadas exatas da localização da antena.
3. c) Calcula a distância exata, em quilómetros, desde a antena até cada uma das duas povoações, verificando que coincidem.