Exercícios: Simetria

Observe os gráficos das funções representadas nos painéis A e B. Indique que tipo de simetria (par, ímpar ou nenhuma) cada uma delas apresenta, justificando a sua resposta em função da sua forma visual.

Dada a função polinomial $f(x) = 3x^2 - 5$, calcule o valor de $f(-x)$. A partir do resultado, indique se a função apresenta simetria par, ímpar ou nenhuma.

Dada a função $g(x) = -2x^3$, calcule a expressão de $g(-x)$. Que tipo de simetria tem esta função?

Considere a função afim $f(x) = 2x + 1$. Verifique algebricamente se ela cumpre a condição de simetria par ($f(-x) = f(x)$) ou a de simetria ímpar ($f(-x) = -f(x)$).

Numa aula do 4.º ano do Ensino Secundário (ESO), o Mateo deve determinar se a função $f(x) = x^3 - 5x + 3$ é par, ímpar ou não tem simetria. O Mateo escreve no seu caderno o seguinte:

«Como o grau principal é 3 e os expoentes da variável $x$ são ímpares ($3$ e $1$), a função é ímpar. Para o verificar, calculo $f(-x) = (-x)^3 - 5(-x) + 3 = -x^3 + 5x + 3$, que, ao ter sinais diferentes relativamente à fórmula original, demonstra que é ímpar».

1. a) Identifica e explica os dois erros concetuais que o Mateo cometeu (um ao julgar a função apenas pelos expoentes de $x$ esquecendo o termo independente, e outro ao interpretar o que significa mudar de sinal uma função).
2. b) Apoia-te no valor da função na origem, $f(0)$, para justificar de forma imediata por que razão esta função não pode ser ímpar.
3. c) Corrige o exercício realizando a verificação algébrica adequada para determinar a simetria real de $f(x)$.

Uma função $g$, cujo domínio é todo o $\mathbb{R}$, possui simetria ímpar e dela conhecemos apenas três dados: $g(3) = -12$, $g(-1) = 4$ e que o seu gráfico interseta o eixo vertical no ponto $(0, k)$.

1. a) Deduz fundamentadamente o valor numérico da constante $k$ e calcula os valores de $g(-3)$ e $g(1)$ aplicando a definição algébrica de função ímpar.
2. b) Escreve a expressão analítica de um polinómio de terceiro grau com simetria ímpar, da forma $p(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x$, que cumpra simultaneamente que $p(1) = -4$ e cujo coeficiente principal seja $a = 2$.
3. c) Verifica de forma algébrica que a fórmula que obtiveste na alínea b cumpre rigorosamente a condição $p(-x) = -p(x)$ para qualquer valor de $x$.

Verifique de forma algébrica o tipo de simetria que a função racional $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$ apresenta.

O cabo de uma ponte suspensa adota a forma de uma parábola descrita pela equação $y = 0,05x^2 + 10$. Verifique algebricamente se essa função apresenta simetria par, ímpar ou nenhuma, e interprete o resultado geometricamente.

O gráfico a seguir mostra a variação de temperatura $T$ numa experiência química em função do tempo $t$, registada a partir do instante $t = 0$. Se o modelo matemático $T(t)$ que rege esta experiência é uma função par em todo o seu domínio real, qual será a temperatura no instante $t = -3$? Justifica a tua resposta.

Sabendo que $f(x)$ é uma função ímpar e que está definida no ponto $x = 0$, qual deve ser obrigatoriamente o valor de $f(0)$? Demonstre-o utilizando a definição de função ímpar.

Para averiguar se a função racional $f(x) = \frac{3x^2 - 6}{x^4 + 2}$ é par, ímpar ou não tem simetria, dois estudantes propõem caminhos distintos:

• A Beatriz propõe o método numérico: «Calculo $f(2)$ e $f(-2)$. Se ambos os resultados coincidirem exatamente, fica demonstrado a $100\,\%$ que a função é par».

• O João propõe o método analítico: «Calculo a expressão geral de $f(-x)$ substituindo formalmente $(-x)$ na variável, opero e comparo-a com $f(x)$ e $-f(x)$».

1. a) Avalia a fiabilidade do método da Beatriz: calcula $f(2)$ e $f(-2)$ e explica por que razão verificar uma igualdade num único par de números opostos não constitui uma demonstração matemática válida para todo o domínio.
2. b) Aplica o método do João desenvolvendo com clareza cada passo algébrico e conclui com certeza que tipo de simetria apresenta $f(x)$.
3. c) Em que circunstância concreta é que um método numérico como o da Beatriz seria conclusivo para resolver o problema da simetria? Justifica a tua resposta.

Uma estação do IPMA no distrito da Guarda regista a temperatura num dia de inverno anticiclónico e sem vento. Tomando como instante de referência ($t = 0$) as $14{:}00\text{ h}$ (momento de radiação solar máxima), os meteorologistas modelam a temperatura $T$ (em graus Celsius) durante as horas diurnas centrais através da função:

$T(t) = -0,5 \cdot t^2 + 8$, para $t \in [-4, 4]$

(onde $t$ indica as horas decorridas relativamente às $14{:}00\text{ h}$; por exemplo, $t = -3$ corresponde às $11{:}00\text{ h}$ e $t = 3$ corresponde às $17{:}00\text{ h}$).

1. a) Demonstra algebricamente que simetria apresenta a função $T(t)$ no intervalo dado calculando $T(-t)$.
2. b) Interpreta que significado físico tem essa simetria no contexto meteorológico real: que relação têm as temperaturas às $11{:}00\text{ h}$ e às $17{:}00\text{ h}$? E às $12{:}00\text{ h}$ em relação às $16{:}00\text{ h}$?
3. c) Se um relatório complementar propuser modelar a taxa de variação da temperatura através da função $v(t) = -1,0 \cdot t$, analisa a sua simetria e interpreta o que representa fisicamente o sinal de $v(t)$ antes das $14{:}00\text{ h}$ ($t < 0$) em comparação com depois das $14{:}00\text{ h}$ ($t > 0$).

Encontre o valor que o parâmetro $k$ deve assumir para que a função $f(x) = x^2 + kx + 5$ seja uma função par. Justifique a sua resposta algebricamente.

A potência gerada por um aerogerador é modelada através da função $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, onde $v$ representa a velocidade do vento. Estude analiticamente a simetria de $P(v)$. Se considerarmos velocidades de vento negativas como vento a soprar na direção contrária, qual é o significado físico da simetria obtida em relação à potência gerada?

Um aluno afirma que a função $f(x) = \frac{1}{x-2}$ é ímpar porque o $x$ do denominador está elevado a um expoente ímpar (1). Esta afirmação está correta? Demonstre-o ou refute-o através de uma análise algébrica.

Suponha que existe uma função $f(x)$ que seja simultaneamente par e ímpar em todo o seu domínio. Formule o sistema de equações que decorre das definições de ambas as simetrias e resolva-o para encontrar qual é a única função que cumpre essa condição.

Dadas duas funções com domínio em todo o $\mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - 4x$ (função ímpar) e $g(x) = x^2 + 3$ (função par), definem-se duas novas funções a partir delas: o seu produto $P(x) = f(x) \cdot g(x)$ e a sua soma $S(x) = f(x) + g(x)$.

1. a) Estima fundamentadamente, antes de efetuar cálculos de desenvolvimento algébrico, que tipo de simetria esperarias que o produto $P(x)$ tivesse (pensando na regra dos sinais de fatores pares e ímpares) e que simetria esperarias que a soma $S(x)$ tivesse ao combinar termos de comportamento distinto perante o sinal oposto.
2. b) Verifica as tuas estimativas calculando algebricamente as expressões desenvolvidas de $P(-x)$ e $S(-x)$, e classifica de forma rigorosa cada uma das duas funções em par, ímpar ou sem simetria.
3. c) Raciocina sobre a seguinte questão teórica: se somarmos qualquer função par não nula com qualquer função ímpar não nula, o resultado poderia alguma vez ser uma função par? Justifica a tua resposta utilizando a igualdade matemática que define as funções pares.

Uma equipa de design industrial modela o perfil curvo de uma peça através de uma função polinomial de terceiro grau: $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$.

Para se integrar no mecanismo, a peça deve cumprir três condições técnicas:

1. O seu gráfico deve ser estritamente simétrico relativamente à origem das coordenadas $(0,0)$.

2. A curva deve intersetar o eixo horizontal no ponto $(3, 0)$.

3. No ponto de abcissa $x = 1$, a função deve tomar o valor $y = -8$.

1. a) Deduz fundamentadamente os valores obrigatórios dos coeficientes $b$ e $d$ sem formular sistemas de equações, baseando-te exclusivamente na definição analítica e geométrica de simetria ímpar.
2. b) Formula o sistema de equações lineares correspondente às condições 2 e 3, resolve-o e escreve a fórmula analítica definitiva da função $f(x)$.
3. c) Demonstra que, para qualquer função ímpar $f$ e para qualquer ponto $x_0 \neq 0$ do seu domínio, a reta secante que une o ponto $A(x_0, f(x_0))$ ao seu simétrico $B(-x_0, f(-x_0))$ passa necessariamente pela origem das coordenadas $(0,0)$.