Exercícios: Representação de funções

Um taxista cobra uma bandeirada de $3$ € e $1,5$ € por cada quilómetro percorrido. Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o custo do trajeto com os quilómetros percorridos.

Determine as coordenadas do vértice e a equação do eixo de simetria da parábola $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

Indique quais são as assíntotas vertical e horizontal da função de proporcionalidade inversa $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.

Num concurso de perguntas, os pontos acumulados duplicam a cada ronda superada. Se começas com $100$ pontos, escreve a função exponencial $P(r)$ que fornece os pontos em função do número de rondas $r$ superadas.

Dada a função definida por ramos $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcule os valores numéricos de $f(-2)$, $f(0)$ e $f(3)$.

Encontra o domínio da função radical $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

Uma reta passa pelos pontos $(-3, -4)$ e $(0, 4)$. Determina o seu declive, a sua ordenada na origem e a sua expressão algébrica.

Determine o domínio da função logarítmica $f(x) = \log_3(x - 5)$.

O Marcos tem de representar a função racional $f(x) = \dfrac{3}{x-2} + 4$. No seu caderno de trabalho escreve: «Como o denominador se anula em $x = 2$, a assíntota horizontal é $x = 2$. E como a constante somada no final é $4$, a assíntota vertical é $y = 4$. Portanto, o gráfico não pode intersetar nenhum dos dois eixos coordenados». Localiza os dois erros conceptuais cometidos pelo Marcos, explica por palavras tuas por que razão ele confunde o comportamento das assíntotas e corrige a sua análise, determinando as equações corretas de ambas as assíntotas e as coordenadas do ponto de interseção com o eixo $Y$.

Determina a expressão algébrica de uma função quadrática da forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ que satisfaça simultaneamente estas três condições geométricas: tem o seu vértice no ponto $V(3, 4)$, interseta o eixo das ordenadas (eixo $Y$) no ponto $(0, -5)$ e os seus ramos abrem-se para baixo. Explica passo a passo como deduzes os coeficientes $a$, $b$ e $c$ a partir da simetria da parábola e das propriedades do vértice, sem te limitares a resolver mecanicamente um sistema de três equações a três incógnitas.

O lucro da venda de t-shirts da festa de finalistas, em euros, é dado pela função $B(x) = -2x^2 + 120x - 1000$, onde $x$ é o número de t-shirts vendidas em centenas. Quantas t-shirts devem vender para maximizar o lucro e qual é esse lucro máximo?

O gráfico a seguir mostra a velocidade de um ciclista em função do tempo. Determine a expressão algébrica da função definida por partes que a representa.

O aluguer de um autocarro para uma excursão escolar custa $600$ €. Escreve a função $C(x)$ que determina o custo por aluno em função do número de alunos $x$ que comparecerem. Se à última hora desistirem $5$ alunos, escreve a nova função de custo por aluno e calcula quanto pagará cada um se originalmente iam $30$ alunos.

Investem-se $5000$ € num depósito bancário que oferece juros compostos anuais de $4\%$. Escreva a função exponencial que modela o capital acumulado ao fim de $t$ anos e calcule o capital disponível após $5$ anos.

O tempo $t$ (em segundos) que um objeto solto de uma altura $h$ (em metros) leva para cair ao chão aproxima-se com a função radical $t(h) = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcule o domínio da função neste contexto e determine o tempo que um objeto solto de $4,9$ metros de altura leva para cair.

A partir da parábola base $y = x^2$ (em traço tracejado), realizou-se uma translação para obter a parábola em traço contínuo. Escreva a expressão algébrica da nova parábola e indique o vetor de translação aplicado.

O nível de intensidade sonora $L$, em decibéis (dB), calcula-se mediante a função logarítmica $L(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, onde $I$ é a intensidade do som e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ é o limiar de audição. Calcule o nível de intensidade sonora de uma conversa normal cuja intensidade é $I = 10^{-6} \text{ W/m}^2$.

A altura $h(t)$ em metros de uma cabine de uma roda-gigante em relação ao solo em função do tempo $t$ em minutos é dada por $h(t) = 12 + 10\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. Qual é a altura máxima e mínima que a roda-gigante atinge? Quanto tempo leva a dar uma volta completa?

Numa prova de atletismo escolar em Portugal, o lançamento do peso de uma atleta descreve uma trajetória parabólica dada pela função $h(x) = -0,05x^2 + 0,6x + 1,8$, onde $x$ é a distância horizontal percorrida em metros e $h(x)$ é a altura do engenho acima do solo em metros.

1. a) Antes de calcular com fórmulas, estima de forma fundamentada entre que valores inteiros estará a distância em que se atinge a altura máxima e se a marca final superará os $14\text{ m}$, apoiando-te no significado da ordenada na origem e na rapidez com que a trajetória muda.
2. b) Calcula com exatidão as coordenadas do vértice e o alcance total do lançamento (interseção com o solo, $h(x) = 0$). Compara os valores numéricos obtidos com as tuas estimativas anteriores e avalia se o modelo matemático é coerente com a realidade desta modalidade desportiva.

Uma empresa pública de abastecimento de água em Portugal fatura o consumo doméstico bimestral para fomentar a poupança responsável através de uma tarifa por escalões. A quota fixa do serviço é de $12$ € por bimestre. O consumo de água é faturado de acordo com as seguintes regras:

• Os primeiros $20\text{ m}^3$ consumidos têm um preço reduzido de $0,50$ € por cada $\text{m}^3$.

• Para consumos superiores a $20\text{ m}^3$ e até um máximo de $50\text{ m}^3$, os primeiros $20\text{ m}^3$ são faturados à tarifa reduzida e cada metro cúbico adicional que exceda $20$ custa $1,20$ €.

• Qualquer consumo que supere os $50\text{ m}^3$ é cobrado pagando os escalões anteriores mais $2,00$ € por cada metro cúbico que ultrapasse os $50\text{ m}^3$.

Escreve a expressão analítica da função definida por ramos $C(x)$ que relaciona o custo total da fatura (em euros) em função dos metros cúbicos $x$ consumidos. Explica como calculas os termos independentes de cada ramo para garantir que a função seja contínua e não ocorra nenhum salto injustificado no valor.

Exprima a função $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como uma função definida por ramos sem utilizar o valor absoluto. Indique em que intervalos a função quadrática original era negativa antes de aplicar o valor absoluto.

A trajetória de um projétil descreve uma parábola de equação $y = ax^2 + bx + c$. Sabendo que o projétil é lançado a partir do ponto $(0, 3)$, atinge a sua altura máxima no ponto $(2, 7)$ e cai no chão, determine a expressão algébrica da parábola e calcule a que distância horizontal do ponto de lançamento ele vai embater no chão.

O gráfico mostra a interseção entre a reta $y = -x + 5$ e a hipérbole $y = \frac{4}{x}$. Calcule de forma analítica as coordenadas exatas dos pontos de interseção $A$ e $B$.

A quantidade de carbono-14 num fóssil diminui exponencialmente segundo a função $N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{5730}}$, onde $N_0$ é a quantidade inicial e $t$ o tempo em anos. Se um osso conserva apenas $12,5\%$ do seu carbono-14 original, quantos anos se passaram?

Um agricultor dispõe de $120$ metros de vedação para vedar um terreno retangular adjacente a um rio retilíneo. Sabendo que não precisa de vedar o lado que dá para o rio, escreva a função que dá a área do terreno em função da largura $x$ perpendicular ao rio. Que dimensões maximizam a área e qual é a área máxima?

Dada a função de proporcionalidade inversa $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$, determine a expressão da sua função inversa $f^{-1}(x)$. Verifique analiticamente que as assíntotas verticais e horizontais se trocam entre $f(x)$ e $f^{-1}(x)$.

Determine os valores dos parâmetros $a$, $b$ e $c$ da função racional $f(x) = \frac{ax + 2}{bx + c}$ sabendo que tem uma assíntota vertical em $x = 1$, uma assíntota horizontal em $y = 3$ e passa pelo ponto $(2, 8)$.

O custo mensal da conta de água num município é calculado através de uma função definida por ramos: uma taxa fixa de $10$ € que inclui os primeiros $15 \text{ m}^3$, um custo de $0,5$ € por $\text{m}^3$ adicional para o consumo entre $15 \text{ m}^3$ e $30 \text{ m}^3$, e um custo de $1,2$ € por cada $\text{m}^3$ que exceda os $30 \text{ m}^3$. Escreva a expressão analítica da função custo $C(x)$ em função dos metros cúbicos totais consumidos $x$.

Para representar com precisão a função quadrática $f(x) = 2x^2 - 12x + 10$ e determinar o seu eixo de simetria e o seu vértice, dois estudantes defendem estratégias distintas:

• A Irene propõe transformar a expressão algébrica completando o quadrado até obter a forma canónica $f(x) = a(x - p)^2 + q$.

• O Sérgio propõe resolver primeiro a equação $2x^2 - 12x + 10 = 0$ com a fórmula resolvente, calcular a média das duas raízes para situar o eixo de simetria no ponto médio e substituir essa abcissa na função para encontrar o vértice.

1. a) Aplica passo a passo ambos os métodos para encontrar as coordenadas do vértice e o eixo de simetria.
2. b) Compara os dois caminhos: que vantagens e desvantagens tem cada um? Justifica em que situação concreta (por exemplo, atendendo ao sinal do discriminante da equação) o método do Sérgio deixa de ser aplicável de forma direta no conjunto dos números reais, enquanto o procedimento da Irene continua a funcionar sem qualquer obstáculo.

Uma boia oceanográfica instalada junto à costa do Algarve monitoriza as oscilações das marés. A altura do nível do mar $h(t)$ (em metros) relativamente a um fundo de referência segue um comportamento periódico de período $T = 12\text{ h}$. Durante um ciclo básico $t \in [0, 12]$, a altura é modelada através de dois ramos parabólicos:

• Ramo de maré baixa (em torno do nível mínimo), para $t \in [0, 6]$: $h(t) = a(t - 3)^2 + 1$.

• Ramo de maré alta (em torno do nível máximo), para $t \in [6, 12]$: $h(t) = -a(t - 9)^2 + k$.

Sabe-se pelos registos do porto que o nível do mar varia de forma contínua (sem saltos bruscos), que a maré baixa mínima é de $1\text{ m}$ e que a maré alta máxima é de $5\text{ m}$.

1. a) Deduz os valores exatos dos parâmetros $a$ e $k$. Justifica o teu raciocínio a partir das coordenadas dos vértices e da condição de continuidade no instante de transição de ramo ($t = 6\text{ h}$).
2. b) Sem necessidade de definir novas fórmulas para instantes posteriores, determina de forma fundamentada a altura do mar nos instantes $t = 27\text{ h}$ e $t = 66\text{ h}$ baseando-te exclusivamente na propriedade formal de periodicidade $h(t + T) = h(t)$.