Exercícios: Conceitos básicos

Dada a função polinomial $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$, calcule as imagens para os valores $x = -2$, $x = 0$ e $x = 3$.

Um serviço de aluguer de bicicletas cobra uma taxa fixa de $3$ euros pela inscrição no serviço, mais $1,50$ euros por cada hora de utilização. Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o custo total com o tempo de utilização, e identifique qual é a variável independente e qual é a variável dependente.

Calcule a Taxa de Variação Média (TVM) da função $f(x) = x^2 - 4$ nos intervalos $[-1, 2]$ e $[2, 5]$.

Determine o domínio de definição das seguintes funções:

1. a) $f(x) = \frac{3}{x - 5}$
2. b) $g(x) = \sqrt{x + 2}$

Observe o seguinte gráfico de uma função $f(x)$ e determine os seus intervalos de monotonia (crescimento e decrescimento), bem como as coordenadas exatas dos seus máximos e mínimos relativos.

Determine algebricamente se as seguintes funções são pares, ímpares ou não têm nenhum tipo de simetria:

1. a) $f(x) = x^4 - 2x^2$
2. b) $g(x) = x^3 - 3x + 1$

A partir do gráfico da função $h(x)$, sabendo que a ordenada do ponto aberto em $x = -2$ é $1,25$, indica em forma de intervalo o seu domínio e o seu contradomínio.

Calcule analiticamente os pontos de interseção com o eixo das abscissas (eixo X) e com o eixo das ordenadas (eixo Y) da função $f(x) = x^2 - 6x + 8$.

Ao estudar a função $f(x) = \dfrac{2x - 6}{x + 1}$, o Hugo comete um erro conceptual muito habitual ao determinar as interseções com os eixos. No seu caderno escreve:\n«Para determinar a interseção com o eixo $Y$, resolvo a equação $2x - 6 = 0$, de onde obtenho $x = 3$, pelo que o gráfico interseta o eixo $Y$ no ponto $(3, 0)$. Para determinar a interseção com o eixo $X$, substituo $x = 0$ e calculo $f(0) = \dfrac{-6}{1} = -6$, pelo que interseta o eixo $X$ no ponto $(0, -6)$».\na) Explica detalhadamente que confusão teve o Hugo sobre o papel das variáveis independente e dependente ao procurar as interseções com os eixos.\nb) Justifica, a partir da definição de função, por que razão é matematicamente impossível que o gráfico de uma função intersete o eixo $Y$ em dois ou mais pontos distintos.\nc) Corrige o procedimento do Hugo e determina as coordenadas corretas dos pontos de interseção de $f(x)$ com ambos os eixos cartesianos.

Escreve a expressão algébrica de uma função racional da forma $f(x) = \dfrac{a \cdot x + b}{x + c}$ que cumpra simultaneamente as três condições seguintes:\n1) O seu domínio de definição é $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.\n2) O seu gráfico interseta o eixo das ordenadas (eixo $Y$) no ponto $(0, -3)$.\n3) O seu gráfico interseta o eixo das abcissas (eixo $X$) no ponto $(3, 0)$.\nExplica passo a passo como deduzes o valor numérico de cada um dos parâmetros $a$, $b$ e $c$, e escreve a fórmula definitiva da função verificando que o numerador não se anula no valor excluído do domínio.

A distância $d$ (em metros) que um objeto percorre em queda livre em função do tempo $t$ (em segundos) é aproximada pela função $d(t) = 5t^2$. Calcule a velocidade média do objeto (que corresponde à taxa de variação média) entre o primeiro e o terceiro segundo ($t \in [1, 3]$), e entre o terceiro e o quinto segundo ($t \in [3, 5]$).

Encontra o domínio da função $f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$.

Dado o seguinte gráfico de uma função definida por ramos, determine os valores de $f(-2)$, $f(1)$ e $f(4)$. Em seguida, indique em que pontos a função é descontínua e de que tipo é cada descontinuidade.

Determine analiticamente as equações das assíntotas verticais e horizontais da função racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$.

Uma empresa de táxis cobra $3$ euros pela bandeirada e $1,20$ euros por cada quilómetro percorrido.

1. a) Escreva a função que relaciona o preço total do trajeto com os quilómetros percorridos.
2. b) Qual é o domínio desta função tendo em conta o contexto do problema?
3. c) Quanto custará um trajeto de $15$ km?
4. d) Se um cliente pagou $21$ euros, quantos quilómetros percorreu?

O gráfico em anexo representa a altura, em metros, a que se encontra uma cabine de uma roda-gigante em função do tempo, em minutos. Observa o gráfico e responde:

1. a) É uma função periódica? Em caso afirmativo, indica o seu período.
2. b) Qual é a altura máxima e mínima que a cabine atinge?
3. c) A que altura se encontra a cabine aos $10$ minutos exatos do início da rotação?

Calcule a taxa de variação média da função $f(x) = \frac{1}{x}$ nos intervalos $[1, 2]$ e $[2, 4]$. O que indica o sinal dos resultados sobre a monotonia da função nesses intervalos?

A temperatura $T$ (em graus Celsius) no interior de um forno industrial desde que se acende até que se apaga é dada pela função $T(t) = -t^2 + 8t + 20$, onde $t$ é o tempo decorrido em horas. Em que instante se atinge a temperatura máxima? Qual é o valor dessa temperatura máxima?

A temperatura $T$ (em graus Celsius) registada por uma estação meteorológica do IPMA numa zona de montanha durante uma tarde de inverno é dada pela função $T(t) = -0,5 \cdot t^2 + 2t + 4$, onde $t$ é o tempo decorrido em horas desde as 12:00 do meio-dia ($t = 0$), para $t \in [0, 6]$.\na) Sem realizar cálculos numéricos exatos, estima de forma qualitativa se a Taxa de Variação Média no intervalo $[1, 5]$ (ou seja, $\text{TVM}[1, 5]$) será positiva ou negativa. Justifica a tua estimativa com base na forma da parábola e no sinal do seu coeficiente principal.\nb) Calcula algebricamente o valor exato da $\text{TVM}[1, 5]$ aplicando a sua fórmula e indica as unidades físicas que correspondem ao resultado.\nc) Verifica se o valor obtido coincide com a tua estimativa prévia e explica que significado físico tem esse resultado em relação ao arrefecimento ou aquecimento médio do ambiente durante essas horas.

O serviço municipal de aluguer de bicicletas elétricas de uma cidade portuguesa fatura o custo $C(t)$ (em euros) em função do tempo de utilização $t$ (em minutos, com $0 \le t \le 90$) mediante uma função definida por ramos. Os primeiros 20 minutos combinam uma taxa de desbloqueio com uma tarifa reduzida e, a partir do minuto 20, o custo por minuto aumenta para evitar que se monopolizem as bicicletas:\n$C(t) = \begin{cases} 0,60 + 0,05 \cdot t & \text{se } 0 \le t \le 20 \\ k + 0,15 \cdot (t - 20) & \text{se } 20 < t \le 90 \end{cases}$\na) Calcula o valor que deve tomar o parâmetro $k$ para que a função seja contínua em $t = 20$. Justifica que consequência económica ou injustiça para o utilizador ocorreria se houvesse uma descontinuidade de salto nesse instante.\nb) Sabendo que a tarifa é contínua, se um utilizador receber uma cobrança exata de $4,60$ € na sua aplicação móvel, formula e resolve a equação correspondente para descobrir quantos minutos durou o seu trajeto.\nc) Calcula a taxa de variação média do custo no intervalo $[5, 15]$ e no intervalo $[30, 50]$. Explica o que representam estes dois valores numéricos relativamente ao preço por minuto de cada escalão tarifário.

Encontra os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a seguinte função definida por ramos seja contínua em todo o seu domínio:

$f(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{si } x < 1 \\ x^2 - 3x + 5 & \text{si } 1 \le x < 4 \\ bx - 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$

Um agricultor dispõe de $100$ metros de cerca para vedar uma horta retangular aproveitando o muro retilíneo de um barracão já construído, de modo que só precisa de vedar três dos quatro lados do retângulo.

1. a) Encontra a expressão da função que dá a área da horta em função do comprimento $x$ de um dos lados perpendiculares ao muro.
2. b) Determina o domínio de definição válido para $x$ no contexto deste problema.
3. c) Que dimensões deve ter a horta para que a sua área seja máxima?

Determine analiticamente o domínio de definição da função $f(x) = \sqrt{\frac{x - 3}{x + 2}}$. Exprima o resultado como união de intervalos.

Dada a função quadrática $f(x) = x^2 + kx$, determine o valor do parâmetro $k$ sabendo que a Taxa de Variação Média da função no intervalo $[1, 3]$ é igual a $8$.

Analise o seguinte gráfico da função $f(x)$ e determine:

1. a) O seu domínio e contradomínio.
2. b) As equações das suas assíntotas.
3. c) Os intervalos de monotonia (crescimento e decrescimento).
4. d) As coordenadas dos seus extremos relativos (máximos e mínimos).

Dada a função racional $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$:

1. a) Demonstre analiticamente se é uma função par, ímpar ou se não apresenta simetria.
2. b) Calcule os pontos de interseção com os eixos de coordenadas.
3. c) Encontre as equações de todas as suas assíntotas (verticais e horizontais).

Um parque de estacionamento público tem a seguinte tarifa: cobra $2$ euros pela primeira hora (ou fração de hora), e $1,50$ euros por cada hora adicional (ou fração). O custo máximo por dia é de $12$ euros. Escreva a expressão analítica da função definida por ramos que relaciona o preço a pagar com o tempo de estacionamento $t$ (em horas) para as primeiras $5$ horas, indicando claramente os intervalos de definição para cada ramo.

Dada a função racional $f(x) = \frac{ax^2 + 3}{2x^2 - x}$, determine o valor do parâmetro $a$ para que a função tenha uma assíntota horizontal na reta $y = 4$. Com esse valor de $a$ já calculado, determine também as equações das assíntotas verticais da função.

Para determinar se a função racional $f(x) = \dfrac{4x}{x^2 - 9}$ apresenta algum tipo de simetria (par, ímpar ou nenhuma), dois estudantes do 4.º de ESO defendem métodos diferentes:\n- Estratégia de Álvaro: Avalia a função num valor concreto do seu domínio, por exemplo $x = 1$, obtendo $f(1) = -0,5$ e $f(-1) = 0,5$. Ao observar que $f(-1) = -f(1)$, afirma que isto demonstra com certeza que a função é ímpar em todo o seu domínio.\n- Estratégia de Marta: Sustenta que verificar um caso particular não demonstra uma propriedade geral. Propõe substituir a variável $x$ por $-x$ de forma genérica, simplificar a expressão algébrica de $f(-x)$ e compará-la formalmente com $-f(x)$ e com $f(x)$.\na) Analisa a estratégia de Álvaro: justifica por que razão um exemplo numérico não constitui uma demonstração matemática válida e fornece a fórmula de uma função $g(x)$ que cumpra $g(-1) = -g(1)$, mas que não seja ímpar no resto do seu domínio.\nb) Aplica a estratégia de Marta desenvolvendo algebricamente $f(-x)$ e conclui com rigor que tipo de simetria tem $f(x)$.\nc) Justifica em que situação de um exame pode ser útil o método de Álvaro (a título de descarte ou conjetura) e por que razão o método de Marta é o único matematicamente conclusivo.

Uma equipa de engenharia eletrónica projeta a resposta de um filtro de sinal cujo ganho de tensão $f(x)$ (em volts) depende da frequência de entrada $x$ (em kHz). A resposta segue o modelo de função racional:\n$f(x) = \dfrac{a \cdot x^2 + b}{c \cdot x^2 - 18}$\nPara que o circuito funcione de forma ótima, deve cumprir rigorosamente quatro especificações técnicas:\n1) O gráfico é simétrico em relação ao eixo $Y$ (função par).\n2) O circuito entra em ressonância crítica (apresenta assíntotas verticais) exatamente nas frequências $x = 3$ kHz e $x = -3$ kHz.\n3) A frequências extremamente altas ($x \to \infty$), o ganho estabiliza numa assíntota horizontal de valor $y = 2$ V.\n4) Quando não há sinal de entrada ($x = 0$ kHz), o ganho inicial é de $-1$ V.\na) Deduz de forma fundamentada o valor dos coeficientes $a$, $b$ e $c$. Justifica cada dedução a partir das condições dadas.\nb) Demonstra formalmente que a função obtida com esses coeficientes cumpre a condição algébrica de função par para todo o $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$.\nc) Determina se o sinal de saída se pode anular em algum momento (isto é, se o gráfico interseta o eixo $X$). Justifica a tua resposta resolvendo a equação $f(x) = 0$ e explica por que razão ter uma assíntota horizontal em $y = 2$ não impede, em princípio, que uma função possa intersetar ou não o eixo horizontal.