Exercícios: Progressões geométricas

Um jovem criador de conteúdo numa rede social observa que o número de reproduções dos seus vídeos aumenta de forma constante. No primeiro dia obteve $200$ visualizações, no segundo $600$, no terceiro $1800$, e assim sucessivamente, seguindo uma progressão geométrica.

1. a) Determine a razão $r$ da progressão.
2. b) Calcule quantas visualizações receberá no sexto dia se essa tendência se mantiver.

Para comprar uma bicicleta elétrica, uma estudante decide fazer o "desafio da poupança semanal": guarda dinheiro a cada semana de forma que cada depósito seja o dobro do anterior. Na primeira semana guarda $2$ €, na segunda $4$ €, na terceira $8$ €, e assim sucessivamente.

1. a) Escreva o termo geral $a_n$ desta progressão.
2. b) Utilize a fórmula da soma de termos de uma progressão geométrica para descobrir quanto dinheiro terá acumulado no total ao fim de $8$ semanas.

Um avô abre uma conta de poupança para o seu neto recém-nascido com um capital inicial de $2000$ €. A instituição bancária oferece juros simples anuais de $2,5 \%$.

1. a) Calcule os juros que a conta gerará ao fim de $10$ anos.
2. b) A quanto ascenderá o capital total acumulado após esse período?

Devido à inflação, o preço da renda de uma zona jovem da cidade tem subido $4 \%$ por ano de forma acumulada. Se o preço atual de um estúdio é de $650$ € por mês:

1. a) Qual será o preço da renda daqui a $3$ anos?
2. b) Identifique os elementos da progressão geométrica que modela esta situação (capital inicial $C_0$ e razão $r$).

Um banco oferece uma aplicação a juros compostos com uma taxa de rendimento anual de $3 \%$. Se depositarmos $5000$ € e não fizermos nenhum outro depósito nem levantamento:

1. a) Qual será o capital final ao fim de $4$ anos?
2. b) Quanto dinheiro teremos ganhado exclusivamente a título de juros?

O valor de mercado de um modelo de consola de videojogos deprecia-se $12 \%$ a cada ano que passa. Se o preço de lançamento é de $499$ €:

1. a) Escreva os três primeiros termos da sucessão de preços anuais.
2. b) Calcule o valor da consola após $5$ anos.

Calcule o capital final obtido ao investir $1500$ € durante $2$ anos a juros compostos de $4 \%$ anuais, se o período de capitalização dos juros for mensal (ou seja, os juros são creditados a cada mês).

Uma empresa de entregas em Lisboa compra uma carrinha de distribuição elétrica por um valor inicial de $28\,000$ €. A empresa sabe que este tipo de veículos sofre uma depreciação anual continuada de $12\,\%$ sobre o seu valor do ano anterior. O Marcos, o contabilista estagiário, calcula o valor do veículo ao fim de $4$ anos da seguinte forma:

«Como o veículo perde $12\,\%$ a cada ano, em $4$ anos terá perdido $4 \cdot 12\,\% = 48\,\%$ do seu valor original. Portanto, o valor contabilístico aos $4$ anos será $28\,000 \cdot (1 - 0{,}48) = 14\,560$ €».

1. a) Explica por palavras tuas o erro conceptual que o Marcos comete e por que razão o seu método confunde o modelo linear (juro simples) com o processo geométrico de depreciação.
2. b) Modela o valor do veículo como uma progressão geométrica: identifica o termo inicial $a_1$ (valor após o primeiro ano), a razão $r$ e escreve o termo geral $a_n$ que determina o valor do veículo ao terminar o ano $n$.
3. c) Calcula o valor contabilístico real da carrinha aos $4$ anos e determina em quantos euros o Marcos sobrestimou ou subestimou o valor do ativo.

A Sofia deposita $5\,000$ € numa conta a prazo de uma instituição bancária portuguesa que lhe garante um juro de $4\,\%$ anual composto, sem realizar mais entregas nem levantamentos.

1. a) Estima, antes de realizar qualquer cálculo analítico com logaritmos, quantos anos aproximadamente demorará a acumular pelo menos $7\,000$ € (um aumento de $40\,\%$ sobre o capital inicial). Para isso, faz um cálculo mental aproximado considerando apenas o juro simples do primeiro ano e explica se o tempo real com juro composto será um pouco maior ou menor do que a tua estimativa.
2. b) Apresenta a equação do capital final $C_n = C_0 \cdot (1+i)^n$ e isola $n$ utilizando logaritmos para calcular o número exato de períodos necessários para atingir ou ultrapassar os $7\,000$ €.
3. c) Compara o resultado analítico com a tua estimativa inicial e justifica que número inteiro de anos a Sofia deve esperar para poder levantar, no mínimo, essa quantia.

Uma jovem decide investir as suas economias de $2500 €$ num produto financeiro que oferece juros compostos de $3,2 \%$ anuais.

1. a) Qual será o capital final se os juros forem capitalizados anualmente durante 6 anos?
2. b) Qual seria a diferença se a capitalização fosse mensal em vez de anual para esse mesmo período de tempo?

Um investidor analisa duas contas de poupança diferentes:

• Conta A: Oferece juros de $4 \%$ anuais com capitalização trimestral.

• Conta B: Oferece juros de $4,05 \%$ anuais com capitalização anual.

Determine fundamentadamente, calculando a Taxa Anual Equivalente (TAE) da Conta A, qual das duas opções é mais vantajosa para o investidor.

Um pequeno empresário solicita um empréstimo de $15000 €$ para adquirir maquinaria. O banco concede-lhe o empréstimo a juros de $5,5 \%$ anuais, que deve devolver em prestações mensais iguais durante 4 anos.

1. a) Calcule o valor da prestação mensal que deverá pagar.
2. b) A quanto ascenderão os juros totais pagos no final do empréstimo?

Um estudante universitário compra um computador portátil de última geração por $1200\ €$. Estima-se que o valor do equipamento se desvaloriza $15\,\%$ em cada ano de forma acumulada.

1. a) Qual será o valor do computador após 3 anos de uso?

1. b) Quantos anos devem passar para que o valor do computador seja inferior à quarta parte do seu preço original? (Utiliza logaritmos para o cálculo.)

Uma jovem de 18 anos quer constituir um fundo de $150000 €$ dentro de 20 anos, quando completar 38, para a entrada de um imóvel e a criação do seu próprio negócio. Se a instituição financeira lhe garante uma taxa de juro média de $3,5 \%$ anual, capitalizável anualmente:

Que quantia fixa deveria ela depositar no início de cada ano para atingir o seu objetivo?

Dada a progressão geométrica definida pelos termos $a_2 = 12$ e $a_5 = 324$:

1. a) Determine a razão $r$ e o primeiro termo $a_1$.
2. b) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da progressão.
3. c) Seria possível calcular a soma dos seus infinitos termos? Justifique a sua resposta.

Uma família quer dispor de um fundo de poupança para os estudos universitários do seu filho dentro de $4$ anos. Para isso, decidem realizar quatro entregas constantes de $a$ euros no início de cada um dos próximos $4$ anos num produto financeiro com um juro garantido de $3{,}5\,\%$ anual composto. No final do quarto ano, o saldo acumulado no fundo é exatamente de $10\,843{,}60$ €.

1. a) Escreve a equação que modela este plano de poupança relacionando o capital final com a quota anual $a$, baseando-te na soma dos termos de uma progressão geométrica de razão $r = 1 + i$.
2. b) A partir da equação apresentada, isola e calcula o valor da entrega anual $a$.
3. c) Considera a situação inversa: a família entrega exatamente $2\,000$ € no início de cada ano durante $3$ anos e deseja acumular um capital final de $6\,500$ €. Escreve a equação polinomial em função da razão $r = 1+i$ que permitiria calcular a taxa de rentabilidade anual $i$ necessária para atingir esse objetivo.

Segundo dados do Instituto Nacional de Estatística (INE), um município da sub-região do Alto Alentejo contava com $3\,200$ habitantes recenseados à data de $1$ de janeiro de $2020$. Devido ao envelhecimento populacional e à falta de renovação geracional, a sua população diminui a cada ano a um ritmo regular de $4\,\%$ relativamente à do ano anterior.

1. a) Modela a evolução da população como uma progressão geométrica: determina a razão $r$, escreve o termo geral $P_n$ que estima a população decorridos $n$ anos desde $2020$, e calcula a população prevista para $1$ de janeiro de $2025$.
2. b) Se esta tendência continuar de forma constante, em que ano a população do município descerá dos $2\,000$ habitantes pela primeira vez? Formula a inequação correspondente, resolve-a aplicando logaritmos (prestando especial atenção às propriedades das desigualdades ao dividir por números negativos) e fundamenta a resposta temporal.
3. c) Utilizando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, calcula quantos habitantes o município terá perdido no total desde $1$ de janeiro de $2020$ até $1$ de janeiro de $2030$.

Uma jovem empreendedora decide abrir uma conta de poupança para financiar o seu projeto de uma marca de roupa sustentável dentro de 5 anos. Para isso, compromete-se a depositar $150$ € no início de cada mês. A instituição bancária oferece-lhe uma taxa de juro nominal anual de $4,5\%$, com capitalização mensal dos juros.

Calcule o capital total acumulado no final dos 5 anos. Para resolver, obtenha primeiro a taxa de juro mensal equivalente e aplique a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica (anuidade de capitalização).

Uma família solicita um empréstimo à habitação de $180\,000$ € para pagar em 20 anos através de prestações mensais constantes (sistema francês). O banco aplica uma taxa de juro de $3,25\%$ anual. No entanto, o contrato inclui uma cláusula de "carência parcial" durante os dois primeiros anos, em que a família pagará apenas os juros gerados, sem amortizar nada do capital.

1. a) Calcule a prestação mensal que a família pagará durante os dois primeiros anos (período de carência).
2. b) Calcule a prestação mensal que deverão pagar a partir do terceiro ano até ao final do empréstimo. Considere que, nesse momento, o capital em dívida continua a ser o inicial, mas o tempo restante diminuiu.

Comparamos dois produtos de investimento para um capital de $10\,000$ € durante 4 anos:

• Produto A: Juros compostos anuais de $5\%$.

• Produto B: Juro nominal de $4,8\%$ anual com capitalização mensal dos juros.

Determine qual dos dois produtos é mais rentável calculando a Taxa Anual Equivalente (TAE) de cada um. Explique porque é que, embora o Produto B tenha uma taxa de juro nominal mais baixa, a frequência de capitalização influencia o resultado final.

Um colecionador de arte compra uma escultura por $12\,000$ €. Estima-se que o seu valor aumentará $8\%$ a cada ano de forma constante. Ao mesmo tempo, a inflação média prevista para a próxima década é de $2,5\%$ anual.

1. a) Qual será o valor nominal da escultura ao fim de 10 anos?
2. b) Qual será o valor real da escultura decorridos esses 10 anos, expresso em "euros de hoje"? Para isso, deflacione o valor nominal utilizando o índice de preços derivado da inflação (que também segue uma progressão geométrica).

Uma câmara municipal quer renovar os sistemas de iluminação das suas ruas para poupar energia. O custo da obra é de $1\,500\,000$ €. Para o pagar, solicita um empréstimo a $2,8\%$ de juros anuais que amortizará mediante 10 prestações anuais iguais.

Após pagar a quinta prestação, a câmara municipal recebe um subsídio europeu e decide liquidar a dívida pendente num único pagamento. Calcule quanto dinheiro a câmara municipal deverá desembolsar nesse momento para liquidar totalmente o empréstimo.

Deixa-se cair uma bola de uma altura inicial de $10$ metros. Em cada ressalto, a bola atinge uma altura igual a $2/3$ da altura do ressalto anterior.

1. a) Que altura atingirá após o sexto ressalto?
2. b) Calcule a distância total percorrida pela bola (subidas e descidas) até que, teoricamente, ela pare. Utilize a fórmula da soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica decrescente, tendo em conta que, exceto a queda inicial, todos os trajetos são realizados duas vezes (subida e descida).

Os avós de Marta querem constituir um fundo para custear os seus estudos universitários. O seu objetivo é que ela possa receber uma renda mensal de $500$ € durante $4$ anos enquanto estuda fora de casa. Supondo que o banco lhes garanta um juro de $3\%$ anual composto durante todo esse tempo (período de recebimento da renda):

1. a) Que capital deveriam ter acumulado no momento em que Marta começar a universidade para poder pagar essa renda? (Sugestão: trata este problema como o cálculo do capital inicial de um empréstimo em que a prestação mensal é a renda que ela recebe).
2. b) Se ainda faltam $10$ anos para Marta começar a universidade e atualmente eles não têm nada poupado, que quantia mensal fixa deveriam depositar numa conta de poupança que lhes oferece $4\%$ de juros anuais para conseguir reunir o capital calculado na alínea anterior?

Para constituir um capital de $25\,000$ € destinado à entrada de uma habitação em Faro, duas pessoas avaliam dois métodos de poupança distintos numa instituição que oferece uma rentabilidade de $4\,\%$ anual composto:

• Estratégia A (Capital único): Depositar hoje uma quantia fixa de $16\,000$ € e deixar que gere juros sem realizar novas entregas.

• Estratégia B (Anuidades de poupança): Começar sem capital inicial e entregar uma quota fixa de $2\,500$ € no início de cada ano.

1. a) Para a Estratégia A, apresenta a equação $C_n = C_0 \cdot (1+i)^n$, descreve o método algébrico para isolar diretamente $n$ através de logaritmos e calcula o número de anos inteiros necessários para superar o objetivo.
2. b) Para a Estratégia B, formula a equação a partir da soma de uma progressão geométrica para entregas antecipadas: $\text{Capital final} = a \cdot (1+i) \cdot \dfrac{(1+i)^n - 1}{i}$. Explica detalhadamente por que razão neste caso não se podem aplicar logaritmos de forma imediata, descreve que transformações algébricas prévias são obrigatórias para isolar a potência $(1+i)^n$ e calcula quantos anos inteiros são necessários para atingir o objetivo.
3. c) Compara ambos os métodos e justifica qual das duas estratégias é mais rápida no tempo e qual exige um menor desembolso total de dinheiro saído do bolso do aforrador.

Uma cooperativa agrícola no Ribatejo instala uma central fotovoltaica de autoconsumo por um valor total de $120\,000$ €. A degradação dos painéis solares reduz gradualmente a energia produzida: no primeiro ano gera uma poupança líquida de $15\,000$ €, e nos anos seguintes a poupança gerada em cada ano diminui $5\,\%$ relativamente ao ano imediatamente anterior. A cooperativa deposita integralmente esta poupança numa conta de amortização sem rentabilidade financeira adicional para recuperar o custo do projeto.

1. a) Modela as poupanças anuais $A_n$ correspondentes ao ano $n$ como uma progressão geométrica, indicando o primeiro termo $A_1$ e a razão $r$.
2. b) Escreve a expressão da soma acumulada $S_n$ após $n$ anos de funcionamento. A partir dela, analisa fundamentadamente se a cooperativa chegará a amortizar completamente a instalação ($120\,000$ €) caso a central opere indefinidamente, estudando o comportamento da soma quando o número de anos $n$ cresce indefinidamente ($n \to \infty$).
3. c) Supõe que a empresa instaladora oferece uma garantia de recondicionamento que reduz a degradação anual para $2\,\%$ (ou seja, a cada ano rende menos $2\,\%$ do que no anterior, em vez de $5\,\%$), mantendo a poupança inicial de $15\,000$ € no primeiro ano. Modela a nova situação e determina, isolando mediante logaritmos na equação da soma geométrica, quantos anos demorará a cooperativa a amortizar o investimento de $120\,000$ €.