Exercícios: Distribuições condicionadas

Dada a seguinte tabela de dupla entrada que relaciona as variáveis $X$ e $Y$:

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
$10$	$2$	$5$	$1$
$20$	$0$	$4$	$3$
$30$	$4$	$1$	$0$

Escreva a tabela de frequências da distribuição da variável $Y$ condicionada a $X = 10$ e calcule a dimensão desta subpopulação.

A partir da distribuição conjunta das variáveis $X$ e $Y$ dada na tabela:

$X \setminus Y$	$0$	$5$
$2$	$10$	$2$
$4$	$8$	$6$
$6$	$1$	$12$

Calcule a média aritmética da distribuição de $X$ condicionada a $Y = 5$, ou seja, $\bar{x}_{|y=5}$.

Num estudo sobre duas variáveis $X$ e $Y$, foi isolada a distribuição de $Y$ condicionada a um valor específico $x_i$, obtendo-se as seguintes frequências absolutas:

$Y | X = x_i$	Frequência absoluta ($f_{j|i}$)
$100$	$4$
$200$	$12$
$300$	$4$

Calcule as frequências relativas condicionadas $h_{j|i}$ para cada valor de $Y$ e verifique que somam $1$.

Observe a seguinte tabela de contingência:

$X \setminus Y$	$10$	$20$	$30$	$40$
$1$	$1$	$8$	$2$	$0$
$2$	$5$	$3$	$9$	$1$
$3$	$2$	$2$	$4$	$7$

Determine a moda da distribuição de $Y$ condicionada a $X = 2$ e a moda da distribuição de $X$ condicionada a $Y = 30$.

Foi extraída a distribuição condicionada de uma variável $Y$ para um grupo concreto $X = a$, resultando nos seguintes dados:

O tamanho do grupo é $N_{|x=a} = 20$.

A soma dos valores é $\sum f_{j|a} \cdot y_j = 160$.

A soma dos quadrados é $\sum f_{j|a} \cdot y_j^2 = 1400$.

Calcule a variância condicionada $\sigma^2_{Y|X=a}$.

Analisa-se o número de erros de ortografia ($Y$) num ditado segundo o ano escolar ($X$). Extraem-se as duas distribuições condicionadas para $X=3$ e $X=4$:

Distribuição $Y | X=3$:

Valores $y_j$: $0, 1, 2, 3$

Frequências: $2, 5, 2, 1$

Distribuição $Y | X=4$:

Valores $y_j$: $0, 1, 2, 3$

Frequências: $5, 3, 2, 0$

Calcule a média de erros em cada ano escolar ($\bar{y}_{|x=3}$ e $\bar{y}_{|x=4}$) e indique em que ano escolar se cometem, em média, menos erros.

Dada a distribuição da variável $X$ condicionada a $Y = 10$:

$X | Y = 10$	$2$	$4$	$6$
$f_{i|10}$	$3$	$5$	$2$

Sabendo que a média condicionada é $\bar{x}_{|y=10} = 3,8$, calcule o desvio padrão condicionado $\sigma_{X|Y=10}$.

Numa tabela de dupla entrada têm-se as seguintes frequências relativas condicionadas para a variável $Y$ em relação a dois valores de $X$:

Para $X = 1$: $h_{1|1} = 0,2$ ; $h_{2|1} = 0,8$

Para $X = 2$: $h_{1|2} = 0,5$ ; $h_{2|2} = 0,5$

Justifique se as variáveis $X$ e $Y$ são estatisticamente independentes ou dependentes, baseando-se exclusivamente nestes dados.

Num inquérito sobre hábitos digitais realizado numa escola secundária, analisa-se a relação entre o ano de escolaridade ($X$) e as horas semanais dedicadas a jogar videojogos ($Y$). Os dados de $100$ alunos estão reunidos na seguinte tabela:

Ano ($X$) \ Horas ($Y$)	$5\text{ h}$	$10\text{ h}$	$15\text{ h}$
4.º de ESO ($X=0$)	$10$	$25$	$15$
1.º de Bachillerato ($X=1$)	$5$	$20$	$25$

A Lucía quer calcular a média de horas semanais condicionada a frequentar o 1.º de Bachillerato (ou seja, $\bar{y}_{|X=1}$) e efetua a seguinte operação no seu caderno:

$$\bar{y}_{|X=1} = \frac{5 \cdot 5 + 10 \cdot 20 + 15 \cdot 25}{100} = \frac{25 + 200 + 375}{100} = \frac{600}{100} = 6\text{ horas}$$

A Lucía conclui que os alunos do 1.º de Bachillerato jogam em média $6$ horas por semana.

1. a) Sem fazeres cálculos complexos, fundamenta por que motivo um resultado de $6$ horas se mostra incoerente observando unicamente os valores assumidos por $Y$ ($5, 10$ e $15$) e as frequências da linha do 1.º de Bachillerato.
2. b) Identifica o erro concetual que a Lucía cometeu no denominador da sua fórmula ao calcular uma distribuição condicionada.
3. c) Corrige o procedimento e determina o valor real da média condicionada $\bar{y}_{|X=1}$.

A partir de uma amostra de $200$ pessoas extraída do Inquérito sobre Equipamento e Utilização de Tecnologias de Informação nos Lares (INE), analisa-se o número de compras pela Internet realizadas no último mês ($Y$: $0, 2$ ou $5$ compras) segundo o grupo etário ($X$: grupo jovem dos $18\text{ aos }35$ anos [$X=1$] e grupo sénior com mais de $65$ anos [$X=2$]):

• Grupo jovem ($X=1$, $100$ pessoas): $10$ fazem $0$ compras, $40$ fazem $2$ compras e $50$ fazem $5$ compras.

• Grupo sénior ($X=2$, $100$ pessoas): $70$ fazem $0$ compras, $25$ fazem $2$ compras e $5$ fazem $5$ compras.

1. a) Estima: Antes de realizares qualquer cálculo numérico, observa a repartição de frequências de cada subgrupo. Estima de forma aproximada entre que valores deve situar-se a média de compras de cada grupo (por exemplo, estará abaixo ou acima de $2$?) e argumenta em qual dos dois grupos os dados estão visivelmente mais concentrados em torno de zero.
2. b) Verifica: Calcula a média de compras condicionada a ser jovem ($\bar{y}_{|X=1}$) e a média condicionada a ser sénior ($\bar{y}_{|X=2}$). Verifica se os valores obtidos confirmam a tua estimativa prévia.
3. c) Face a ambas as distribuições condicionadas, fundamenta se o número de compras realizadas pela Internet é independente da idade nesta amostra.

Num estudo de nutrição relaciona-se o conteúdo de hidratos de carbono em gramas ($X$) e o conteúdo de proteínas em gramas ($Y$) de várias barras energéticas. Os resultados estão agrupados na seguinte tabela:

$X \setminus Y$	$5$	$10$	$15$
$20$	$8$	$12$	$0$
$30$	$2$	$15$	$5$
$40$	$0$	$4$	$14$

Calcule a média e o desvio padrão do conteúdo de proteínas para as barras que têm exatamente $30\text{ g}$ de hidratos de carbono (distribuição $Y|X=30$).

A autoridade de trânsito recolheu dados sobre a idade dos condutores ($X$, em anos) e o número de multas recebidas no último ano ($Y$):

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
$[18, 30)$	$15$	$25$	$10$
$[30, 50)$	$40$	$15$	$5$
$[50, 70)$	$35$	$5$	$0$

Utilizando o ponto médio da classe para a variável $X$, calcule a idade média dos condutores que receberam exatamente $1$ multa no último ano ($\bar{x}_{|y=1}$).

Numa propriedade agrícola analisa-se a quantidade de fertilizante aplicado por hectare ($X$, em dezenas de kg) e a produção obtida ($Y$, em toneladas).

$X \setminus Y$	$2$	$4$	$6$
$1$	$5$	$1$	$0$
$2$	$2$	$8$	$2$
$3$	$0$	$3$	$9$

Calcule a variância da produção condicionada a que foram aplicados $20\text{ kg}$ de fertilizante ($\sigma^2_{Y|X=2}$).

Realiza-se um inquérito numa escola perguntando o género ($X$: $1=\text{Chico}$, $2=\text{Chica}$) e a rede social preferida ($Y$: $1=\text{TikTok}$, $2=\text{Instagram}$, $3=\text{BeReal}$).

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
$1$	$30$	$20$	$10$
$2$	$45$	$30$	$15$

Calcule as distribuições de frequências relativas condicionadas $Y|X=1$ e $Y|X=2$. À luz dos resultados, o género e a rede social preferida são independentes nesta amostra?

Num estudo sobre jogos eletrónicos, relaciona-se o número de horas jogadas por semana ($X$) com o nível alcançado no jogo ($Y$). Para o grupo de jogadores que dedicam $10$ horas ($X=10$), tem-se a seguinte distribuição incompleta:

$Y | X = 10$	$5$	$15$	$25$
$f_{j|10}$	$4$	$k$	$2$

Sabendo que o nível médio alcançado por este grupo é $\bar{y}_{|x=10} = 13$, elabore uma equação e determine o valor da frequência absoluta desconhecida $k$.

Numa fábrica, duas máquinas diferentes ($X=1$ e $X=2$) produzem o mesmo tipo de peça. Analisa-se o número de defeitos por lote ($Y$).

Para a Máquina 1 ($X=1$): $\bar{y}_{|x=1} = 2,5$ defeitos, $\sigma_{Y|X=1} = 0,5$ defeitos.

Para a Máquina 2 ($X=2$): $\bar{y}_{|x=2} = 8,0$ defeitos, $\sigma_{Y|X=2} = 1,2$ defeitos.

Calcule o coeficiente de variação condicionado para cada máquina ($CV = \frac{\sigma}{|\bar{y}|}$) e indique qual máquina tem uma produção mais homogénea em relação ao número de defeitos.

O gráfico de bolhas a seguir representa a distribuição conjunta de duas variáveis discretas $X$ e $Y$. O tamanho da bolha e o texto adjacente indicam a frequência absoluta conjunta $f_{ij}$ de cada par de valores $(x_i, y_j)$.

Extraia a tabela de frequências da distribuição de $X$ condicionada a $Y = 20$ e calcule a sua média aritmética $\bar{x}_{|y=20}$.

Numa estação meteorológica regista-se a velocidade máxima do vento ($X$, em km/h) e a humidade relativa ($Y$, em %). Os dados agrupam-se em intervalos bidimensionais:

$X \setminus Y$	$[40, 60)$	$[60, 80)$	$[80, 100)$
$[0, 20)$	$2$	$10$	$18$
$[20, 40)$	$5$	$15$	$6$
$[40, 60)$	$12$	$4$	$0$

Utilizando as marcas de classe, calcule a humidade relativa média nos dias em que a velocidade do vento esteve entre $40$ e $60\text{ km/h}$ ($\bar{y}_{|x \in [40, 60)}$).

O Consórcio de Transportes analisa o nível de satisfação dos utilizadores com o serviço de autocarros interurbanos ($Y$: $1 =\text{ Baixo}$, $2 =\text{ Médio}$, $3 =\text{ Alto}$) em função do tipo de título de transporte que utilizam ($X$: $1 =\text{ Passe Jovem}$, $2 =\text{ Bilhete Simples}$). A amostra de $300$ passageiros apresenta os seguintes dados:

Título ($X$) \ Satisfação ($Y$)	$1$ (Baixo)	$2$ (Médio)	$3$ (Alto)	Total
$X=1$ (Passe Jovem)	$20$	$50$	$30$	$100$
$X=2$ (Bilhete Simples)	$40$	$100$	$60$	$200$
Total	$60$	$150$	$90$	$300$

Para averiguar se a satisfação com o serviço depende do título de transporte utilizado, dois técnicos propõem estratégias distintas:

• Método da Beatriz: Calcula a média de satisfação condicionada a cada linha ($\bar{y}_{|X=1}$ e $\bar{y}_{|X=2}$) e compara-as.

• Método do Tomás: Calcula a distribuição de frequências relativas condicionadas de cada linha (isto é, a percentagem de utilizadores com nível $1, 2$ e $3$ dentro de cada tipo de bilhete) e compara-as entre si e com a distribuição marginal de $Y$.

1. a) Aplica o método da Beatriz calculando ambas as médias condicionadas.
2. b) Aplica o método do Tomás obtendo as percentagens de cada linha.
3. c) Escolhe o método: Embora neste caso ambos os métodos conduzam a uma conclusão compatível, justifica qual dos dois métodos é teoricamente o único rigoroso para demonstrar a independência estatística entre variáveis e que limitação apresenta o outro método (pensa se duas distribuições com frequências muito distintas poderiam chegar a ter por coincidência a mesma média).

A equipa técnica de uma equipa de basquetebol da Liga Placard (ou de uma liga portuguesa) regista em $50$ jogos duas variáveis: o número de triplos que o seu base titular lança num jogo ($X$, que assume os valores $2$ ou $6$ tentativas) e o número de triplos que converte ($Y$, que assume os valores $1$ ou $3$ sucessos). A tabela de contingência de frequências absolutas é a seguinte:

$X \setminus Y$	$1$	$3$
$2$	$f_{11}$	$f_{12}$
$6$	$f_{21}$	$f_{22}$

Dispõe-se da seguinte informação estatística sobre o rendimento do jogador:

1. Disputou exatamente $20$ jogos nos quais lançou $2$ triplos e $30$ jogos nos quais lançou $6$ triplos.

2. A média de triplos convertidos condicionada a ter lançado $2$ triplos foi $\bar{y}_{|X=2} = 1,4$.

3. A média de triplos convertidos condicionada a ter lançado $6$ triplos foi $\bar{y}_{|X=6} = 2,2$.

1. a) Formula um sistema de equações para a primeira linha e outro para a segunda linha, e calcula o valor das quatro frequências desconhecidas ($f_{11}, f_{12}, f_{21}$ e $f_{22}$).
2. b) Utilizando exclusivamente as médias condicionadas dadas e as dimensões de cada subgrupo, calcula a média global de triplos convertidos ($\bar{y}$) nos $50$ jogos sem necessidade de somar quadrícula a quadrícula.

Dada a seguinte tabela de contingência com duas frequências absolutas desconhecidas, $a$ e $b$:

$X \setminus Y$	$2$	$6$
$10$	$4$	$a$
$20$	$b$	$2$

Sabe-se que a média de $Y$ condicionada a $X=10$ é $\bar{y}_{|x=10} = 5$ e que a média de $X$ condicionada a $Y=2$ é $\bar{x}_{|y=2} = 16$.

Elabore um sistema de equações e determine os valores das frequências $a$ e $b$.

Num hospital testa-se um novo tratamento. A variável $X$ indica o tratamento ($0=\text{Estándar}$, $1=\text{Nuevo}$) e a variável $Y$ indica o resultado ($0=\text{No curado}$, $1=\text{Curado}$). Os pacientes dividem-se em dois grupos de risco, formando duas distribuições condicionadas:

Grupo de Risco Baixo:

Tratamento Padrão: $10$ curados de $50$ pacientes.

Tratamento Novo: $2$ curados de $10$ pacientes.

Grupo de Risco Alto:

Tratamento Padrão: $6$ curados de $10$ pacientes.

Tratamento Novo: $25$ curados de $50$ pacientes.

Calcule a percentagem de cura (que equivale à média $\bar{y}$) para cada tratamento dentro de cada grupo de risco. Depois, agrupe todos os pacientes e calcule a percentagem de cura global para cada tratamento. Qual tratamento parece melhor nos grupos separados e qual parece melhor globalmente? (Este fenómeno é conhecido como o Paradoxo de Simpson).

Num estudo estatístico sobre a variável $X$ (categoria profissional) e $Y$ (salário em milhares de euros), têm-se três categorias ($X=1, 2, 3$). Conhecem-se os seguintes dados das distribuições condicionadas $Y|X=x_i$:

Categoria 1: $N_1 = 10$, $\bar{y}_{|x=1} = 20$, $\sigma^2_{Y|X=1} = 4$

Categoria 2: $N_2 = 20$, $\bar{y}_{|x=2} = 30$, $\sigma^2_{Y|X=2} = 9$

Categoria 3: $N_3 = 10$, $\bar{y}_{|x=3} = 40$, $\sigma^2_{Y|X=3} = 4$

Calcule primeiro a média global marginal $\bar{y}$. Em seguida, calcule a variância marginal $\sigma_Y^2$ utilizando a fórmula de decomposição da variância (ou calculando a soma total de quadrados a partir dos dados fornecidos).

Uma distribuição bidimensional teórica de frequências relativas conjuntas (probabilidades) é dada pela expressão $h_{ij} = k \cdot (x_i + y_j)$, em que $X$ assume os valores $\{1, 2\}$ e $Y$ assume os valores $\{1, 2, 3\}$.

Construa a tabela de dupla entrada em função de $k$. Sabendo que a soma de todas as frequências relativas deve ser $1$, determine o valor de $k$. Em seguida, calcule a média da distribuição condicionada $X|Y=2$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um analista financeiro estuda a relação entre o nível de risco de um fundo de investimento ($X$, pontuado de $1$ a $3$) e a sua rentabilidade anual ($Y$, em %).

$X \setminus Y$	$2$	$6$	$10$
$1$	$10$	$10$	$0$
$2$	$5$	$20$	$5$
$3$	$0$	$5$	$15$

O analista define a "razão de desempenho" de um nível de risco como o quociente entre a sua rentabilidade média condicionada e o seu desvio padrão condicionado: $R_i = \frac{\bar{y}_{|x=i}}{\sigma_{Y|X=i}}$.

Calcule essa razão para os níveis de risco $X=2$ e $X=3$. Qual nível de risco oferece uma melhor razão segundo esse critério?

Pretende-se reconstruir uma tabela de contingência $2 \times 2$ de frequências absolutas $f_{ij}$ para as variáveis $X \in \{0, 1\}$ e $Y \in \{0, 1\}$. Dispõe-se da seguinte informação sobre as distribuições marginais e condicionadas:

• Marginal de $X$: $N_{x=0} = 30$, $N_{x=1} = 20$.

• Marginal de $Y$: $N_{y=0} = 25$, $N_{y=1} = 25$.

• Média condicionada: $\bar{y}_{|x=0} = 0,3$ (lembra-te de que, como $Y$ assume os valores $0$ e $1$, a média coincide com a proporção de uns).

Calcule as quatro frequências conjuntas $f_{11}, f_{12}, f_{21}, f_{22}$ e construa a tabela de dupla entrada completa.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Num estudo de biologia marinha, relaciona-se a profundidade em que habita uma espécie ($X$, em metros) com o seu comprimento ($Y$, em cm). Os dados estão agrupados em intervalos de diferente amplitude:

$X \setminus Y$	$[0, 10)$	$[10, 30)$	$[30, 70)$
$[0, 50)$	$24$	$10$	$2$
$[50, 150)$	$6$	$18$	$16$

Utilizando as marcas de classe, calcule a variância do comprimento para os espécimes que habitam na zona profunda ($X \in [50, 150)$), ou seja, $\sigma^2_{Y|X \in [50, 150)}$.

Demonstre numericamente uma propriedade fundamental da independência estatística. Dada a seguinte tabela em que $X$ e $Y$ são independentes (as suas frequências relativas conjuntas são o produto das marginais):

$X \setminus Y$	$2$	$4$	Total
$1$	$10$	$30$	$40$
$2$	$15$	$45$	$60$
Total	$25$	$75$	$100$

Calcule a média marginal $\bar{y}$ e as médias condicionadas $\bar{y}_{|x=1}$ e $\bar{y}_{|x=2}$. Verifique que, por serem independentes, se cumpre a igualdade $\bar{y} = \bar{y}_{|x=1} = \bar{y}_{|x=2}$.

O Serviço de Saúde de uma região analisa a eficácia de dois tratamentos ($A$ e $B$) contra uma afeção respiratória sazonal. A variável $Y$ indica o resultado clínico ($1 =\text{ Curado}$, $0 =\text{ Não curado}$). O estudo é estratificado em dois grupos populacionais de acordo com a idade (Jovens e Idosos), obtendo-se os seguintes resultados:

• Grupo de doentes jovens ($120$ pessoas):

• Com o Tratamento $A$: de $100$ tratados, curam-se $80$.

• Com o Tratamento $B$: de $20$ tratados, curam-se $18$.

• Grupo de doentes idosos ($300$ pessoas):

• Com o Tratamento $A$: de $100$ tratados, curam-se $20$.

• Com o Tratamento $B$: de $200$ tratados, curam-se $50$.

1. a) Para o grupo de jovens, calcula a taxa de cura condicionada ao tratamento $A$ ($\bar{y}_{|\text{Jovem}, A}$) e ao tratamento $B$ ($\bar{y}_{|\text{Jovem}, B}$). Faz o mesmo para o grupo de idosos. Que tratamento obtém melhor taxa de sucesso em cada um dos dois grupos separadamente?
2. b) Agrupa os dados somando as pessoas de ambos os grupos etários para construir a tabela global de dupla entrada entre Tratamento ($A$ ou $B$) e Resultado ($0$ ou $1$). Calcula a taxa global de cura para cada tratamento ($\bar{y}_{|A}$ e $\bar{y}_{|B}$).
3. c) Compara os resultados obtidos na alínea (a) com os da alínea (b). Que fenómeno paradoxal observas? Apoiando-te no conceito de distribuição condicionada e nas dimensões dos subgrupos aos quais foi administrado cada tratamento, explica por que razão ocorre esta aparente contradição (Paradoxo de Simpson) e fundamenta que recomendação clínica se deveria dar.

A partir de uma amostra representativa de $200$ pessoas empregadas no setor dos serviços em Portugal, um estudo sociológico analisa a relação entre a modalidade de horário de trabalho ($X$: $1 =\text{ Presencial}$, $2 =\text{ Teletrabalho}$) e as horas semanais dedicadas em casa ao cuidado de familiares e tarefas domésticas ($Y$: $5, 15$ ou $25\text{ horas}$). Sabe-se que $120$ pessoas trabalham de forma presencial e $80$ em teletrabalho.

No grupo de trabalho presencial ($X=1$), a distribuição de horas dedicadas é a seguinte: $36$ pessoas dedicam $5\text{ h}$, $60$ dedicam $15\text{ h}$ e $24$ dedicam $25\text{ h}$.

1. a) Modelo sob a hipótese de independência: Se a modalidade de trabalho e as horas de dedicação ao lar fossem variáveis estatisticamente independentes, quantas pessoas do grupo de teletrabalho ($N_{|X=2} = 80$) deveriam registar exatamente $5, 15$ e $25$ horas domésticas? Justifica como obténs essas frequências esperadas a partir das frequências relativas do grupo presencial.
2. b) Dados reais e cálculo: Os dados reais recolhidos no inquérito para o grupo de teletrabalho ($X=2$) foram: $8$ pessoas dedicam $5\text{ h}$, $32$ pessoas dedicam $15\text{ h}$ e $40$ pessoas dedicam $25\text{ h}$. Calcula a média e a variância da distribuição de horas condicionada a cada modalidade: $(\bar{y}_{|X=1}, \sigma^2_{Y|X=1})$ e $(\bar{y}_{|X=2}, \sigma^2_{Y|X=2})$.
3. c) Interpretação sociológica e estatística: Tendo em conta os resultados da alínea (a) e os parâmetros calculados na alínea (b), conclui de forma fundamentada se as variáveis são dependentes ou independentes. Interpreta o que revela a alteração na distribuição condicionada sobre o impacto do teletrabalho na assunção de tarefas domésticas.