Exercícios: Tabelas de contingência

Copia e completa no teu caderno a seguinte tabela de contingência, que mostra a distribuição de um grupo de alunos segundo o sexo e o uso de óculos.

Num inquérito realizado a $80$ pessoas sobre o seu meio de transporte principal para ir trabalhar, foram obtidos os seguintes resultados absolutos:

Indique qual é a frequência absoluta conjunta das pessoas que têm "Menos de 30 anos" e vão "A pé", e calcule a frequência absoluta marginal das que usam "Carro".

A partir da seguinte tabela de contingência de frequências absolutas, elabore a tabela correspondente de frequências relativas globais (expressando os resultados na forma de fração irredutível).

Num clube desportivo há $120$ sócios. Sabemos que $70$ jogam ténis, $50$ jogam pádel, e dos que jogam ténis, $20$ são mulheres. Se no clube há um total de $45$ mulheres, construa a tabela de contingência de frequências absolutas que relacione o sexo (Homem / Mulher) com o desporto praticado (Ténis / Pádel).

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Observe a seguinte tabela que classifica os participantes de um congresso segundo a sua nacionalidade e o idioma em que preferiram receber a documentação:

Calcule a frequência relativa condicional de um participante preferir a documentação em Inglês, sabendo que ele é Europeu.

Foi perguntado a $200$ clientes de uma pizzaria qual o seu tipo de massa favorito. Os resultados estão reunidos na seguinte tabela:

Escreva a distribuição marginal da variável "Tipo de massa", indicando as respetivas frequências absolutas.

Dada a seguinte tabela que relaciona a marca do telemóvel e o grupo etário dos seus proprietários, identifique a moda da distribuição conjunta e a moda da distribuição marginal da variável "Marca".

Numa escola de línguas, são oferecidas aulas de Francês e Alemão nos turnos da manhã e da tarde. A tabela mostra o número de inscritos:

Calcule que percentagem do total de alunos representam aqueles que estudam Francês à tarde.

Num inquérito realizado numa escola secundária do Alentejo sobre mobilidade sustentável e atividade física, recolheram-se os dados de $80$ alunos do 10.º ano na seguinte tabela de contingência:

O professor coloca a seguinte pergunta: «Qual é a proporção de alunos que não praticam desporto sabendo que dispõem de passe de transporte?». O Lucas raciocina assim: «Como há $16$ alunos que têm passe e não praticam desporto num total de $80$ alunos, a proporção é $\frac{16}{80} = 0,2$ (um $20\%$ )».

1. a) Explica com precisão o erro conceptual do Lucas: que tipo de frequência calculou ele e qual lhe tinham pedido na realidade?
2. b) Corrige o cálculo do Lucas indicando claramente qual deve ser o total de referência (denominador) e expressa a frequência condicionada correta $h(\text{Não pratica desporto} \mid \text{Tem passe})$ sob a forma de fração simplificada e percentagem.

Durante uma campanha de segurança rodoviária da Polícia Municipal de Lisboa sobre o uso obrigatório do capacete em trotinetes elétricas (veículos de mobilidade pessoal), registaram-se os seguintes dados num controlo aleatório a $200$ utilizadores:

1. a) Antes de calculares qualquer fração ou percentagem, observa atentamente os dados das duas colunas de idade e faz uma estimativa visual prévia: em que faixa etária intuis que é proporcionalmente maior o uso do capacete? Justifica a tua intuição comparando mentalmente cada célula com o total marginal da sua coluna.
2. b) Verifica a tua estimativa calculando de forma exata as frequências relativas condicionadas $h(\text{Usa capacete} \mid \text{Menos de 25})$ e $h(\text{Usa capacete} \mid \text{Com 25 ou mais})$ expressas em percentagem.
3. c) Avalia se a tua estimativa inicial estava correta e redige uma breve conclusão sobre se o uso do capacete parece depender da faixa etária nesta amostra.

Numa escola de $300$ alunos, $60\%$ participam em atividades extracurriculares. Dos alunos que participam nessas atividades, $40\%$ estão inscritos em teatro. Além disso, sabe-se que $15\%$ do total de alunos da escola não fazem atividades extracurriculares e também não gostam de teatro. Construa a tabela de contingência de frequências absolutas e determine quantos alunos não fazem atividades extracurriculares, mas estão inscritos em teatro.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um estudo médico analisa a eficácia de dois tratamentos (Tratamento A e Tratamento B) para curar uma doença de pele. Os resultados após um mês são os seguintes:

Calcule a percentagem de sucesso (curados) para cada um dos tratamentos separadamente e justifique, com base nessas percentagens, qual dos dois tratamentos parece ser mais eficaz.

Complete a seguinte tabela de contingência sabendo que as frequências relativas globais de algumas células são dadas na forma de fração em relação ao total $N = 150$.

Num teste de controlo de qualidade, um detetor de metais inspeciona $1000$ bagagens. Sabe-se que $40$ bagagens contêm objetos proibidos. O detetor dispara o alarme em $35$ das bagagens que contêm objetos proibidos e também dá um alarme falso em $24$ bagagens que não contêm nada proibido. Elabore a tabela de contingência e calcule a percentagem de bagagens que realmente contêm objetos proibidos entre todas aquelas em que o alarme disparou.

Reconstrua uma tabela de contingência $2 \times 2$ com as variáveis $X$ e $Y$ a partir das seguintes informações:

• O total de indivíduos é $N = 200$.

• A frequência marginal de $X_1$ é $120$.

• A frequência marginal de $Y_2$ é $90$.

• $30\%$ dos indivíduos que cumprem $X_1$ também cumprem $Y_1$.

O diagrama de Venn seguinte mostra a distribuição de $110$ alunos de uma escola de línguas consoante estudam Inglês ($A$) ou Francês ($B$).

Traduza a informação do diagrama para uma tabela de contingência onde as variáveis sejam "Estuda Inglês" (Sim/Não) e "Estuda Francês" (Sim/Não). Em seguida, calcule a proporção de alunos que estudam Francês sabendo que não estudam Inglês.

Numa empresa de $500$ funcionários, estuda-se a relação entre o departamento a que pertencem e o seu nível de satisfação profissional.

Calcule a distribuição marginal da variável "Satisfação" em percentagens e a distribuição condicional do nível de satisfação dentro do departamento de "Produção".

Uma reserva natural classifica as árvores de um talhão segundo a sua espécie (Pinheiro / Carvalho) e o tipo de solo em que crescem (Seco / Húmido). Foram contadas $240$ árvores no total, das quais $150$ são pinheiros. Sabe-se que $60\%$ dos carvalhos crescem em solo húmido, enquanto apenas $40$ pinheiros crescem em solo húmido. Construa a tabela de contingência e determine qual a percentagem do total de árvores que cresce em solo seco.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A partir de dados verosímeis do Inquérito de Hábitos e Práticas Culturais em Espanha, publicado pelo Ministério da Cultura e Desporto, realizou-se um estudo com uma amostra de $250$ jovens entre os $15$ e os $19$ anos para relacionar duas variáveis: se leem livros habitualmente nos seus tempos livres (pelo menos um por mês) e se têm subscrição de plataformas audiovisuais de streaming (Netflix, Prime Video, etc.).

• Do total de $250$ jovens, $160$ afirmam subscrever plataformas de streaming.

• Entre os que subscrevem plataformas de streaming, exatamente $64$ afirmam ler livros habitualmente.

• No conjunto global da amostra, $118$ jovens afirmam ler livros habitualmente nos seus tempos livres.

1. a) Organiza toda a informação fornecida numa tabela de contingência completa de frequências absolutas ($2 \times 2$), calculando previamente os totais marginais e as células em falta.
2. b) Se se escolher ao acaso uma pessoa de entre as que NÃO subscrevem plataformas de streaming, qual é a proporção de que seja leitora habitual? Expressa o resultado sob a forma de fração irredutível e como percentagem arredondada às décimas.
3. c) Compara as proporções condicionadas de leitores habituais em ambos os grupos: $h(\text{Lê} \mid \text{Streaming})$ e $h(\text{Lê} \mid \text{Não streaming})$. À vista dos dados, pode-se afirmar que ter subscrição de plataformas de streaming está associado a uma menor proporção de leitores de livros? Justifica a tua resposta.

No serviço de refeitório de uma escola analisam-se as preferências de ementa de um dia com $200$ comensais (professores e alunos):

Três alunos discutem como verificar se a escolha do tipo de ementa é independente do grupo (ser professor ou aluno):

• A Irene defende: «Como a diferença de comensais que escolhem ementa tradicional entre alunos e professores é muito grande ($112 - 28 = 84$), a escolha depende claramente do grupo».

• A Marta propõe comparar a proporção de vegetarianos dentro do grupo de professores com a proporção de vegetarianos dentro do grupo de alunos: $h(\text{Vegetariano} \mid \text{Professores}) \stackrel{?}{=} h(\text{Vegetariano} \mid \text{Alunos})$.

• O Sérgio propõe comparar a proporção de vegetarianos dentro do grupo de professores com a proporção marginal total de vegetarianos em toda a escola: $h(\text{Vegetariano} \mid \text{Professores}) \stackrel{?}{=} h(\text{Vegetariano})$.

1. a) Explica por que razão o método proposto pela Irene é erróneo e demonstra por que razão as diferenças absolutas não são válidas quando os grupos têm dimensões totais distintas.
2. b) Realiza os cálculos propostos pela Marta e pelo Sérgio. Chegam ambos os métodos à mesma conclusão relativamente ao facto de as variáveis serem independentes?
3. c) A partir da teoria de tabelas de contingência («a distribuição condicionada coincide com a marginal»), justifica qual dos dois métodos válidos (o da Marta ou o do Sérgio) representa de forma mais direta e rigorosa a definição de independência estatística.

Considere a seguinte tabela de contingência em que algumas frequências absolutas dependem de um parâmetro $x$:

Sabendo que a frequência relativa marginal da "Condição 1" é igual a $0,6$, escreva uma equação, determine o valor de $x$ e reconstrua a tabela completa com valores numéricos.

Diz-se que duas variáveis estatísticas são independentes se as frequências relativas condicionais forem iguais às frequências relativas marginais correspondentes; isto é, a proporção se mantém constante em todas as linhas e colunas.

Dada a seguinte tabela incompleta:

Calcule o valor exato de $y$ para que as duas variáveis ("Categoria" e "Tipo") sejam perfeitamente independentes.

Em dois hospitais diferentes, registou-se o sucesso de uma cirurgia complexa, separando os casos em "Leves" e "Graves".

Hospital São João:

Hospital de Santa Maria:

Construa uma única tabela de contingência global para cada hospital (somando casos leves e graves) que relacione o "Hospital" com o "Resultado" (Sucesso / Fracasso). Calcule a percentagem global de sucesso de cada hospital e explique por que razão ocorre uma mudança na perceção sobre qual é o melhor hospital ao agrupar os dados.

Uma fábrica de componentes eletrónicos tem duas máquinas montadoras. A Máquina I produz $60\%$ do total de componentes e a Máquina II produz o restante, $40\%$. O controlo de qualidade revela que $2\%$ dos componentes da Máquina I são defeituosos, enquanto a taxa de defeitos na Máquina II é de $5\%$.

Para um lote de $2000$ componentes, elabore a tabela de contingência que relacione a "Máquina" (I / II) com o "Estado" (Defeituoso / Correto). Se for selecionado um componente defeituoso desse lote, qual é a proporção dos defeituosos que provém da Máquina II?

Numa tabela de contingência $2 \times 2$ com as variáveis $X$ e $Y$, são conhecidas as seguintes relações proporcionais entre as frequências absolutas $a, b, c, d$:

Sabendo que a razão entre $a$ e $c$ é $\frac{2}{3}$ e a razão entre $b$ e $d$ é $\frac{4}{1}$, elabore um sistema de equações para determinar os valores de $a, b, c$ e $d$.

O seguinte diagrama em árvore representa as proporções de uma população de $500$ indivíduos classificados segundo duas variáveis dicotómicas $A$ e $C$.

Transforme a informação deste diagrama numa tabela de contingência de frequências absolutas onde as linhas sejam $A$ e $B$, e as colunas sejam $C$ e $D$. Calcule a frequência relativa marginal de $C$.

Um estudo de mercado sobre $600$ consumidores classifica as suas preferências de bebida (Água, Refrigerante, Sumo) e o seu escalão etário (Jovem, Adulto). A tabela está quase vazia, mas são conhecidas as seguintes pistas:

1. O total de Jovens é o dobro do de Adultos.

2. O número de Adultos que preferem Água é igual ao número de Adultos que preferem Sumo.

3. Os Jovens que preferem Refrigerante são $150$.

4. O total de pessoas que preferem Sumo é $140$.

5. A frequência marginal dos que preferem Água é $200$.

Deduz todas as frequências conjuntas e marginais e constrói a tabela de contingência completa.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa população de $400$ habitantes, são analisadas duas variáveis: "Pratica desporto" (Sim/Não) e "Fuma" (Sim/Não). São conhecidas as distribuições marginais: $240$ pessoas praticam desporto e $160$ não praticam; por outro lado, $100$ pessoas fumam e $300$ não fumam.

Construa a tabela de contingência de frequências absolutas assumindo que existe uma independência estatística perfeita entre o hábito de fumar e a prática desportiva nessa população.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Num estudo de saúde comunitária realizado num centro de saúde de Coimbra com uma amostra de $N = 120$ pacientes adultos, analisam-se duas variáveis: «Usa fio dentário diariamente» (Sim / Não) e «Tem cárie ativa» (Sim / Não). Não dispomos da tabela completa, mas conhecem-se as seguintes condições:

1. Exatamente $40\%$ dos pacientes da amostra usam fio dentário diariamente.

2. Em toda a amostra há um total de $48$ pessoas com cárie ativa.

3. Verifica-se que o uso de fio dentário reduz consideravelmente a incidência de cáries: a frequência condicionada de ter cárie entre os que usam fio dentário é exatamente metade da frequência condicionada de ter cárie entre os que não o usam:

1. a) Atribui uma incógnita $x$ à frequência conjunta de pacientes que usam fio dentário e têm cárie. Modela uma equação que relacione as duas frequências condicionadas com os seus respetivos totais marginais e determina o valor de $x$.
2. b) Reconstrói a tabela de contingência completa ($2 \times 2$) com todas as suas frequências absolutas conjuntas e marginais, verificando que todos os valores são inteiros e coerentes.
3. c) Se a presença de cárie e o uso diário de fio dentário fossem variáveis estatisticamente independentes, quantos pacientes que usam fio dentário deveriam ter cárie? Compara esse valor teórico com o valor real obtido na tua tabela e redige uma conclusão sobre o impacto preventivo do fio dentário.

A Proteção Civil e o Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) avaliam a eficácia dos avisos meteorológicos para precipitações torrenciais num concelho costeiro do Algarve durante uma série histórica de $180$ dias de outono. Os dados registados são os seguintes:

• O IPMA ativou o aviso meteorológico de nível laranja ou vermelho em $30$ dos $180$ dias.

• Registaram-se chuvas torrenciais reais no terreno em $24$ dos $180$ dias.

• Durante $18$ dos dias em que o aviso esteve ativado, ocorreram efetivamente chuvas torrenciais.

1. a) Modela a situação construindo uma tabela de contingência completa ($2 \times 2$) de frequências absolutas, cruzando as variáveis «Aviso ativado (Sim / Não)» e «Chuva torrencial real (Sim / Não)» com as suas correspondentes frequências marginais.
2. b) Numa sessão da Câmara Municipal de avaliação surgem duas opiniões opostas:

• O técnico de proteção civil afirma: «O sistema de avisos é muito eficaz: em $75\%$ das vezes que choveu torrencialmente, a população estava prevenida com aviso».

• Uma associação de moradores contesta: «O sistema gera demasiado alarme injustificado: $40\%$ dos alertas ativados são falsos alarmes (não chega a chover de forma torrencial)».

Calcula as frequências condicionadas $h(\text{Aviso ativado} \mid \text{Chuva torrencial})$ e $h(\text{Chuva torrencial} \mid \text{Aviso ativado})$, e interpreta matematicamente por que razão ambas as afirmações estão corretas, mas respondem a perguntas condicionadas inversas.

1. c) Demonstra formalmente se a ativação do aviso e a ocorrência de chuva torrencial são variáveis dependentes ou independentes comparando a frequência condicionada $h(\text{Chuva torrencial} \mid \text{Aviso ativado})$ com a frequência marginal $h(\text{Chuva torrencial})$. Justifica que consequências práticas teria para a segurança pública o facto de ambas as variáveis serem estatisticamente independentes.