Exercícios: Diagramas de caixa

As notas de um grupo de $9$ alunos num teste de matemática são: $3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10$.

Determine o valor mínimo, o primeiro quartil ($Q_1$), a mediana ($Me$), o terceiro quartil ($Q_3$) e o valor máximo para construir um diagrama de caixa de bigodes.

O seguinte diagrama de caixa representa as idades dos visitantes de um museu durante uma manhã.

A partir do gráfico, indique qual é a idade mínima, o primeiro quartil, a mediana, o terceiro quartil e a idade máxima dos visitantes.

O resumo de cinco números dos pesos (em kg) dos cães atendidos numa clínica veterinária é: Mínimo = $5$, $Q_1 = 12$, Mediana = $18$, $Q_3 = 24$, Máximo = $35$.

Calcule a amplitude da distribuição e a amplitude interquartil (AIQ).

Num diagrama de caixa que representa o tempo (em minutos) que os alunos demoram a chegar à escola, o primeiro quartil é $15$ e o terceiro quartil é $30$.

Que percentagem exata dos alunos demora entre $15$ e $30$ minutos a chegar à escola?

Um diagrama de caixa mostra que a distância entre o primeiro quartil e a mediana é de $2$ unidades, enquanto a distância entre a mediana e o terceiro quartil é de $10$ unidades.

O que indica esta diferença sobre a distribuição e a concentração dos dados na parte central?

Os preços (em euros) de $11$ livros numa estante são: $12, 15, 15, 18, 20, 21, 24, 25, 28, 30, 35$.

Calcule os cinco valores necessários para traçar o seu diagrama de extremos e quartis.

Indique se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justifique brevemente a sua resposta:

"Em qualquer diagrama de extremos e quartis, a média aritmética coincide sempre exatamente com o segmento vertical interior que divide a caixa."

Num diagrama de caixa, o bigode esquerdo (do mínimo ao $Q_1$) é muito curto, enquanto o bigode direito (do $Q_3$ ao máximo) é extremamente longo.

O que isto significa em relação à dispersão dos dados nos extremos da distribuição?

O Marcos está a analisar o tempo de espera (em minutos) numa paragem de autocarro urbano e, depois de ordenar os dados recolhidos, obteve o seguinte resumo de cinco números: Mínimo = $2$, $Q_1 = 5$, Mediana = $8$, $Q_3 = 11$ e Máximo = $22$.

Ao redigir as suas conclusões, o Marcos afirma: «Como a amplitude interquartil é $AIQ = 11 - 5 = 6$, qualquer tempo superior a $Q_3 + AIQ = 11 + 6 = 17$ minutos é um valor atípico. Portanto, o tempo de $22$ minutos é atípico porque supera os $17$ minutos».

1. a) Identifica e explica por palavras tuas o erro concetual cometido pelo Marcos na fórmula para determinar a fronteira dos valores atípicos.
2. b) Aplica o critério correto do diagrama de extremos e quartis para calcular o limite a partir do qual um dado é considerado atípico e fundamenta se o valor de $22$ minutos continua a ser atípico ou se o Marcos acertou por acaso na sua conclusão.

Numa estação do IPMA de uma capital de distrito, registaram-se as temperaturas máximas diárias (em $^{\circ}\text{C}$) durante uma semana de primavera. Os valores ordenados são: $14$, $16$, $17$, $19$, $21$, $24$ e $29$.

1. a) Antes de calculares o que quer que seja, faz uma estimativa observando os dados: que percentagem dos dias da semana ficará abrangida dentro da caixa central do diagrama? Observando as distâncias entre números consecutivos, estima se a caixa será simétrica em relação à mediana ($19$) ou se estará mais alongada para a direita ou para a esquerda. Justifica a tua intuição.
2. b) Seguindo o método das notas de aula para $N = 7$ (onde $Q_1$ e $Q_3$ são as medianas das metades inferior e superior, sem contar com a mediana global), calcula o valor exato de $Q_1$, $Me$, $Q_3$ e a amplitude interquartil ($AIQ$).
3. c) Compara os resultados calculados com a tua estimativa prévia e verifica se a tua dedução sobre a forma e assimetria da caixa estava correta.

O gráfico seguinte mostra os diagramas de caixa da duração da bateria (em horas) de duas marcas de telemóveis, Alpha e Beta.

1. a) Qual das marcas tem uma mediana maior na duração da sua bateria?
2. b) Qual das duas marcas apresenta maior variabilidade no $50\%$ central dos seus dados (maior amplitude interquartil)?

Uma equipa de basquetebol marcou os seguintes pontos nas suas últimas $15$ partidas:

$65, 72, 78, 81, 82, 85, 88, 90, 92, 95, 98, 101, 105, 108, 112$.

Encontra o resumo de cinco números e calcula a amplitude interquartil.

Um diagrama de caixa resume as alturas de $120$ atletas. Se o terceiro quartil ($Q_3$) é $185$ cm e o valor máximo é $205$ cm, quantos atletas, aproximadamente, têm uma altura superior a $185$ cm? Assume que não há valores repetidos que coincidam exatamente com os quartis.

Num estudo sobre o número de batimentos cardíacos por minuto de um grupo de atletas em repouso, obteve-se o seguinte resumo: $Q_1 = 48$, $Me = 52$, $Q_3 = 58$.

Um dos atletas registou $75$ batimentos por minuto. Utilizando o critério matemático da amplitude interquartil (um valor é atípico se for maior que $Q_3 + 1,5 \cdot RIC$), determine se esse valor deve ser representado como um valor atípico no diagrama de caixa.

A seguinte tabela de frequências mostra o número de irmãos dos alunos de uma turma:

• $0$ irmãos: $6$ alunos

• $1$ irmão: $10$ alunos

• $2$ irmãos: $8$ alunos

• $3$ irmãos: $4$ alunos

• $4$ irmãos: $2$ alunos

Determine o mínimo, $Q_1$, $Me$, $Q_3$ e o máximo para poder construir o diagrama de caixa correspondente.

Um diagrama de caixa tem uma caixa muito estreita deslocada para o extremo esquerdo, com um bigode direito muito longo. Se tivesses de representar esses mesmos dados num histograma, que forma teria a distribuição? (Simétrica, assimétrica à direita ou assimétrica à esquerda). Explica brevemente porquê.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa empresa de engenharia, os $25\%$ dos funcionários que mais ganham têm um salário mensal superior a $3500$ €. Além disso, o menor salário da empresa é de $1200$ € e $50\%$ dos funcionários ganham menos de $2100$ €.

Identifique a quais parâmetros específicos do diagrama de caixa (Mínimo, $Q_1$, $Me$, $Q_3$, Máximo) correspondem os valores $3500$ €, $1200$ € e $2100$ €.

Foi construído um diagrama de caixa com as temperaturas máximas de uma cidade em julho, obtendo-se $Q_1 = 28^\circ \text{C}$, $Me = 31^\circ \text{C}$ e $Q_3 = 35^\circ \text{C}$.

Se, devido a uma onda de calor, no ano seguinte todas as temperaturas máximas registadas aumentarem exatamente $3^\circ \text{C}$, quais serão os novos valores de $Q_1$, $Me$ e $Q_3$? O valor da amplitude interquartil mudará?

O serviço de apoio ao cliente dos Comboios Urbanos da CP analisa os minutos de atraso em $25$ viagens de duas linhas distintas ($L_1$ e $L_2$) para avaliar a sua regularidade. Os resumos estatísticos obtidos são:

• Linha $L_1$: Mínimo = $1$ min, $Q_1 = 2$ min, Mediana = $3$ min, $Q_3 = 4$ min, Máximo = $20$ min (um único comboio sofreu uma avaria na catenária).

• Linha $L_2$: Mínimo = $0$ min, $Q_1 = 3$ min, Mediana = $6$ min, $Q_3 = 8$ min, Máximo = $10$ min (sem avarias graves, mas com atrasos frequentes).

1. a) Que medida de dispersão, a amplitude total ou a amplitude interquartil ($AIQ$), é mais adequada para comparar a pontualidade habitual de ambas as linhas? Justifica a tua escolha explicando como a avaria isolada de $20$ minutos da linha $L_1$ afeta cada indicador.
2. b) Um relatório propõe anunciar que «a linha $L_2$ é mais fiável porque a sua amplitude total é de apenas $10$ minutos contra os $19$ da linha $L_1$». Com base no diagrama de extremos e quartis (analisando a mediana e a dispersão dos $50\,\%$ centrais das viagens), contesta essa afirmação e fundamenta que linha recomendarias a uma pessoa que precisa de chegar pontualmente ao trabalho de forma habitual.

Uma tutora de Formação em Contexto de Trabalho resume num diagrama de caixa de bigodes as horas semanais de estágio em empresa que os $7$ alunos do seu grupo realizam. Ela perdeu a lista original, mas conserva os seguintes dados exatos do diagrama:

• Valor mínimo = $10$ horas

• Primeiro quartil ($Q_1$) = $14$ horas

• Mediana ($Me$) = $18$ horas

• Terceiro quartil ($Q_3$) = $22$ horas

• Amplitude total = $15$ horas

1. a) Deduz o valor do dado máximo e calcula a amplitude interquartil ($AIQ$) da distribuição.
2. b) Reconstrói uma lista ordenada de $7$ números inteiros que cumpra exatamente este resumo de cinco números, explicando como posicionas cada valor de acordo com a definição de mediana e quartis para $N = 7$.
3. c) A tua lista é a única combinação possível de dados que produz esse mesmo diagrama de caixa de bigodes? Demonstra a tua resposta indicando que dado concreto poderias modificar, entre que valores inteiros poderia variar e por que razão não afetaria nenhum dos cinco números do diagrama.

Uma distribuição de dados é perfeitamente simétrica. Sabe-se que a sua amplitude é de $40$ unidades, a sua amplitude interquartil (AIQ) é de $16$ unidades e o valor mínimo é $10$.

Calcule os valores exatos de $Q_1$, $Me$, $Q_3$ e o valor máximo.

Dado o seguinte conjunto de dados ordenados sobre o tempo de reação (em milissegundos) de uma experiência: $120, 135, 140, 145, 150, 160, 170, x$.

Encontra o valor mínimo que a incógnita $x$ deve ter para ser considerada um valor atípico superior no diagrama de caixa de bigodes. (Lembra-te de que para este cálculo $N=8$).

Crie um conjunto de dados formado por exatamente $6$ números inteiros positivos cujo diagrama de caixa de bigodes tenha os seguintes parâmetros:

Mínimo = $2$, $Q_1 = 5$, Mediana = $8$, $Q_3 = 12$, Máximo = $15$.

(Nota: Utilize as regras de interpolação padrão da mediana das metades inferior e superior para calcular os quartis).

O gráfico seguinte mostra os tempos de execução (em milissegundos) de três algoritmos informáticos diferentes a processar a mesma quantidade de dados.

Se precisas de escolher um algoritmo para um sistema crítico em tempo real em que seja indispensável que o tempo de execução nunca ultrapasse $60$ ms, mas ao mesmo tempo queres que o desempenho geral (mediana) seja o mais rápido possível, qual algoritmo escolherias e porquê? Justifica a resposta descartando os outros dois.

Os salários (em milhares de euros) de $200$ trabalhadores estão agrupados nos seguintes intervalos:

• $[10, 20)$: $40$ trabalhadores

• $[20, 30)$: $80$ trabalhadores

• $[30, 40)$: $60$ trabalhadores

• $[40, 50)$: $20$ trabalhadores

Estime os valores de $Q_1$, $Me$ e $Q_3$ utilizando interpolação linear dentro dos intervalos para poder esboçar o seu diagrama de caixa.

Num diagrama de caixa do rendimento de uma população, observa-se que a distância de $Q_1$ à mediana é de $500$ €, enquanto da mediana a $Q_3$ é de $2500$ €. Além disso, o bigode superior é muito mais longo do que o inferior.

Que relação espera que haja entre a média aritmética e a mediana (qual será maior)? Justifique a sua resposta com base na assimetria mostrada pela caixa.

Um conjunto de dados tem o seguinte resumo de cinco números: Mínimo = $10$, $Q_1 = 20$, $Me = 25$, $Q_3 = 35$, Máximo = $50$.

Aplica-se a transformação linear $y = -2x + 100$ a todos os dados.

Calcule o novo resumo de cinco números para a variável $y$ e determine a sua nova amplitude interquartil. Tenha especial cuidado com a ordem dos quartis ao multiplicar por um número negativo.

Um diagrama de caixa resume o centro e a dispersão por meio de quartis, mas pode ocultar a forma real da distribuição.

Proponha dois conjuntos de dados distintos de $8$ elementos cada um: o primeiro deve ser uma distribuição uniforme (valores igualmente espaçados) e o segundo uma distribuição fortemente bimodal (valores concentrados nos extremos), de tal forma que AMBOS os conjuntos tenham exatamente o mesmo Mínimo, $Q_1$, Mediana, $Q_3$ e Máximo.

A partir de uma amostra de dados verosímeis do Inquérito à Estrutura Salarial do INE sobre jovens com menos de $25$ anos em Espanha, obteve-se o seguinte resumo de cinco números sobre o seu salário líquido mensal (em euros):

1. a) Calcula a amplitude interquartil ($AIQ$) e determina os limites numéricos exatos (fronteiras de atipicidade) para considerar um salário como valor atípico. Justifica matematicamente se o salário máximo de $2100\text{ €}$ é um valor atípico.
2. b) Se o segundo salário mais elevado de toda a amostra é de $1520\text{ €}$, descreve detalhadamente como se deve desenhar a extremidade superior do diagrama de extremos e quartis: até que ponto numérico chega o bigode direito e de que forma se representa o salário de $2100\text{ €}$?
3. c) Numa mesa-redonda, um porta-voz afirma: «Como o bigode direito é muito mais longo do que o esquerdo e a caixa é mais larga para cima ($Q_3 - Me = 170\text{ €}$) do que para baixo ($Me - Q_1 = 70\text{ €}$), a distribuição tem assimetria à direita, pelo que podemos garantir com total certeza matemática que a média salarial é superior à mediana ($1150\text{ €}$)». Com base no que estudaste sobre diagramas de extremos e quartis, avalia criticamente esta afirmação: por que razão a assimetria do gráfico é um indício, mas não uma garantia suficiente para assegurar a posição da média?

Uma equipa de investigação educacional estuda o tempo diário (em minutos) que $8$ estudantes do $4.^{\circ}$ ano do ensino secundário dedicam às redes sociais. Pedem-te para modelares uma lista de dados que satisfaça de forma exata estas quatro condições estatísticas:

1. A mediana deve ser exatamente $75$ minutos.

2. A amplitude interquartil deve ser $AIQ = 20$ minutos, com uma caixa perfeitamente simétrica em relação à mediana ($Me - Q_1 = Q_3 - Me$).

3. Não deve existir nenhum valor atípico inferior, mas deve haver exatamente um valor atípico superior.

4. O valor mínimo da amostra deve ser $40$ minutos.

1. a) Deduz os valores numéricos obrigatórios de $Q_1$ e $Q_3$, e calcula o limiar numérico exato a partir do qual um tempo passa a ser considerado atípico superior.
2. b) Constrói uma lista ordenada de $8$ números inteiros que cumpra todas as condições, explicando como calculas a mediana e os quartis para $N = 8$ (utilizando a média das posições centrais de cada metade).
3. c) Demonstra que com esse valor mínimo de $40$ minutos é impossível surgirem atípicos inferiores e fundamenta que condição de limite deve cumprir o sétimo valor ($x_7$) para garantir que unicamente o oitavo dado ($x_8$) seja atípico.

Desafio do tema. Os ecrãs influenciam o nosso estilo de vida? Como analista de dados principiante, irás investigar a relação entre o uso do telemóvel e o desporto no teu meio através de um breve relatório estatístico.

1. População e amostra: Define a população em estudo e faz um inquérito a uma amostra de pelo menos 15 colegas ou familiares. Recolhe dois dados por pessoa: horas diárias de ecrã e se pratica desporto habitualmente (Sim/Não).

2. Tabela de contingência: Agrupa as horas em dois intervalos (por exemplo, $\le 3,5$ h e $> 3,5$ h) e elabora uma tabela de contingência de dupla entrada que relacione ambas as variáveis.

3. Parâmetros e diagrama de extremos e quartis: Introduz os dados contínuos de horas numa folha de cálculo ou no GeoGebra. Calcula a média, a mediana, a moda, a variância e o desvio-padrão. Gera o diagrama de extremos e quartis, identificando a amplitude interquartil e possíveis valores atípicos (outliers).

4. Proposta fundamentada: Redige um relatório breve a interpretar a dispersão, a representatividade da amostra e a verificar se se observa associação entre ambas as variáveis.

Será valorizado:

• Identificação correta de população, amostra e elaboração precisa da tabela de contingência.

• Exatidão no cálculo digital das medidas de localização do centro (média, mediana, moda) e de dispersão (variância, desvio-padrão).

• Construção e interpretação adequada do diagrama de extremos e quartis.

• Rigor e sentido crítico nas conclusões do relatório final.