Exercícios: Função trigonométrica: seno, cosseno e tangente.

Determine a amplitude e o período da função trigonométrica $f(x) = 4\sin(3x)$.

Calcule a função $g(x) = 2\cos(x) - 1$ para os valores $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$ e $x = \frac{3\pi}{2}$.

Observe o gráfico a seguir e determine se corresponde à função seno ou à função cosseno. Justifique a sua resposta indicando o ponto de interseção com o eixo Y e o tipo de simetria que apresenta.

Indique o domínio e o contradomínio da função trigonométrica $h(x) = 5\sin(x) + 2$.

Classifique as funções elementares $f(x) = \sin(x)$, $g(x) = \cos(x)$ e $h(x) = \tan(x)$ segundo o tipo de simetria que apresentam (par ou ímpar).

Calcule o período exato da função $y = \tan\left(\frac{x}{3}\right)$.

Encontra todos os pontos de interseção com o eixo das abcissas (eixo X) da função $y = \sin(x)$ no intervalo fechado $[0, 2\pi]$.

Descreva qual a transformação geométrica que o gráfico da função $f(x) = \cos(x)$ sofre para se transformar no gráfico de $g(x) = \cos(x) - 3$. Qual é o novo contradomínio da função $g(x)$?

O Marcos está a analisar na aula a função trigonométrica $f(x) = -3\cos(2x)$ e anota no seu caderno as seguintes conclusões:

1) «A amplitude da função é $-3$, porque é o coeficiente que multiplica o cosseno».

2) «O período é $4\pi$, porque, como o $x$ está multiplicado por $2$, a onda demora o dobro do tempo a completar-se: $2 \cdot 2\pi = 4\pi$».

3) «A função é ímpar, porque tem um sinal menos à frente e as funções ímpares têm sinal negativo».

Identifica de forma fundamentada o erro conceptual que o Marcos comete em cada uma das três afirmações, explica o que acontece geometricamente no gráfico em cada caso e escreve os valores corretos da amplitude, do período e do tipo de simetria (par ou ímpar) da função.

Encontra a expressão algébrica de uma função da forma $f(x) = A\cos(Bx) + D$, com parâmetros positivos $A > 0$ e $B > 0$, que cumpra simultaneamente as seguintes condições:

1. a) O seu eixo central de oscilação é a reta horizontal $y = 5$.
2. b) O valor mínimo que o gráfico atinge é $y = 1$.
3. c) O seu período fundamental de repetição é $T = \pi\text{ rad}$.

Deduz passo a passo o valor de cada um dos parâmetros $A$, $B$ e $D$, fundamentando o seu significado a partir das transformações da função elementar $\cos x$, indica qual é o contradomínio completo da função e calcula o seu valor máximo.

A altura, em metros, a que se encontra uma das cabines de uma roda-gigante em função do tempo, em minutos, é dada pela expressão $h(t) = 20 - 15\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$. Calcule a altura máxima e mínima que a roda-gigante atinge e determine o tempo exato que demora a dar uma volta completa.

O nível da água num porto varia periodicamente devido às marés. O gráfico seguinte mostra a altura da água, em metros, ao longo de $24\text{ horas}$. Determine a amplitude, o período e a altura média da água. A partir desses dados, proponha uma expressão trigonométrica do tipo $h(t) = A\sin(Bt) + D$ que se ajuste ao gráfico apresentado.

Uma onda sonora pura emitida por um diapasão é modelada pela função $P(t) = 0,02 \sin(880\pi t)$, onde $P$ representa a variação de pressão em pascais e $t$ o tempo decorrido em segundos. Determine a amplitude da onda e a sua frequência (o número de ciclos completos que realiza por segundo).

A tensão de uma corrente alternada numa instalação doméstica europeia pode ser expressa pela função $V(t) = 325 \sin(100\pi t)$, onde $V$ é a tensão em volts e $t$ o tempo em segundos. Calcule a tensão máxima atingida e descubra quantas vezes por segundo a tensão assume exatamente o valor de $0\text{ voltios}$.

Um peso pendurado na extremidade de uma mola oscila verticalmente. A sua posição em relação ao teto é dada pela equação $y(t) = 8\cos(4t) - 20$, medida em centímetros. Indique a que distância do teto o peso se encontra no instante inicial ($t=0$), qual é a sua posição mais baixa (maior distância ao teto) e qual é o período de oscilação da mola.

O número de horas de luz solar numa determinada cidade ao longo do ano pode ser aproximado pela função $H(d) = 12 + 3\sin\left(\frac{2\pi}{365}(d-80)\right)$, onde $d$ representa o dia do ano ($d=1$ é o dia 1 de janeiro). Quantas horas de luz há exatamente no dia $d=80$? E no dia $d=262$ (meio ano depois)? Interprete o significado de ambos os resultados.

Desenhe um esboço da função $g(x) = 3\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. Explique passo a passo como se obtém esse gráfico aplicando translações e dilatações ao gráfico original da função $f(x) = \sin(x)$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Determine o domínio da função $f(x) = \tan(2x)$ e escreva as equações das suas três primeiras assíntotas verticais positivas.

Uma boia oceanográfica instalada ao largo do porto de Leixões regista a passagem da ondulação. A sua altura $h(t)$ em metros relativamente ao fundo marinho é dada pela expressão $h(t) = 3 + 1,2\sin(4\pi t)$, onde $t$ é o tempo medido em segundos.

1. a) Antes de efetuares cálculos algébricos detalhados, faz uma estimativa fundamentada:

• Entre que dois valores extremos de altura oscilará a boia?

• Quantas oscilações completas (ondas) estimas que a boia completará num único segundo?

• Em que fração aproximada de segundo atingirá pela primeira vez a sua altura máxima depois de se começar a contar o tempo em $t = 0$?

1. b) Calcula agora com precisão matemática a amplitude, o período fundamental $T$, o contradomínio da função e o instante exato $t_1 > 0$ em que ocorre o primeiro máximo.
2. c) Verifica se as tuas estimativas iniciais coincidem com os resultados analíticos e explica por que razão o primeiro máximo é atingido em $t = T/4$ e não em $t = T/2$.

Pretende-se modelar a variação do nível da água $h(t)$ (em metros) por efeito das marés na ria de Aveiro em função das horas decorridas $t$ desde a meia-noite ($t = 0$). Os registos oceanográficos indicam que o nível médio da água é de $3\text{ metros}$, a oscilação máxima acima e abaixo desse nível médio é de $1,5\text{ metros}$, o ciclo completo de maré dura $12\text{ horas}$ e, precisamente às $00:00$ ($t = 0$), regista-se a baixa-mar absoluta (nível mínimo de $1,5\text{ metros}$).

Para escrever a fórmula de $h(t)$, dois estudantes sugerem abordagens distintas:

• Método 1 (Beatriz): Utilizar um cosseno invertido sem desfasamento horizontal: $h(t) = -A\cos(Bt) + D$.

• Método 2 (David): Utilizar um seno com desfasamento horizontal: $h(t) = A\sin(B(t - C)) + D$.

1. a) Determina os parâmetros necessários para escrever a função $h(t)$ seguindo o método da Beatriz e o método do David (com $A > 0$ e $B > 0$).
2. b) Compara ambos os caminhos: justifica qual dos dois métodos é mais direto e conveniente neste caso, explicando que relação existe entre o ponto de partida do fenómeno em $t = 0$ e a escolha da função base (seno ou cosseno).
3. c) Verifica algebricamente que ambas as expressões dão exatamente o mesmo nível de água às $03:00$ da madrugada ($t = 3$).

O pêndulo de um relógio de parede oscila de um lado para o outro. O seu afastamento horizontal, em centímetros, em relação ao centro é modelado pela função $x(t) = A \cos(Bt)$. Sabendo que o pêndulo atinge um afastamento máximo de $12\text{ cm}$ e completa um ciclo inteiro de ida e volta a cada $2\text{ segundos}$, determine os valores exatos dos parâmetros $A$ e $B$. Além disso, calcule em que instantes exatos durante os primeiros $4\text{ segundos}$ o pêndulo passa exatamente pela posição central de equilíbrio.

A temperatura média mensal de uma cidade é modelada por uma função trigonométrica. Observe o gráfico que representa a temperatura $T$ em graus Celsius em função do mês $m$ (onde $m=0$ equivale ao início de janeiro, $m=1$ ao início de fevereiro, etc.). Determine os valores dos parâmetros $A, B, C$ e $D$ para que a função $T(m) = A \cos(B(m - C)) + D$ represente fielmente essa curva.

Encontre analiticamente todos os pontos de interseção (coordenadas $x$ e $y$) dos gráficos das funções $f(x) = \sin(x)$ e $g(x) = \cos(x)$ no intervalo fechado $[0, 2\pi]$. Justifique a sua resposta utilizando as propriedades das funções trigonométricas.

De acordo com a teoria dos biorritmos, a capacidade física de uma pessoa segue um ciclo sinusoidal de $23\text{ dias}$ e a capacidade emocional um ciclo de $28\text{ dias}$. Se ambas as capacidades forem modeladas por funções seno de amplitude $1$ que partem de zero no dia do nascimento ($t=0$), escreva as funções $F(t)$ e $E(t)$. Quantos dias exatos devem passar desde o nascimento para que ambas as capacidades voltem a cruzar o valor zero simultaneamente, passando ambas a ter valores positivos?

A população de coelhos numa reserva natural flutua anualmente segundo o modelo $P(t) = 800 + 300\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$, onde $t$ representa o tempo em meses ($t=0$ é o dia 1 de janeiro). Formule e resolva a inequação trigonométrica correspondente para determinar exatamente durante que meses do primeiro ano a população se mantém estritamente acima de $950\text{ conejos}$.

O feixe de luz de um farol giratório ilumina uma falésia reta e longa. A distância $d$ (em metros) do ponto mais próximo da falésia até ao ponto iluminado no instante $t$ (em segundos) é dada pela função $d(t) = 200 \tan\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. Determine o domínio desta função no contexto físico do problema (para a primeira volta) e interprete o que acontece ao feixe de luz quando $t$ se aproxima de $2\text{ segundos}$.

Demonstre por meio da análise de translações horizontais que a função $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ é equivalente à função $g(x) = \cos(x)$. Utilize os conceitos de desfasamento, periodicidade e a forma dos seus gráficos para justificar a sua resposta.

O volume de ar presente nos pulmões de uma pessoa em repouso, medido em litros, é modelado pela função $V(t) = 2,5 + 0,5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$, onde $t$ é medido em segundos. Calcule o volume máximo e mínimo de ar nos pulmões. A partir do período da função, determine quantas respirações completas (ciclos completos de inalação e exalação) essa pessoa realiza em exatamente um minuto.

A partir dos registos históricos do IPMA para uma localidade do interior de Portugal continental, a temperatura média diária $T(t)$ ao longo de um ano de $365\text{ dias}$ é modelada de forma precisa através de uma função periódica do tipo $T(t) = A\cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - C)\right) + D$, onde $t$ é o dia do ano ($t = 1$ representa 1 de janeiro). O dia com a temperatura média mais baixa do ano é 15 de janeiro ($t = 15$) com $5^\circ\text{C}$, e o dia com a temperatura média mais alta ocorre exatamente meio ano depois, a 16 de julho ($t = 197,5$), atingindo $27^\circ\text{C}$.

1. a) Deduz e justifica os valores numéricos de $A$, $D$ e o desfasamento $C$ (com $A > 0$), explicando com clareza o significado físico ou meteorológico de cada um deles no clima da região.
2. b) Determina em que dois dias do ano o modelo prevê que a temperatura média diária seja de exatamente $16^\circ\text{C}$ e interpreta por que razão estes dias são próximos dos equinócios da primavera e do outono.
3. c) Tendo em conta a forma e o declive do gráfico da função cosseno, fundamenta em que épocas do ano a variação diária da temperatura (a rapidez com que sobe ou desce dia após dia) é máxima e em que épocas é praticamente nula.

Constrói a expressão algébrica de uma função da forma $f(x) = A\tan(B(x - C))$, com $A > 0$ e $B > 0$, que cumpra simultaneamente os seguintes requisitos geométricos:

1) Duas das suas assíntotas verticais consecutivas encontram-se exatamente nas retas $x = -\dfrac{\pi}{4}$ e $x = \dfrac{3\pi}{4}$.

2) O gráfico interseta o eixo horizontal $OX$ num ponto situado entre ambas as assíntotas.

3) O gráfico passa pelo ponto $\left(\dfrac{\pi}{2}, 3\right)$.

1. a) A partir da distância entre duas assíntotas verticais consecutivas da tangente, calcula e justifica o valor do período da função e deduz o parâmetro $B$.
2. b) Encontra o valor do desfasamento horizontal $C$ fundamentando a posição do ponto médio entre ambas as assíntotas, e determina depois o valor da escala vertical $A$ utilizando o ponto dado.
3. c) Embora a função elementar $\tan x$ seja uma função ímpar (cumpre $\tan(-x) = -\tan x$), demonstra analiticamente que a função $f(x)$ que obtiveste não é par nem ímpar, explicando com precisão que efeito geométrico teve a translação horizontal $C$ sobre a simetria original em relação à origem das coordenadas.

Desafio do tema. Imagina que vais projetar uma pérgula bioclimática para a tua escola ou terraço, otimizando a sombra e o custo elétrico.

1. Medição geométrica: Mede ao meio-dia a tua sombra e a de um poste ou candeeiro para deduzir a sua altura real através de triângulos semelhantes. No GeoGebra, esboça a estrutura combinando retas paralelas aos eixos ($x = 2,5$, $y = 0$), vigas paralelas com polinómios do primeiro grau ($y = 0,4x + 2$) e suportes perpendiculares ($m_1 \cdot m_2 = -1$).

2. Tarifa e consumo: Entra no site da REN ou da ERSE e descarrega os preços horários da eletricidade de ontem. Modela numa folha de cálculo o custo elétrico através de uma função definida por ramos que distinga os períodos de vazio, cheias e ponta com funções lineares e constantes.

3. Modelação ambiental: Investiga a radiação solar ou a amortização de um painel solar de $1,2\text{ m}^2$. Ajusta os dados com o GeoGebra usando funções elementares: proporcionalidade inversa ($k/x$) para o rendimento em função das nuvens, ou modelos exponenciais, logarítmicos, de potência ou radicais para estimar a poupança a longo prazo.

4. Proposta fundamentada: Redige um relatório breve com os gráficos obtidos, as fórmulas algébricas e a tua proposta de orientação e poupança.

Será valorizado:

• Precisão no cálculo com triângulos semelhantes e no traçado de retas (paralelas, perpendiculares e aos eixos).

• Correção algébrica da função por ramos e ajuste das funções elementares (inversa, radical, exponencial ou logarítmica) com dados reais.

• Qualidade técnica do relatório e fundamentação matemática apoiada no GeoGebra ou em folha de cálculo.