Exercícios: Funções radicais

Determine o domínio de definição da função $f(x) = \sqrt{x - 8}$.

Dada a função $f(x) = \sqrt{2x - 1}$, calcule o valor das suas imagens para $x = 5$ e $x = 13$.

Determine o domínio da função $g(x) = \sqrt{-3x + 12}$.

Calcule os pontos de interseção com os eixos coordenados da função $h(x) = \sqrt{x + 4} - 2$.

Observe as três funções representadas no gráfico seguinte. Identifique qual delas corresponde à expressão $f(x) = \sqrt{x - 2}$ e justifique a sua resposta indicando o seu domínio.

Calcule o valor de $x$ para o qual a função $f(x) = \sqrt{5x + 1}$ toma o valor $4$.

Determine o domínio da função $f(x) = 3 - \sqrt{x + 5}$.

O tempo $t$ (em segundos) que um objeto demora a cair de uma altura $h$ (em metros) pode ser aproximado pela função $t(h) = \sqrt{\frac{h}{5}}$. Quanto tempo demorará a chegar ao solo uma bola que é largada de uma ponte com $45$ metros de altura?

A Maria tenta calcular o ponto de interseção com o eixo das ordenadas ($Y$) da função $f(x) = \sqrt{x - 4} + 1$. Para isso, escreve no seu caderno: «Como a interseção com o eixo $Y$ ocorre quando $x = 0$, calculo $f(0) = \sqrt{0 - 4} + 1 = \sqrt{-4} + 1 = -2 + 1 = -1$, logo a curva interseta no ponto $(0, -1)$». Identifica os dois erros concetuais cometidos pela Maria, explica por que o seu procedimento contradiz a definição de domínio de uma função radical nos números reais e determina justificadamente se o gráfico de $f$ interseta ou não o eixo $Y$.

Uma função radical elementar tem a expressão $f(x) = \sqrt{x - h} + v$. Sabe-se que a sua representação gráfica tem início exatamente no ponto $(-3, 2)$ do plano cartesiano e que, além disso, passa pelo ponto $(1, 4)$. Determina de forma fundamentada os valores numéricos dos parâmetros $h$ e $v$. A partir deles, deduz o domínio e o contradomínio da função apoiando-te no significado das translações horizontal e vertical em relação à função básica $y = \sqrt{x}$.

O período $T$ (em segundos) de um pêndulo simples é dado pela função $T(L) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{10}}$, onde $L$ é o comprimento do fio em metros. Se quisermos construir um pêndulo que tenha um período de exatamente $2$ segundos, que comprimento deve ter o fio? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

Encontra o domínio da função $f(x) = \sqrt{x^2 - 16}$.

Dada a função $f(x) = \sqrt{x}$, escreve a expressão analítica da função $g(x)$ que resulta da translação do gráfico de $f(x)$ três unidades para a direita e duas unidades para cima.

A velocidade $v$ (em km/h) a que se propaga um tsunami no oceano depende da profundidade $d$ (em metros) da água, segundo a função $v(d) = 11,2 \sqrt{d}$. Se foi detetado que um tsunami avança a uma velocidade de $336$ km/h, a que profundidade se encontra o oceano nesse ponto?

Calcule os pontos de interseção com os eixos coordenados da função $f(x) = \sqrt{2x + 3} - 3$.

O raio $r$ de um círculo em função da sua área $A$ é dado por $r(A) = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$. Calcule a taxa de variação média do raio quando a área passa de $100\pi$ para $400\pi$ unidades quadradas.

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função $f(x) = \sqrt{ax + b}$ tenha como domínio o intervalo $[-2, +\infty)$ e passe pelo ponto $(2, 4)$.

Observe os gráficos das funções $f(x) = \sqrt{x + 1}$ e $g(x) = \sqrt{-x + 1}$. Determine o domínio de cada uma delas e calcule o ponto exato onde se intersetam.

A partir do farol do Cabo da Roca (Portugal), a distância máxima teórica $D$ (em quilómetros) a que se avista a linha do horizonte sobre o mar depende da altura $h$ (em metros) a que se situam os olhos do observador, segundo o modelo $D(h) = 3,57 \cdot \sqrt{h}$.

1. a) Antes de calcular o valor exato, estima fundamentadamente entre que dois números inteiros consecutivos de quilómetros estará a distância de visão para um visitante situado a $h = 40\text{ m}$ de altura sobre o nível do mar, justificando a tua aproximação a partir dos quadrados perfeitos mais próximos de $40$.
2. b) Calcula agora o valor numérico de $D(40)$ arredondando a duas casas decimais e verifica se a tua estimativa inicial estava correta.
3. c) Se um marinheiro afirmar que, para ver o dobro da distância ($2 \cdot D$), basta colocar-se ao dobro da altura ($2 \cdot h$), justifica matematicamente se a afirmação dele é verdadeira ou falsa, analisando como se comporta a raiz quadrada perante uma duplicação da variável.

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) regista a velocidade do vento $v$ (em $\text{m/s}$) nas proximidades de um parque eólico na Serra do Marão em função da altura $z$ (em metros) sobre o terreno através da expressão $v(z) = 3 + 2\sqrt{z - 4}$, aplicável a partir da cota mínima dos anemómetros.

1. a) Interpreta o significado matemático e físico do radicando e deduz o domínio de definição da função neste contexto real. Porque é que não tem sentido avaliar $v(2)$?
2. b) Formula a equação correspondente para descobrir a que altura a velocidade do vento atinge os $11\text{ m/s}$, resolve-a passo a passo e verifica explicitamente se a solução obtida pertence ao domínio da função.
3. c) Sem resolver nenhuma equação algébrica longa, deduz fundamentadamente a partir do contradomínio (conjunto de valores) da função se é possível que em algum ponto acima da cota mínima o vento esteja em calmaria total ($v = 0\text{ m/s}$).

Determine o domínio de definição da função $f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 8}$.

Encontra os pontos de interseção entre a reta $y = x - 2$ e a função radical $y = \sqrt{x + 4}$. Verifica se a solução obtida pertence ao domínio de ambas as funções e satisfaz a equação original.

A distância $d$ (em km) a que se encontra o horizonte para um observador situado a uma altura $h$ (em metros) acima do nível do mar pode ser aproximada pela função $d(h) = 3,57 \sqrt{h}$. Se estiveres no topo de um farol a $10$ metros de altura, quantos metros adicionais terias de subir para que a distância ao horizonte visível duplique?

Determine o domínio e o contradomínio da função $f(x) = -2 + \sqrt{3x - 6}$. Justifique a sua resposta analisando as características da função radical.

O custo de produção $C$ (em euros) de uma fábrica de componentes eletrónicos depende do número de unidades produzidas $x$ segundo a função $C(x) = 200 + 10\sqrt{x - 100}$. Determine o domínio da função neste contexto. Se o custo de um lote foi de $350$ euros, quantas unidades foram produzidas?

A relação entre o volume $V$ de um cubo e a sua aresta $a$ é $V = a^3$. No entanto, se considerarmos a área de uma das suas faces $A = a^2$, exprime a aresta $a$ em função da área $A$. Depois, exprime o volume $V$ em função da área $A$ usando uma função radical e calcula o volume se a área de uma face for $25 \text{ cm}^2$.

Dada a função $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, determine os valores de $x$ para os quais a função está definida. Em seguida, calcule os pontos exatos onde a função toma o valor $\sqrt{5}$.

Observa a seguinte função definida por ramos e a sua representação gráfica:

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{-x} & \text{si } x \le 0 \\ \sqrt{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Estuda o seu domínio, averigua se é uma função contínua em $x=0$ e demonstra algebricamente se possui algum tipo de simetria (par ou ímpar).

Para determinar os pontos de interseção entre a função radical $f(x) = \sqrt{2x + 10}$ e a reta $g(x) = x - 1$, deve resolver-se a equação $\sqrt{2x + 10} = x - 1$. Dois alunos propõem estratégias distintas antes de operar:

• Método do Marcos: Isolar a raiz, elevar ambos os membros ao quadrado, resolver a equação do segundo grau resultante e, no final, substituir cada solução na igualdade de partida para descartar possíveis soluções falsas.

• Método da Sara: Antes de elevar ao quadrado, analisar o domínio do radicando ($2x + 10 \ge 0$) e a condição de sinal do segundo membro ($x - 1 \ge 0$), deduzindo que qualquer solução válida deve pertencer forçosamente ao intervalo $[1, +\infty)$.

1. a) Aplica o método do Marcos resolvendo a equação passo a passo. Mostra que solução falsa surge e explica algebricamente por que razão aparece ao elevar ao quadrado.
2. b) Explica por que razão o método da Sara permite descartar de imediato a solução falsa sem necessidade de a substituir na equação original.
3. c) Justifica que perigo tem elevar diretamente ao quadrado se a equação inicial se apresentasse não isolada como $\sqrt{2x + 10} - x = -1$ e se aplicasse o quadrado a cada termo separadamente.

Modela fundamentadamente a expressão analítica de uma função radical da forma $f(x) = a\sqrt{x - h} + v$ que cumpra simultaneamente estas quatro condições:

1. O seu domínio de definição é o intervalo $[4, +\infty)$.

2. O seu gráfico interseta o eixo das abcissas ($X$) no ponto $(13, 0)$.

3. A função é estritamente decrescente em todo o seu domínio.

4. O valor máximo que a função atinge é $6$ (ou seja, o seu contradomínio é $(-\infty, 6]$).

Responde de maneira fundamentada às seguintes questões:

1. a) Deduz passo a passo o valor de cada um dos parâmetros $h$, $v$ e $a$, explicando que condição te permite fixar cada um.
2. b) Determina analiticamente se o gráfico da tua função interseta ou não o eixo das ordenadas ($Y$).
3. c) Se mudarmos unicamente o sinal do coeficiente $a$ obtido (mantendo $h$ e $v$ intactos), qual seria o novo contradomínio da função e o que aconteceria com o ponto de interseção com o eixo $X$? Justifica a tua resposta sem te limitares a dar apenas o resultado.