Exercícios: Funções potência

Identifique quais das seguintes expressões algébricas correspondem a uma função potência:

• $f(x) = 3x^2$

• $g(x) = 2^x$

• $h(x) = \frac{5}{x^3}$

• $i(x) = x^{1/2}$

Dada a função potência $f(x) = 2x^4$, calcule o valor das suas imagens para $x = -2$, $x = 0$ e $x = 3$.

Indique qual é o domínio de definição e determine o tipo de simetria (par, ímpar ou nenhuma) da função potência $f(x) = x^6$.

Determine o valor do coeficiente $k$ da função potência $f(x) = k \cdot x^3$ sabendo que o seu gráfico passa pelo ponto de coordenadas $(2, 40)$.

Exprime por meio de uma função potência a área $A$ de um círculo em função do seu raio $r$. Qual é o grau desta função potência?

Indique o domínio de definição e as equações das assíntotas verticais e horizontais da função potência $f(x) = x^{-2}$.

Escreva a expressão algébrica da função que associa a cada número real positivo a sua raiz cúbica, expressando-a na forma de potência com expoente fracionário.

Sabendo que o gráfico de uma função potência da forma $f(x) = x^n$ passa pelo ponto $(3, 81)$, determine o valor do expoente $n$.

A Leonor está a analisar as propriedades de duas funções potência, $f(x) = 3 \cdot x^{-2}$ e $g(x) = 2 \cdot x^{1/4}$, e escreve no seu caderno:\n1. «Como $f(0) = 3 \cdot 0^{-2} = 0$, o gráfico de $f$ interseta o eixo $Y$ na origem $(0, 0)$».\n2. «Para a função $g$, como a raiz quarta de $16$ é $2$, se introduzirmos um valor negativo obtém-se $g(-16) = 2 \cdot (-16)^{1/4} = 2 \cdot (-2) = -4$, pelo que o seu domínio abrange todos os números reais».\nIdentifica fundamentadamente o erro conceptual cometido em cada uma das duas afirmações, explica por que razão o seu cálculo está incorreto e indica qual é o domínio real correto de cada uma destas funções.

Escreve a expressão algébrica de uma função potência da forma $f(x) = a \cdot x^n$ que cumpra simultaneamente as seguintes condições:\na) O seu expoente $n$ é um número inteiro negativo e o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo $Y$ (função par, onde $f(-x) = f(x)$).\nb) Possui uma assíntota vertical em $x = 0$ e uma assíntota horizontal em $y = 0$.\nc) O seu gráfico passa pelo ponto $P(2; 0,75)$.\nJustifica a escolha do valor de $n$ mais simples possível que verifique as condições e calcula detalhadamente o valor do coeficiente $a$, expressando-o sob a forma de fração irredutível ou número decimal.

A intensidade da luz $I$ que um objeto recebe é inversamente proporcional ao quadrado da distância $d$ ao foco luminoso, o que é modelado por meio da função de potência $I(d) = k \cdot d^{-2}$. Se a uma distância de $2$ metros a intensidade é de $100$ lux, determine a expressão completa da função e calcule a intensidade que o objeto receberá a $5$ metros de distância.

Determine analiticamente os pontos de interseção entre os gráficos das funções potência $f(x) = x^2$ e $g(x) = x^4$.

A energia cinética de um corpo em movimento é dada pela fórmula $E_c(v) = \frac{1}{2} m v^2$. Se a massa de um veículo é de $1200$ kg, exprime a sua energia cinética como uma função potência dependente da sua velocidade $v$ (em m/s) e calcula a energia que possui quando circula a $20$ m/s.

Observe o seguinte gráfico que mostra duas funções potência no primeiro quadrante.

Sabendo que as expressões analíticas correspondem a $y = x^2$ e $y = x^3$, identifique qual é $f(x)$ e qual é $g(x)$. A partir do gráfico e das expressões, determine em qual intervalo estritamente positivo a função cúbica assume valores menores do que a quadrática.

O raio $r$ (em cm) de uma mancha circular de óleo que se espalha pela água cresce com o tempo $t$ (em minutos) segundo a função potência $r(t) = 2 \cdot t^{1/2}$. Calcule o raio da mancha aos $0,25$ minutos e descubra quanto tempo deve passar para que o raio da mancha seja exatamente de $4$ cm.

Uma função potência é dada pela expressão $f(x) = a \cdot x^n$. Determine os valores exatos do coeficiente $a$ e do expoente $n$ sabendo que o gráfico passa pelos pontos $(1, 5)$ e $(2, 40)$.

Dada a função $f(x) = -3x^{-3}$, determine o seu domínio de definição, o seu contradomínio e estude analiticamente se apresenta algum tipo de simetria (par ou ímpar).

O volume de uma esfera em função do seu raio calcula-se por meio da fórmula $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$. Isole o raio $r$ para o expressar como uma função potência dependente do volume $V$. Utilize esta nova função para calcular o raio aproximado de uma esfera que tem um volume de $1000$ cm$^3$ (considere $\pi \approx 3,14$).

Num parque eólico do Alentejo, a potência elétrica $P$ (em quilowatts, kW) produzida por um aerogerador é modelada através da função potência $P(v) = k \cdot v^3$, onde $v$ representa a velocidade do vento (em m/s). Os dados de telemetria indicam que com uma velocidade de vento de $5\text{ m/s}$, a potência gerada é de $50\text{ kW}$.\na) Antes de realizar qualquer cálculo algébrico, faz uma estimativa fundamentada: se a velocidade do vento duplicar para os $10\text{ m/s}$, a potência duplicará ($100\text{ kW}$), quadruplicará ($200\text{ kW}$) ou aumentará ainda mais? Justifica a tua conjetura a partir das propriedades do expoente cúbico.\nb) Encontra o valor exato da constante $k$ a partir do dado inicial.\nc) Calcula analiticamente a potência $P(10)$ e verifica se a tua estimativa estava correta calculando a razão exata entre $P(10)$ e $P(5)$.

Uma função potência da forma $f(x) = a \cdot x^n$ passa pelos pontos $A(2, 6)$ e $B(6, 54)$. Para determinar os valores exatos dos parâmetros $a$ e $n$, dois colegas de turma propõem caminhos distintos:\n- Método do João (Quociente direto): Propõe o sistema $\begin{cases} 6 = a \cdot 2^n \\ 54 = a \cdot 6^n \end{cases}$, divide a segunda equação pela primeira para cancelar o coeficiente $a$ e agrupa as potências com a mesma base: $\frac{54}{6} = \left(\frac{6}{2}\right)^n \implies 9 = 3^n$.\n- Método da Leonor (Linearização logarítmica): Aplica logaritmos decimais a ambos os membros de cada equação para transformar o sistema num sistema linear de duas equações com duas incógnitas, $\log(a)$ e $n$, resolvendo-o em seguida por redução.\na) Completa os passos do método do João e calcula os valores de $n$ e de $a$.\nb) Compara ambos os procedimentos e justifica qual dos dois é mais eficiente neste caso particular.\nc) Explica que característica teriam de ter as coordenadas dos pontos para que o método do João não se pudesse resolver de forma imediata à vista desarmada e estivesse justificado recorrer ao método da Leonor.

A taxa metabólica basal $T$ (em kcal/dia) dos mamíferos é modelada em função da sua massa corporal $M$ (em kg) por meio da função potência de Kleiber: $T(M) = 70 \cdot M^{3/4}$. Calcule a taxa metabólica basal de um cão de $16$ kg. Em seguida, determine a massa aproximada de um animal cuja taxa metabólica é de $7000$ kcal/dia.

O gráfico seguinte mostra três funções potência cujas expressões são $y = x^{-1}$, $y = x^{-2}$ e $y = x^{1/2}$.

Associe cada curva (A, B e C) à sua expressão analítica correspondente, justificando a sua resposta com base no domínio, na paridade e no comportamento assintótico de cada uma.

Determine analiticamente os pontos de interseção entre a função cúbica $f(x) = 8x^3$ e a função de proporcionalidade inversa $g(x) = x^{-1}$.

A terceira lei de Kepler estabelece que o quadrado do período orbital $T$ de um planeta é diretamente proporcional ao cubo da sua distância média ao Sol $R$, ou seja, $T^2 = k \cdot R^3$. Se para a Terra se cumpre que $T = 1$ ano e $R = 1$ UA (Unidade Astronómica), expresse o período $T$ como uma função potência dependente de $R$. Utilize essa função para calcular o período orbital de Júpiter, sabendo que a sua distância média ao Sol é de $5,2$ UA.

A força de resistência aerodinâmica que um ciclista experimenta é proporcional ao quadrado da sua velocidade, o que se expressa como $F(v) = k \cdot v^2$. A uma velocidade de $10$ m/s, a força medida é de $30$ N. Demonstre analiticamente por que fator exato a força de resistência é multiplicada se o ciclista duplicar a sua velocidade (passando de uma velocidade genérica $v_0$ para $2v_0$) e calcule a nova força quando circula a $20$ m/s.

Determine a expressão analítica da função potência $f(x) = a \cdot x^n$ sabendo que o seu gráfico passa pelos pontos $(2, 2)$ e $(8, 16)$. Exprima o expoente $n$ na forma de fração irredutível.

Dada a função potência com expoente fracionário $f(x) = x^{2/3}$:

• Determine o seu domínio de definição.

• Calcule os valores exatos de $f(8)$ e $f(-8)$.

• Raciocine analiticamente se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.

O custo de produção de um componente eletrónico diminui à medida que aumenta o número de unidades fabricadas, segundo a função potência $C(x) = 5000 \cdot x^{-1/2}$, onde $x$ é a quantidade de componentes e $C(x)$ é o custo unitário em euros. Calcule o custo unitário de produzir $100$ componentes e determine quantos componentes devem ser fabricados no total para que o custo unitário seja reduzido a $25$ euros.

Segundo estudos técnicos da Direção-Geral de Tráfego (DGT), a distância de travagem $d$ (em metros) de um veículo ligeiro de passageiros em asfalto seco até parar completamente é modelada através de uma função potência $d(v) = a \cdot v^n$, onde $v$ é a velocidade de circulação (em km/h). Nos testes de homologação observa-se que a $40\text{ km/h}$ a distância de travagem é de $8\text{ metros}$, enquanto a $80\text{ km/h}$ sobe para $32\text{ metros}$.\na) Determina analiticamente a expressão da função deduzindo o expoente inteiro $n$ e a constante $a$.\nb) Em Espanha, a velocidade máxima em travessias urbanas de uma única faixa por sentido reduziu-se de $50\text{ km/h}$ para $30\text{ km/h}$. Calcula a distância de travagem associada a cada velocidade e determina a percentagem exata de redução que esta medida representa.\nc) Um condutor afirma: «Se conduzir a $140\text{ km/h}$ numa autoestrada em vez do limite de $120\text{ km/h}$, como só vou $16,7\,\%$ mais rápido, a minha distância de travagem aumentará apenas essa mesma percentagem». Refuta matematicamente o seu argumento a partir do comportamento da função potência e calcula o aumento percentual real da sua distância de travagem.

Pretende-se conceber a fórmula de uma função potência $f(x) = a \cdot x^n$ que modele a concentração residual de uma substância e que satisfaça simultaneamente quatro condições matemáticas:

1. O seu domínio não inclui valores negativos nem o zero, estando restrito de forma natural a $(0, +\infty)$.

2. Apresenta como assíntotas os eixos cartesianos: uma assíntota vertical em $x = 0$ e uma assíntota horizontal em $y = 0$.

3. Se multiplicarmos o valor da variável independente por $9$, o valor devolvido pela função reduz-se exatamente a um terço; isto é, $f(9x) = \frac{1}{3} \cdot f(x)$ para todo o $x > 0$.

4. O gráfico passa pelo ponto $P(4; 2,5)$.

1. a) A partir das condições 1 e 2, deduz fundamentadamente se o expoente $n$ deve ser positivo ou negativo, e por que razão deve ser uma fração com denominador par.

1. b) Aplica a condição 3 para determinar o valor exato do expoente $n$.

1. c) Determina o valor da constante $a$ usando as coordenadas do ponto $P$ e escreve a função final tanto sob a forma de potência como sob a forma de radical.