Exercícios: Redução ao primeiro quadrante e identidade fundamental

Na figura, estão representados os ângulos de $30º$ e $150º$ na circunferência goniométrica.

Observando a simetria da figura, expresse $\sin 150º$ e $\cos 150º$ em função de $\sin 30º$ e $\cos 30º$, indicando o sinal correto de cada uma.

Exprime cada uma destas razões trigonométricas em função da razão de um ângulo do primeiro quadrante, com atenção ao sinal:

• $\sin 210º$

• $\cos 225º$

• $\tan 240º$

Exprime cada uma destas razões trigonométricas em função da razão de um ângulo do primeiro quadrante, com atenção ao sinal:

• $\sin 330º$

• $\cos 315º$

• $\tan 300º$

Com a ajuda da calculadora, dá o valor destas razões com quatro casas decimais e verifica a relação indicada:

• Calcula $\sin 140º$ e $\sin 40º$. Que relação existe entre ambos os valores?

• Calcula $\cos 140º$ e $\cos 40º$. Que relação existe entre ambos os valores?

• Explica, com a circunferência trigonométrica, porque acontece o que observaste.

O Marcos está a resolver um exercício no qual sabe que $\sen \alpha = 0,6$ e que o ângulo $\alpha$ pertence ao segundo quadrante ($90º < \alpha < 180º$). No seu caderno escreveu o seguinte:

«Pela identidade fundamental, $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sen^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{0,64} = 0,8$. Portanto, aplicando a fórmula dos suplementares, $\cos(180º - \alpha) = -0,8$».

1. a) Localiza os dois erros concetuais que o Marcos cometeu e explica, ajudando-te do significado das coordenadas na circunferência goniométrica, por que razão estão errados.
2. b) Corrige o procedimento e calcula os valores corretos de $\cos \alpha$ e de $\cos(180º - \alpha)$.

Considera o ângulo $\beta = 200º$.

1. a) Antes de operar, estima de forma qualitativa: em que quadrante se situa $\beta$? Que sinais devem ter $\sen 200º$ e $\cos 200º$? Se compararmos $200º$ com $180º$, qual das duas razões (seno ou cosseno) esperas que tenha maior valor absoluto?
2. b) Sabendo que $200º = 180º + 20º$ e tomando como dados aproximados $\sen 20º \approx 0,3420$ e $\cos 20º \approx 0,9397$, calcula, recorrendo às fórmulas de redução ao primeiro quadrante, os valores aproximados de $\sen 200º$, $\cos 200º$ e $\tg 200º$.
3. c) Verifica se os resultados obtidos confirmam a tua estimativa da alínea a) e explica por que razão a tangente é positiva apesar de tanto o seno como o cosseno serem negativos.

Sabendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ e que $\alpha$ pertence ao segundo quadrante, calcule o valor exato de $\cos \alpha$ e de $\tan \alpha$.

Sabendo que $\cos \alpha = -\frac{1}{3}$ e que $\alpha$ pertence ao terceiro quadrante, calcule o valor exato de $\sin \alpha$ e de $\tan \alpha$.

Sabendo que $\tan \alpha = 2$ e que $\alpha$ pertence ao terceiro quadrante, calcule o valor exato de $\sin \alpha$ e de $\cos \alpha$. (Sugestão: utilize que $\sin \alpha = 2\cdot\cos \alpha$ e substitua na identidade fundamental.)

Na figura, foram representadas a circunferência goniométrica e a reta horizontal $\sin x = \frac{1}{2}$, que a corta em dois pontos.

Determine todos os ângulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verificam $\sin x = \frac{1}{2}$, justificando a partir da figura.

Encontre todos os ângulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verificam $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, indicando a que quadrantes pertencem.

Na figura, foram representados os ângulos de $60º$ e $120º$, que são suplementares.

Sabendo que $\sin 60º = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ e $\cos 60º = \frac{1}{2}$, calcule $\sin 120º$ e $\cos 120º$ justificando a partir da simetria da figura.

Para calcular o valor exato de $\sen(180º + \alpha)$ e de $\cos(360º - \alpha)$ sabendo que $\tg \alpha = -2$ e que $\alpha$ está no segundo quadrante, dois colegas propõem estratégias distintas:

• A Marta propõe utilizar a identidade $1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ para obter $\cos \alpha$, deduzir depois $\sen \alpha$ com $\sen \alpha = \tg \alpha \cdot \cos \alpha$ e, finalmente, reduzir os ângulos pedidos ao primeiro quadrante.

• O Sérgio propõe colocar um sistema de duas equações com duas incógnitas: $\frac{\sen \alpha}{\cos \alpha} = -2$ e $\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, isolar $\sen \alpha = -2\cos \alpha$, substituir na fundamental e concluir com as reduções.

1. a) Analisa ambos os métodos: são ambos corretos? Qual resulta mais direto e com menor risco de errar ao escolher sinais?
2. b) Aplica o método que consideres mais eficiente para dar o valor exato e simplificado (com radicais) de $\sen(180º + \alpha)$ e $\cos(360º - \alpha)$.

O computador de bordo de um drone regista um ângulo de orientação $\theta \in [0º, 360º)$ que não se pode ler diretamente devido a uma falha de ecrã, mas a memória conserva dois dados fiáveis:

1. $\sen(180º - \theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. $\cos(-\theta) < 0$.

1. a) Deduz fundamentadamente a que quadrante pertence o ângulo $\theta$.
2. b) Determina o valor exato de $\theta$ em graus dentro de $[0º, 360º)$.
3. c) Escreve uma equação trigonométrica simples da forma $\cos x = k$ cujas únicas duas soluções no intervalo $[0º, 360º)$ sejam o ângulo $\theta$ que encontraste e o seu ângulo oposto (simétrico relativamente ao eixo horizontal).

Sabendo que $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ e que $\alpha$ pertence ao quarto quadrante:

• Calcule o valor exato de $\sin \alpha$ e de $\cos \alpha$.

• Calcule $\sin(180º - \alpha)$.

• Calcule $\cos(180º + \alpha)$.

• Encontre todos os ângulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verificam $\tan x = 1$.

• Justifique, com a circunferência trigonométrica, quantas soluções teria a mesma equação no intervalo $[0º, 720º)$ e escreva todas elas.

Uma aluna escreveu esta resolução:

«Se $\cos \alpha = -0,8$ e $\alpha$ está no segundo quadrante, então:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = -0,6$»

Encontra o erro que ela cometeu, explica por que é um erro e calcula corretamente $\sin \alpha$ e $\tan \alpha$.

Demonstre que, para qualquer ângulo $\alpha$, se verifica:

(Indicação: reduza primeiro cada razão ao primeiro quadrante.)

Encontre todos os ângulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verificam $\sin^2 x = \frac{1}{4}$, justificando quantas soluções existem e a que quadrantes pertencem.

A ponta da pá de um aerogerador descreve uma circunferência de raio $1\ \text{m}$ (em unidades relativas) em torno do eixo do rotor. Se chamarmos $\theta$ ao ângulo que a pá forma com a horizontal, medido no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, a altura da ponta em relação ao centro é $\sin \theta$ e o seu deslocamento horizontal é $\cos \theta$.

• Completa uma tabela com a altura e o deslocamento horizontal da ponta para $\theta = 0º,\ 90º,\ 180º$ e $270º$.

• A pá gira $40$ vezes por minuto. Ao fim de algum tempo, a ponta está a uma altura de $0,5\ \text{m}$ acima do centro. Que valores de $\theta$ entre $0º$ e $360º$ correspondem a essa altura?

• E a uma altura de $-0,5\ \text{m}$?

Num parque eólico de Évora, uma pá de aerogerador de $40\text{ m}$ de comprimento roda em sentido anti-horário em torno do seu eixo central (cubo). Tomando o eixo horizontal que passa pelo cubo como referência ($0º$ para a direita), a altura vertical da extremidade da pá relativamente ao cubo é $h(\alpha) = 40 \cdot \sen \alpha$ (em metros) e a sua posição horizontal é $d(\alpha) = 40 \cdot \cos \alpha$ (em metros).

Durante uma revisão técnica, a pá fica parada numa posição $\alpha$ tal que o seu desvio horizontal é $d = -24\text{ m}$ e a extremidade da pá encontra-se abaixo do cubo ($h < 0$).

1. a) Deduz em que quadrante se encontra a pá e calcula o valor exato de $\cos \alpha$.
2. b) Utilizando a identidade fundamental da trigonometria, calcula a altura exata $h$ a que se encontra a ponta da pá relativamente ao cubo, justificando com rigor o sinal da raiz.
3. c) Os sensores de manutenção apenas processam ângulos agudos $\beta \in [0º, 90º]$. Expressa $\alpha$ na forma $\alpha = 180º + \beta$ e determina o valor exato de $\sen \beta$, $\cos \beta$ e $\tg \beta$. O que representa geometricamente $\beta$ relativamente à posição da pá?

Dois ângulos $\alpha$ e $\beta$ do intervalo $[0º, 360º)$ pertencem a quadrantes distintos e satisfazem simultaneamente o seguinte sistema de condições:

1. $\sen(180º - \alpha) + \sen(180º + \beta) = 0$.

2. $\cos(360º - \alpha) - \cos(180º - \beta) = 0$.

1. a) Aplica as fórmulas de redução ao primeiro quadrante em ambas as equações para obteres uma relação direta entre as razões trigonométricas de $\alpha$ e as de $\beta$.
2. b) A partir do resultado anterior, deduz a relação geométrica exata que une os ângulos $\alpha$ e $\beta$ (são suplementares, opostos ou diferem em $180º$?). Justifica a tua conclusão analisando os sinais na circunferência trigonométrica.
3. c) Sabendo além disso que $\sen \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ e que $\alpha$ está no segundo quadrante, determina, mediante a fórmula fundamental da trigonometria, o valor exato de $\cos \beta$ e de $\tg \beta$, justificando o sinal de cada passo sem recorrer à calculadora.