Exercícios: Ângulos orientados e circunferência goniométrica

Um ângulo maior que $360º$ dá mais do que uma volta completa. Expressa cada um destes ângulos como um número de voltas completas mais um ângulo menor que $360º$:

• $\alpha = 750º$

• $\beta = 1180º$

• $\gamma = 2000º$

Os ângulos negativos são percorridos no sentido horário. Exprime cada um destes ângulos como um ângulo positivo menor que $360º$ que tenha o mesmo lado extremidade:

• $\alpha = -60º$

• $\beta = -150º$

• $\gamma = -400º$

Indique em que quadrante se encontra o lado terminal de cada um destes ângulos:

• $\alpha = 95º$

• $\beta = 262º$

• $\gamma = 310º$

• $\delta = -80º$

• $\varepsilon = 500º$

Na circunferência goniométrica, o seno de um ângulo é a ordenada e o cosseno a abscissa do ponto onde o lado terminal corta a circunferência, como se mostra na figura.

À vista da figura, calcule justificadamente o valor de:

• $\sin 90º$ e $\cos 90º$

• $\sin 180º$ e $\cos 180º$

• $\sin 270º$ e $\cos 270º$

• $\sin 360º$ e $\cos 360º$

Sem usar a calculadora, indique o sinal (positivo ou negativo) de cada uma destas razões trigonométricas, justificando a que quadrante pertence cada ângulo:

• $\sin 130º$

• $\cos 200º$

• $\tan 320º$

• $\cos 95º$

• $\sin 350º$

• $\tan 140º$

Na figura, foi representado um ângulo $\alpha$ na circunferência trigonométrica, com as projeções do seu ponto $P$ sobre os eixos.

Observando a figura, indique o sinal de $\sin \alpha$, de $\cos \alpha$ e de $\tan \alpha$, justificando cada resposta a partir das coordenadas do ponto $P$.

O Marcos tem de calcular as razões trigonométricas do ângulo $\alpha = 120^\circ$. No seu caderno escreve a seguinte explicação: «Como ao lado terminal de $120^\circ$ faltam $30^\circ$ para chegar ao semieixo vertical positivo $Y$, o seu ângulo de referência é $30^\circ$. Portanto, $\sen 120^\circ = \sen 30^\circ = 0,5$ e $\cos 120^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$». Identifica o erro conceptual que o Marcos cometeu ao determinar o ângulo de referência, explica por que razão a definição exige tomar sempre como referência o eixo horizontal $X$ e escreve os valores corretos de $\sen 120^\circ$, $\cos 120^\circ$ e $\tg 120^\circ$.

Considera o ângulo orientado $\alpha = 310^\circ$ na circunferência goniométrica.

1. a) Sem realizares cálculos com a calculadora, estima de forma fundamentada em que quadrante se encontra o seu lado extremidade e que sinais terão a sua abcissa (cosseno), a sua ordenada (seno) e a sua tangente.
2. b) O lado extremidade de $310^\circ$ está a $50^\circ$ do semieixo positivo $X$ ($360^\circ - 310^\circ$) e a $40^\circ$ do semieixo negativo $Y$ ($310^\circ - 270^\circ$). A partir desta posição relativa na circunferência, estima qual dos dois valores absolutos deve ser maior: $|\sen 310^\circ|$ ou $|\cos 310^\circ|$.
3. c) Verifica a tua estimativa calculando o seu ângulo de referência agudo em relação ao eixo $X$ e deduzindo que cateto do triângulo retângulo associado tem maior comprimento.

Na figura, foi representado o ângulo de $135º$ na circunferência trigonométrica, junto com o seu triângulo de referência.

Sabendo que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\cos 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$, calcule o valor exato de $\sin 135º$ e de $\cos 135º$, considerando o quadrante em que está o ponto $P$.

Determine em que quadrante se encontra cada um dos ângulos $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ sabendo que:

• $\sin \alpha < 0$ e $\tan \alpha > 0$

• $\cos \beta > 0$ e $\sin \beta < 0$

• $\cos \gamma < 0$ e $\tan \gamma < 0$

Indique também o sinal da razão trigonométrica que falta em cada caso.

Uma roda-gigante gira no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Uma das suas cabines parte do ponto mais baixo e, após o percurso completo de um ciclo, rodou um total de $750º$.

• Quantas voltas completas deu a cabine?

• Que ângulo menor que $360º$ descreve a sua posição final em relação à de partida?

• Se a rotação tivesse sido de $1500º$, onde terminaria a cabine?

Um veleiro navega com rumo $220º$. Na náutica, o rumo é medido no sentido horário a partir do norte; na matemática, os ângulos são medidos no sentido anti-horário a partir do este (semieixo $X$ positivo).

• Exprime o rumo do veleiro como um ângulo matemático $\alpha$ entre $0º$ e $360º$.

• Indica em que quadrante o veleiro navega e o sinal de $\sin \alpha$ e de $\cos \alpha$.

Considere o ângulo $\alpha = 215º$.

• Indique em que quadrante se encontra o seu lado terminal.

• Determine o sinal de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ e $\tan \alpha$.

• Escreva $\alpha$ como $180º$ mais um ângulo agudo, e também como um ângulo negativo compreendido entre $-360º$ e $0º$.

Indique se cada uma destas afirmações é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta:

• Existe algum ângulo $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1,4$.

• Se $\sin \alpha > 0$, então $\alpha$ pertence ao primeiro quadrante.

• A tangente de $90º$ não existe.

• $\sin(-40º) = \sin 40º$.

O radar meteorológico do IPMA situado em Faro gira em sentido anti-horário emitindo um feixe de varrimento. A orientação mede-se como um ângulo goniométrico onde o Este corresponde ao semieixo positivo $X$ ($0^\circ$) e o Norte ao semieixo positivo $Y$ ($90^\circ$). Num determinado momento da monitorização, a antena regista uma rotação acumulada de $\alpha = -510^\circ$.

1. a) Reduz o ângulo $\alpha$ à primeira volta expressando-o como um número de voltas completas mais um ângulo positivo $\beta \in [0^\circ, 360^\circ)$.
2. b) Para que quadrante geográfico (Nordeste, Noroeste, Sudoeste ou Sudeste) está a apontar o feixe do radar nesse instante?
3. c) Se o radar localiza o núcleo de uma nuvem a uma distância normalizada de raio $1$, determina as coordenadas cartesianas $(x, y)$ do ponto sobre a circunferência goniométrica, expressando-as de forma exata através das razões trigonométricas do seu ângulo agudo de referência com o eixo $X$.

Na circunferência goniométrica (raio $1$, centro na origem), o lado terminal de um ângulo $\alpha$ interseta a circunferência num ponto $P(x, y)$ cuja abcissa é $x = -0,8$. Além disso, sabe-se que $\tg \alpha > 0$.

1. a) Determina fundamentadamente em que quadrante se encontra o ângulo $\alpha$ a partir dos sinais da sua abcissa e da sua tangente.
2. b) Utiliza a relação fundamental na circunferência goniométrica ($x^2 + y^2 = 1$) para deduzir o valor exato da ordenada $y$ (ou seja, $\sen \alpha$) e calcula o valor de $\tg \alpha$.
3. c) Sabendo que o ângulo agudo do primeiro quadrante cujo cosseno vale $0,8$ é aproximadamente $36,87^\circ$, calcula:

1. O valor do ângulo positivo $\alpha$ pertencente à primeira volta ($[0^\circ, 360^\circ)$).

2. Um ângulo $\beta$ negativo que tenha exatamente o mesmo lado terminal que $\alpha$ tendo completado uma volta inteira em sentido horário (compreendido entre $-720^\circ$ e $-360^\circ$).

Um aluno escreveu no seu caderno a seguinte resolução:

«$\cos 130º = \cos(180º - 50º) = \cos 50º \approx 0,64$»

Encontra o erro que ele cometeu, explica porque é um erro e calcula corretamente o valor de $\cos 130º$ com a calculadora, com quatro casas decimais.

Na figura, foram representados dois ângulos, $\alpha$ e $\beta$, da circunferência goniométrica cujos pontos do lado terminal estão à mesma altura.

• Que relação existe entre os ângulos $\alpha$ e $\beta$? Exprima-a com uma igualdade.

• Se $\sin \alpha = 0,42$ e $\alpha \approx 25º$, determine outro ângulo de $[0º, 360º)$ que tenha o mesmo seno.

• Que relação existe entre dois ângulos de $[0º, 360º)$ que têm o mesmo cosseno? Justifique a sua resposta com a circunferência goniométrica.

O ponto $P$ da figura pertence à circunferência trigonométrica, está no terceiro quadrante e verifica $\cos \alpha = -0,8$.

• Qual é o sinal de $\sin \alpha$? E o de $\tan \alpha$?

• Calcule o valor exato de $\sin \alpha$ utilizando a fórmula fundamental da trigonometria $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

• Calcule $\tan \alpha$.

• Seja $\beta = \alpha - 180º$. Indique em que quadrante está $\beta$ e calcule as suas três razões trigonométricas.

A partir da definição $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

• Determine todos os ângulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para os quais não existe $\tan \alpha$, justificando a resposta.

• Determine todos os ângulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para os quais $\tan \alpha = 0$.

• Escreva, usando um número inteiro $k$ qualquer, a expressão geral de todos os ângulos para os quais a tangente não existe.

Na aula é proposto encontrar todos os ângulos $\alpha$ da primeira volta ($0^\circ \le \alpha < 360^\circ$) que cumprem a condição $\sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. Dois alunos propõem métodos diferentes para o resolver:

• Sofia (Método goniométrico): Diz que, como $\cos \alpha = x$ e $\sen \alpha = y$ na circunferência goniométrica, a condição equivale a $y^2 = x^2$, ou seja, $|y| = |x|$. Portanto, os pontos procurados são as interseções da circunferência goniométrica com as bissetrizes dos quatro quadrantes ($y = x$ e $y = -x$).

• Mateus (Método algébrico): Propõe dividir ambos os membros por $\cos^2 \alpha$ para obter $\tg^2 \alpha = 1$, o que dá $\tg \alpha = 1$ ou $\tg \alpha = -1$.

1. a) Aplica o método da Sofia e identifica os quatro ângulos solução, justificando geometricamente a sua simetria em relação aos eixos e o seu ângulo de referência no primeiro quadrante.
2. b) Analisa o método do Mateus: que verificação matemática prévia é obrigatória antes de dividir toda a expressão por $\cos^2 \alpha$, e por que razão neste caso particular temos a certeza de não perder nenhuma solução?
3. c) Compara ambos os procedimentos e justifica qual dos dois proporciona maior compreensão geométrica sobre o comportamento dos sinais das razões trigonométricas nos quatro quadrantes.

O braço de um robô industrial de montagem tem um comprimento normalizado de $1$ metro com base fixa na origem $(0,0)$. A extremidade do braço orienta-se através de um ângulo $\theta$ medido em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio a partir do semieixo positivo $X$, situando-se num ponto $P(x, y)$ da circunferência trigonométrica. Para realizar uma soldadura no interior de uma peça, a extremidade deve ser colocada no terceiro quadrante de modo que a sua distância horizontal ao eixo vertical seja exatamente o dobro da sua distância vertical ao eixo horizontal ($|x| = 2 \cdot |y|$).

1. a) Formula a condição algébrica anterior juntamente com a equação da circunferência trigonométrica ($x^2 + y^2 = 1$) e obtém os valores exatos de $\cos \theta$, $\sen \theta$ e $\tg \theta$.
2. b) Sabendo que o ângulo agudo de referência com o eixo horizontal cumpre $\tg \theta_{\text{ref}} = 0,5$ (cujo valor aproximado é $26,57^\circ$), determina a medida do ângulo positivo $\theta \in [0^\circ, 360^\circ)$ que se deve programar no robô.
3. c) Devido a um erro de transmissão nos servomotores, o computador de controlo regista uma rotação total acumulada de $-1413,43^\circ$. Demonstra através da redução à primeira volta se o braço robótico ficou orientado exatamente na posição de trabalho necessária ou numa posição diferente.