Exercícios: Aplicações da trigonometria

Para um trabalho escolar de Geometria e Matemática, o Sérgio quer calcular a distância percorrida por um navio de investigação oceanográfica que navega pelo paralelo $60^\circ\text{ N}$ entre duas boias meteorológicas situadas a uma longitude de $10^\circ\text{ O}$ e $40^\circ\text{ O}$. O Sérgio faz o seguinte procedimento no seu caderno:

$$\Delta = 40^\circ - 10^\circ = 30^\circ = 30\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}\text{ rad}$$ $$\text{Distância} = 6371\cdot\frac{\pi}{6} \approx 3335,82\text{ km}$$

1. a) Explica fundamentadamente qual é o erro concetual que o Sérgio cometeu e sobre que circunferência da Terra seria válido o seu resultado numérico.
2. b) Corrige a sua resolução indicando a fórmula completa que deveria ter utilizado e calcula a distância real percorrida pelo navio (adota $R = 6371\text{ km}$ e utiliza o valor exato $\cos 60^\circ = 0,5$).

O equador terrestre tem um perímetro aproximado de $40\,030\text{ km}$ ($2\pi R$, com $R \approx 6371\text{ km}$). Uma equipa de cartografia precisa de identificar em que paralelo do hemisfério norte o raio da circunferência do paralelo mede exatamente metade do raio da Terra ($r = \frac{R}{2}$).

1. a) Propõe uma equação trigonométrica que relacione a latitude $\alpha$ com esta condição geométrica a partir da fórmula $r = R\cdot\cos\alpha$, simplificando o raio $R$.
2. b) Sem recorrer à calculadora, deduz fundamentadamente a que latitude exata $\alpha$ ocorre isto, relembrando os valores das razões trigonométricas dos ângulos notáveis ($30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$).
3. c) Que relação existe entre o comprimento total deste paralelo e o perímetro do equador? Justifica a tua resposta sem necessidade de calcular os quilómetros exatos.

Para um projeto escolar, é necessário calcular quanto mede o paralelo de latitude $40^\circ$ N. Sabendo que o raio terrestre é $R \approx 6\,371$ km, calcule:

1. a) O raio do círculo que forma esse paralelo (utilize a expressão $r = R \cdot \cos(\text{latitud})$ e justifique-a a partir do triângulo retângulo da figura).
2. b) O comprimento total (perímetro) desse paralelo.

A cidade de Lisboa situa-se aproximadamente a uma latitude de $\alpha = 40^\circ\text{ N}$. Devido à rotação terrestre, qualquer pessoa que se encontre em Lisboa descreve uma circunferência completa correspondente ao seu paralelo a cada $24\text{ horas}$. Considera-se o raio médio da Terra como $R = 6371\text{ km}$.

1. a) Antes de operares com a calculadora: sabendo que no equador (onde o perímetro terrestre ronda os $40\,000\text{ km}$) a velocidade linear é de cerca de $1670\text{ km/h}$, e relembrando que $\cos 45^\circ \approx 0,71$, estima de forma qualitativa se a velocidade linear de rotação em Lisboa será superior ou inferior a $1150\text{ km/h}$. Explica o raciocínio da tua estimativa.
2. b) Calcula com precisão o raio $r$ do paralelo de Lisboa, o comprimento do referido paralelo e a velocidade linear real em $\text{km/h}$ com que a cidade se desloca pelo espaço (utiliza $\cos 40^\circ \approx 0,766$).
3. c) Verifica se o valor obtido confirma a tua estimativa inicial e interpreta o que aconteceria a essa velocidade linear se nos deslocássemos em direção ao Polo Norte ($90^\circ\text{ N}$).

Duas cidades, A e B, encontram-se no mesmo paralelo a uma latitude de $45^\circ \text{ N}$. A cidade A tem uma longitude de $20^\circ \text{ E}$ e a cidade B uma longitude de $70^\circ \text{ E}$.

Sabendo que o raio da Terra é de aproximadamente $6371 \text{ km}$:

1. Calcule o raio do paralelo $45^\circ \text{ N}$ (Lembre-se de que o raio de um paralelo a uma latitude $\alpha$ é calculado como $r = R \cdot \cos \alpha$; para $45^\circ$ utilize o valor exato $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$).

2. Determine a distância em quilómetros que separa ambas as cidades seguindo o arco do paralelo.

Na costa da Comunidade Valenciana, Castellón de la Plana situa-se sobre o meridiano de Greenwich ($0^\circ$) e a uma latitude de $40^\circ\text{ N}$. Nas Ilhas Baleares, o extremo oeste de Menorca encontra-se praticamente sobre esse mesmo paralelo ($40^\circ\text{ N}$) e a uma longitude de $3,8^\circ\text{ E}$. Paralelamente, uma patrulha marítima no arquipélago das Canárias realiza uma vigilância entre dois pontos que também diferem em $3,8^\circ$ de longitude, mas situados sobre o paralelo $28^\circ\text{ N}$. Considera o raio da Terra $R = 6371\text{ km}$.

1. a) Modela a fórmula geral que permite calcular a distância sobre um paralelo em quilómetros a partir do raio terrestre $R$, da latitude $\alpha$ e da diferença de longitude em graus $\Delta^\circ$.
2. b) Calcula a distância em quilómetros do trajeto Castellón–Menorca navegando sobre o paralelo $40^\circ\text{ N}$ (usa $\cos 40^\circ \approx 0,7660$).
3. c) Calcula a distância percorrida pela patrulha nas Canárias navegando sobre o paralelo $28^\circ\text{ N}$ (usa $\cos 28^\circ \approx 0,8829$).
4. d) Apesar de ambas as rotas abrangerem o mesmo ângulo de longitude ($3,8^\circ$), as distâncias sobre o mar não são iguais. Justifica matematicamente esta discrepância a partir do comportamento da função $\cos\alpha$ entre $0^\circ$ e $90^\circ$ e analisa que implicação isto tem na navegação marítima e aérea.

Duas bases de investigação polar estão instaladas sobre o paralelo $75^\circ\text{ N}$ em pontos diametralmente opostos: a base Alfa à longitude $0^\circ$ (meridiano de Greenwich) e a base Beta à longitude $180^\circ$. Para transportar mantimentos entre ambas, uma equipa de aviação deve escolher entre duas rotas de voo possíveis sobre a superfície terrestre (adota $R = 6371\text{ km}$):

• Rota 1 (Rota pelo paralelo): Voar seguindo a circunferência do paralelo $75^\circ\text{ N}$ desde Alfa até Beta (meio paralelo).

• Rota 2 (Rota polar): Voar para norte pelo meridiano de Greenwich até ao Polo Norte ($90^\circ\text{ N}$) e continuar a descer pelo meridiano $180^\circ$ até chegar a Beta.

1. a) Modela matematicamente o comprimento da Rota 1 usando o raio do paralelo $r = R\cdot\cos(75^\circ)$ e calcula a sua distância em quilómetros (utiliza $\cos 75^\circ \approx 0,2588$).
2. b) Modela matematicamente o comprimento da Rota 2 tendo em conta que os meridianos formam circunferências máximas de raio $R$. Deduz quantos graus de arco de meridiano são percorridos no total e calcula a distância em quilómetros.
3. c) Compara ambos os resultados: qual é a rota mais curta e quantos quilómetros se poupam? Justifica a partir deste cálculo por que razão muitas rotas comerciais intercontinentais do hemisfério norte voam perto do polo em vez de manterem uma latitude fixa.

Desafio do tema. Como afeta o vento o voo de um drone de salvamento? Vais analisar as condições do teu meio envolvente através de dados oficiais do IPMA.

Fase 1. Entra no site do IPMA e recolhe o rumo $r$ (medido a partir do norte no sentido dos ponteiros do relógio) e a velocidade do vento ($v$ em km/h) da tua estação mais próxima em três momentos do dia. Converte cada rumo no ângulo orientado $\alpha = 90^\circ - r$ (soma $360^\circ$ se der negativo), de modo que $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ seja medido a partir do este no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

Fase 2. No GeoGebra ou no teu caderno, posiciona cada ângulo na circunferência goniométrica. Reduz cada ângulo ao primeiro quadrante, deduz os sinais de $\sin\alpha$ e $\cos\alpha$ consoante o quadrante e verifica numericamente a identidade fundamental $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ com duas casas decimais (ex. $0,99 \approx 1$).

Fase 3. Decompõe trigonometricamente a velocidade do vento nos seus eixos este-oeste ($v_x = v \cdot \cos\alpha$) e norte-sul ($v_y = v \cdot \sin\alpha$).

Fase 4. Entrega um relatório breve (uma página) com a tabela de dados, as representações goniométricas e uma conclusão fundamentada sobre qual das três horas oferece menor desvio lateral para uma trajetória fixa norte-sul.

Será valorizado:

• Rigor na redução ao primeiro quadrante e justificação geométrica dos sinais.

• Aplicação correta da identidade fundamental e das razões trigonométricas com dados reais.

• Clareza do relatório, precisão nos cálculos e pertinência da recomendação final.