Exercícios: Triângulos semelhantes

Dois triângulos têm, respetivamente, os seguintes ângulos: o primeiro tem um ângulo de $45^\circ$ e outro de $60^\circ$; o segundo tem um ângulo de $60^\circ$ e outro de $75^\circ$. Determine se ambos os triângulos são semelhantes, justificando a sua resposta com base nos critérios de semelhança.

Os lados de um triângulo medem $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ e $9\text{ cm}$. Sabendo que um segundo triângulo é semelhante a este e que o seu lado menor mede $15\text{ cm}$, calcule o comprimento dos outros dois lados do segundo triângulo.

Num triângulo $ABC$, traça-se um segmento $DE$ paralelo à base $BC$, de modo que o ponto $D$ pertença ao lado $AB$ e o ponto $E$ ao lado $AC$. Sabendo que $AD = 4\text{ cm}$, $DB = 6\text{ cm}$ e $DE = 5\text{ cm}$, aplique o teorema de Tales no triângulo para calcular o comprimento da base $BC$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos (projeções) que medem $4\text{ cm}$ e $9\text{ cm}$. Aplique o teorema da altura para calcular o comprimento dessa altura $h$.

Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede $10\text{ cm}$ e a projeção de um dos catetos sobre ela mede $3,6\text{ cm}$. Aplique o teorema do cateto para encontrar o comprimento desse cateto.

A razão de semelhança entre dois polígonos semelhantes é $k = 2,5$. Se a área do polígono menor é de $12\text{ cm}^2$, qual é a área do polígono maior?

Determine se os triângulos $ABC$ e $DEF$ são semelhantes, sabendo que os seus lados medem $AB = 12\text{ cm}$, $BC = 16\text{ cm}$, $CA = 20\text{ cm}$ e $DE = 9\text{ cm}$, $EF = 12\text{ cm}$, $FD = 15\text{ cm}$. Em caso afirmativo, indique qual é o critério utilizado e a razão de semelhança.

O Marcos tem de determinar se dois triângulos, $\triangle ABC$ e $\triangle DEF$, são semelhantes. No triângulo $\triangle ABC$, os lados medem $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 9\text{ cm}$ e o ângulo $\hat{B} = 40^\circ$. No triângulo $\triangle DEF$, os lados medem $DE = 4\text{ cm}$, $DF = 6\text{ cm}$ e o ângulo $\hat{E} = 40^\circ$. O Marcos afirma: «Como $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{AC}{DF} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{6} = 1,5$, os lados são proporcionais, e como ambos têm um ângulo de $40^\circ$, são semelhantes pelo critério LAL». Identifica e explica detalhadamente o erro conceptual que o Marcos comete ao aplicar o critério LAL e indica que dado angular exato precisarias de conhecer em ambos os triângulos para poderes garantir com certeza a sua semelhança.

Pretende-se desenhar um triângulo $\triangle A'B'C'$ semelhante a um triângulo retângulo $\triangle ABC$ cujos catetos medem $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$. A condição fixada é que a área do novo triângulo $\triangle A'B'C'$ deve ser exatamente de $96\text{ cm}^2$. Calcula primeiro a área do triângulo $\triangle ABC$ original e deduz fundamentadamente a razão de semelhança $k$ entre ambos. A partir dessa razão, determina o comprimento exato dos três lados de $\triangle A'B'C'$ e verifica que a relação entre os seus perímetros coincide também com $k$.

Para calcular a altura de um edifício, um estudante coloca um espelho plano no chão a $12\text{ m}$ da base do edifício. Ao recuar $1,5\text{ m}$ a partir do espelho, o estudante (cujos olhos estão a $1,6\text{ m}$ do chão) consegue ver exatamente a parte mais alta do edifício refletida nele. Sabendo que os ângulos de incidência e reflexão no espelho formam triângulos retângulos semelhantes, calcule a altura do edifício.

Na figura seguinte, os segmentos $DE$ e $BC$ são paralelos. Os comprimentos são dados por expressões algébricas: $AD = x$, $DB = 2\text{ cm}$, $AE = x + 2$ e $EC = 3\text{ cm}$. Aplique o teorema de Tales para escrever uma equação e calcular o valor numérico de $x$.

Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa mede $6\text{ cm}$ e a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa é de $4,5\text{ cm}$. Aplique os teoremas de semelhança em triângulos retângulos para calcular o perímetro e a área do triângulo completo.

Duas empresas fabricam velas triangulares semelhantes para barcos de competição. O perímetro da vela pequena é de $12\text{ m}$ e o da vela grande é de $18\text{ m}$. Se a área da vela pequena é de $6\text{ m}^2$, qual é a área da vela grande?

Uma câmara escura (ou câmara de orifício) tem uma profundidade de $15\text{ cm}$. Situa-se em frente a um edifício que está a $30\text{ m}$ de distância do orifício da câmara. Se a imagem invertida do edifício projetada no fundo da câmara tem uma altura de $12\text{ cm}$, qual é a altura real do edifício?

Para medir a largura de um rio de margens paralelas, um topógrafo situa-se num ponto $A$ de uma margem, exatamente em frente a uma árvore $B$ na margem oposta. Caminha $15\text{ m}$ pela margem até um ponto $C$ e finca uma estaca. Depois caminha mais $3\text{ m}$ até ao ponto $D$, vira $90^\circ$ afastando-se do rio e caminha $4\text{ m}$ até um ponto $E$, a partir do qual vê alinhadas a estaca $C$ e a árvore $B$. Calcule a largura $x$ do rio.

Uma pirâmide de base quadrada tem uma altura de $12\text{ cm}$ e o lado da sua base mede $8\text{ cm}$. Corta-se a pirâmide por um plano paralelo à base, situado a $3\text{ cm}$ do vértice. Calcule a área da secção obtida e o volume da pirâmide pequena (a pirâmide superior).

Numa visita cultural à Praça do Comércio, em Lisboa, um grupo de estudantes decide calcular a altura da fachada da Câmara Municipal aproveitando um dia limpo através da projeção de sombras. Uma estudante com $1,68\text{ m}$ de altura projeta nesse instante uma sombra sobre o solo horizontal de $1,20\text{ m}$, enquanto a sombra do edifício mede $25\text{ m}$. Antes de fazeres cálculos exatos, estima de forma justificada se a altura do edifício será maior ou menor do que os $25\text{ m}$ da sua sombra e propõe um intervalo mental aproximado para essa altura. Em seguida, demonstra que critério geométrico garante a semelhança dos triângulos formados, calcula a altura real do edifício com duas casas decimais e verifica se a tua estimativa inicial estava correta.

Durante um percurso no Parque Natural do Douro Internacional (Miranda do Douro), uns técnicos ambientais precisam de saber a largura do rio entre um salgueiro situado no ponto $A$ (na margem oposta) e uma baliza cravada no ponto $B$ (na sua margem, mesmo em frente a $A$). Para a medir sem atravessar a água, traçam uma linha reta pela sua margem perpendicular ao segmento $AB$ e cravam duas estacas: uma no ponto $C$, a $24\text{ m}$ de $B$, e outra no ponto $D$, a $6\text{ m}$ de $C$ na mesma linha ($B$, $C$ e $D$ ficam alinhados). A partir de $D$, caminham em direção perpendicular à margem afastando-se do rio até a um ponto $E$ a partir do qual os pontos $C$ e $A$ se veem perfeitamente alinhados. A distância medida de $D$ a $E$ é de $4,5\text{ m}$. Modela a situação identificando os dois triângulos retângulos, demonstra que critério garante que são semelhantes, calcula a largura do rio entre $A$ e $B$, e determina entre que valores oscilaria essa largura se a medida de $DE$ tivesse uma margem de erro de $\pm 0,3\text{ m}$.

Num triângulo retângulo de catetos $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$, inscreve-se um quadrado de lado $x$ de tal forma que um dos vértices do quadrado coincide com o vértice do ângulo reto do triângulo, e o vértice oposto está sobre a hipotenusa. Calcule o valor exato do lado do quadrado $x$.

Dois postes verticais de alturas $4\text{ m}$ e $6\text{ m}$ estão situados sobre um solo horizontal, separados por uma distância de $10\text{ m}$. Estende-se um cabo reto a partir da parte superior de cada poste até à base do outro. Calcule a que altura $h$ do solo se cruzam ambos os cabos. Demonstre se este resultado depende ou não da distância que separa os postes.

Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos (projeções) tais que um é $5\text{ cm}$ mais longo que o outro. Se a altura mede $6\text{ cm}$, determine analiticamente o comprimento dos dois segmentos e calcule o perímetro exato do triângulo original.

Um reservatório de água tem a forma de um cone invertido (com o vértice para baixo), com um raio na base superior de $3\text{ m}$ e uma profundidade total de $4\text{ m}$. Se o reservatório contém água até uma altura de $2\text{ m}$, utiliza a relação entre os volumes de sólidos semelhantes para calcular o volume de água que contém e o volume vazio restante.

Tem-se um trapézio isósceles cujas bases medem $15\text{ cm}$ e $25\text{ cm}$, e a sua altura é de $12\text{ cm}$. Prolongam-se os lados não paralelos até se intersetarem num ponto, formando um triângulo na parte superior. Calcula a altura $x$ desse triângulo superior e a área total do grande triângulo formado.

A diagonal de um retângulo mede $20\text{ cm}$. Se traçarmos a perpendicular de um dos vértices à diagonal, esta fica dividida em dois segmentos. Se um dos segmentos mede $7,2\text{ cm}$, determina a área total do retângulo aplicando os teoremas do cateto e da altura.

Numa esfera de raio $R = 15\text{ cm}$ inscreve-se um cone reto cuja geratriz mede $g = 24\text{ cm}$. Considere o triângulo retângulo formado pelo diâmetro da esfera e pela geratriz do cone para aplicar os teoremas de semelhança. Calcule o raio da base do cone e a sua altura.

Num triângulo $\triangle ABC$, os comprimentos dos lados são $AB = 18\text{ cm}$ e $AC = 24\text{ cm}$. Marcam-se dois pontos: $D$ sobre o lado $AB$ a $6\text{ cm}$ de $A$, e $E$ sobre o lado $AC$ a $8\text{ cm}$ de $A$. Pretende-se demonstrar se o segmento $DE$ é paralelo ao lado $BC$ e determinar que fração do lado $BC$ mede $DE$. Para resolver este problema propõem-se duas estratégias: o Afonso sugere verificar se $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ aplicando o recíproco do Teorema de Tales; a Leonor sugere comparar diretamente os triângulos $\triangle ADE$ e $\triangle ABC$ mediante o critério LAL partilhando o ângulo $\hat{A}$. Desenvolve por completo ambos os métodos com as respetivas justificações e analisa criticamente qual das duas estratégias é mais completa para responder a ambas as perguntas, explicando a limitação do método de Tales no que diz respeito à razão entre as bases.

Uma associação de regantes de Évora gere uma parcela triangular $\triangle ABC$, cuja base $BC$ mede $160\text{ m}$ e cuja altura perpendicular desde o vértice $A$ até essa base mede $100\text{ m}$. É necessário traçar uma vala de rega reta $MN$ paralela à base $BC$ ($M$ no lado $AB$ e $N$ no lado $AC$) que divida o terreno em duas partes de superfícies exatamente iguais: um triângulo superior $\triangle AMN$ e um trapézio inferior $MNCB$. Justifica que critério garante que $\triangle AMN$ é semelhante a $\triangle ABC$, deduz a razão de semelhança $k$ exata (em forma de radical simplificado e com três casas decimais) que faz com que as áreas se dividam a $50\,\%$, calcula o comprimento da vala $MN$ e a distância a que deve ser traçada a partir do vértice $A$. Por fim, rebate matematicamente a proposta intuitiva de um agricultor que sugere escavar a vala exatamente a metade da altura ($50\text{ m}$), calculando que percentagem real da área total ficaria no triângulo superior se a sua proposta fosse seguida.