Exercícios: Triângulos retângulos

Num telhado de duas águas que forma um ângulo reto no seu vértice superior, a altura relativa a esse vértice divide a base (hipotenusa) em dois segmentos de $2\text{ m}$ e $8\text{ m}$. Aplique o teorema da altura para calcular a altura máxima do telhado.

Uma rampa de skate tem um perfil de triângulo retângulo apoiado sobre a sua hipotenusa. A base horizontal (hipotenusa) mede $10\text{ m}$ e a projeção do troço de subida sobre a base é de $3,6\text{ m}$. Utilize o teorema do cateto para calcular o comprimento do troço de subida.

Um carpinteiro corta duas cunhas de madeira em forma de triângulo retângulo. A primeira tem catetos de $15\text{ cm}$ e $20\text{ cm}$. A segunda tem uma hipotenusa de $50\text{ cm}$ e um cateto de $30\text{ cm}$. Verifique matematicamente se ambas as cunhas são semelhantes.

As duas cordas principais que seguram o mastro central de uma tenda desde a parte superior até ao chão formam um ângulo reto entre si. O mastro mede $4\text{ m}$ de altura e uma das cordas é fixada a $3,2\text{ m}$ da base do mastro. A que distância da base se fixa a outra corda?

Numa estrutura metálica com forma de triângulo retângulo, um pilar vertical (altura relativa à hipotenusa) divide a viga inferior (hipotenusa) em duas partes. Se um lado inclinado (cateto) mede $5\text{ m}$ e a viga inferior total mede $10\text{ m}$, quanto mede a projeção desse lado sobre a viga inferior?

Duas placas de trânsito em forma de triângulo retângulo são semelhantes. O cateto menor da placa pequena mede $30\text{ cm}$ e a sua área é de $600\text{ cm}^2$. Se o cateto menor da placa grande mede $60\text{ cm}$, qual é a área da placa grande?

Numa aula de desenho técnico, um aluno traça um triângulo retângulo com uma hipotenusa de $13\text{ cm}$ e catetos de $5\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$. Em seguida, traça a altura relativa à hipotenusa. Utiliza o teorema do cateto para calcular quanto medem as duas projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

O Lucas está a resolver um problema sobre uma rampa com secção de triângulo retângulo apoiada sobre a sua hipotenusa no chão de um armazém. O enunciado indica que a hipotenusa total mede $25\text{ m}$ e que a projeção de um dos catetos sobre essa hipotenusa mede $9\text{ m}$. Para calcular a altura $h$ da rampa em relação ao chão, o Lucas aplica diretamente o teorema da altura e escreve no seu exame:

«$h^2 = m \cdot n \implies h^2 = 25 \cdot 9 = 225 \implies h = \sqrt{225} = 15\text{ m}$».

Explica com clareza que erro conceptual o Lucas cometeu ao interpretar os dados do enunciado, escreve a relação correta que deveria ter aplicado e calcula a verdadeira altura $h$ da rampa.

No pátio da tua escola queres medir a altura da tabela de basquetebol usando o método do espelho (baseado no facto de o ângulo de incidência e o de reflexão da luz serem idênticos, gerando triângulos retângulos semelhantes). Colocas um espelho plano horizontal no chão a $2,25\text{ m}$ da base do poste da tabela. Caminhas para trás em linha reta e colocas-te a $1,20\text{ m}$ do espelho, ponto no qual vês refletido com precisão o cesto. Os teus olhos encontram-se a $1,60\text{ m}$ do chão.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo algébrico, observa a relação entre a distância do espelho à tabela ($2,25\text{ m}$) e a distância do espelho a ti ($1,20\text{ m}$). Estima se a altura da tabela será maior, menor ou igual ao dobro da tua altura de visão ($3,20\text{ m}$), justificando a tua estimativa intuitiva.
2. b) Formula a proporção formal de semelhança entre os dois triângulos retângulos, calcula o valor exato da altura da tabela e avalia se o resultado obtido confirma a tua estimativa prévia e se é coerente com as medidas reais de uma tabela de basquetebol regulamentar.

A fachada de um edifício moderno tem um janelão em forma de triângulo retângulo apoiado sobre a sua hipotenusa. A altura do janelão em relação à base é de $4,8\text{ m}$ e a projeção do lado menor sobre a base é de $3,6\text{ m}$. Calcule o comprimento dos dois catetos e da hipotenusa.

Para medir a altura de um aerogerador, uma engenheira coloca um espelho plano no solo a $12\text{ m}$ da base da torre. Ela recua $1,5\text{ m}$ a partir do espelho até ver o ponto mais alto do aerogerador refletido exatamente no centro do espelho. Se os olhos da engenheira estão a $1,6\text{ m}$ do solo, calcule a altura do aerogerador.

Um terreno agrícola tem a forma de um triângulo retângulo. A projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa é $4\text{ dam}$ maior do que a projeção do outro cateto. Se a altura relativa à hipotenusa mede $4,8\text{ dam}$, elabore uma equação do segundo grau e calcule o comprimento total da hipotenusa.

Numa mesa de snooker, uma bola deve atingir a tabela e rebater para uma caçapa, formando dois triângulos retângulos semelhantes. A bola está a $20\text{ cm}$ da tabela e a caçapa a $60\text{ cm}$ da mesma tabela. Se a distância horizontal paralela à tabela entre a bola e a caçapa é de $100\text{ cm}$, a que distância horizontal da posição inicial da bola deve ocorrer o impacto na tabela?

Numa peça de joalharia, inscreve-se um quadrado de lado $x$ dentro de um triângulo retângulo de catetos $6\text{ mm}$ e $8\text{ mm}$, de modo a que o vértice do ângulo reto do triângulo coincida com um vértice do quadrado e o vértice oposto do quadrado assente sobre a hipotenusa. Calcule o valor de $x$ utilizando a semelhança de triângulos.

O design de uma vela de windsurf tem a forma de um triângulo retângulo. Sabe-se que a borda inferior (hipotenusa) mede $5\text{ m}$ e que a borda de fuga (um dos catetos) mede $1,2\text{ m}$ a mais do que a sua projeção sobre a hipotenusa. Determine os dois possíveis comprimentos da borda de fuga utilizando o teorema do cateto.

Num museu, um quadro retangular é emoldurado por um triângulo retângulo apoiado sobre a sua hipotenusa, de modo que a altura referente à hipotenusa coincide com um dos lados do quadro. Se as projeções dos catetos sobre a base medem $16\text{ cm}$ e $9\text{ cm}$, e o quadro ocupa exatamente o retângulo formado pela altura e pela projeção menor, qual é a área do quadro?

Uma oficina de carpintaria precisa de desenhar um esquadro de madeira com a forma de um triângulo retângulo apoiado sobre a sua hipotenusa. As especificações de fabrico impõem duas condições: a altura relativa à hipotenusa deve medir exatamente $12\text{ cm}$ e a projeção do cateto maior sobre a hipotenusa deve medir mais $7\text{ cm}$ do que a projeção do cateto menor.

1. a) Formula uma equação quadrática a partir do teorema da altura ($h^2 = m \cdot n$) que permita deduzir o valor de cada uma das duas projeções sobre a hipotenusa.
2. b) Resolve a equação e obtém o comprimento total da hipotenusa.
3. c) Aplica o teorema do cateto para calcular o comprimento exato de ambos os catetos e verifica, através do teorema de Pitágoras global, que o triângulo obtido é efetivamente retângulo.

Num local do Parque Nacional da Peneda-Gerês (Viana do Castelo), um grupo de guardas florestais precisa de estimar a largura de uma ravina inacessível pela qual corre um rio torrencial. Na margem oposta há uma baliza vertical $R$ fixada na rocha. Para aplicar o método da mira a partir da sua margem acessível, fazem as seguintes marcações em linha reta ao longo da margem:

• Cravam uma mira $A$ mesmo em frente à baliza $R$, de modo que a linha de visão $RA$ seja perpendicular à margem.

• Caminham $15\text{ m}$ ao longo da margem e cravam uma mira $B$.

• Continuam a caminhar mais $5\text{ m}$ na mesma direção e marcam o ponto $C$.

• A partir de $C$, deslocam-se terra adentro perpendicularmente à margem até encontrar um ponto $D$ a partir do qual a mira $B$ e a baliza $R$ fiquem perfeitamente alinhadas. Medem a distância percorrida: $CD = 8\text{ m}$.

1. a) Demonstra formalmente que critério garante que os triângulos retângulos $\triangle RAB$ e $\triangle DCB$ são semelhantes.
2. b) Traduz a situação numa proporção geométrica e calcula a largura da ravina ($RA$).
3. c) Se por falta de espaço na margem tivessem colocado a mira $B$ a $10\text{ m}$ de $A$ e a outros $10\text{ m}$ de $C$, quantos metros teriam tido de avançar para o interior a partir de $C$ para alinhar a linha de visão? Explica que vantagem técnica ou de precisão traz escolher distâncias diferentes em vez de iguais.

Num estudo de estática, dois postes verticais de alturas $a = 120\text{ cm}$ e $b = 80\text{ cm}$ estão separados por uma distância $d$. A partir da base de cada poste, estica-se um cabo tenso até ao topo do outro poste. Os cabos cruzam-se a uma altura $h$. Demonstre por semelhança de triângulos que a altura $h$ a que se cruzam não depende da distância $d$ e calcule o seu valor.

Uma folha de papel retangular de $8\text{ cm}$ de largura e $15\text{ cm}$ de comprimento é dobrada de modo a que dois vértices opostos coincidam. A dobra formada é uma linha reta. Calcule o comprimento dessa dobra com base na semelhança de triângulos retângulos que se formam.

Uma ponte estaiada tem um pilar principal que forma um ângulo reto com os dois estais mais longos. O comprimento total do tabuleiro entre as ancoragens destes estais (hipotenusa) é de $125\text{ m}$. Se um dos estais mede $25\text{ m}$ a mais do que o outro, determine a altura do pilar principal (altura sobre a hipotenusa).

Um designer industrial cria uma peça plana em forma de triângulo retângulo cujos catetos medem $15\text{ cm}$ e $20\text{ cm}$. Para reforçar a peça, coloca uma haste reta perpendicular à hipotenusa que passa pelo vértice do ângulo reto (ou seja, a altura). Por sua vez, a partir do pé desta altura traça outra haste perpendicular ao cateto maior. Quanto mede esta última haste?

Um topógrafo quer calcular a largura de um rio. Para isso, posiciona-se numa margem e observa uma árvore na margem oposta. Caminha $30\text{ m}$ ao longo da margem (perpendicularmente à visada inicial) e coloca uma baliza. Depois caminha mais $6\text{ m}$ na mesma direção, vira $90^\circ$ afastando-se do rio e caminha $4\text{ m}$ até ver a baliza alinhada com a árvore. Qual é a largura do rio?

Demonstre que em qualquer triângulo retângulo, o inverso do quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual à soma dos inversos dos quadrados dos catetos ($\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$). Seguidamente, verifique esta relação calculando a altura de ambas as formas num triângulo de catetos $10\text{ cm}$ e $24\text{ cm}$.

Uma pirâmide reta de base quadrada é cortada por um plano paralelo à base a um terço da sua altura (medindo a partir do vértice). Se a área da secção transversal obtida é de $15\text{ cm}^2$, qual é o volume da pirâmide original se a sua altura total é de $18\text{ cm}$?

Num projeto arquitetónico, o perfil de um telhado é um triângulo retângulo apoiado sobre a sua hipotenusa. A altura traçada a partir do vértice do ângulo reto divide a hipotenusa em dois segmentos que estão na proporção $9:16$. Se a altura mede $6\text{ m}$, calcule o perímetro total do triângulo que forma o telhado.

Para calcular a altura relativa à hipotenusa ($h$) de um terreno triangular retângulo com hipotenusa $a = 50\text{ m}$ e cateto $b = 30\text{ m}$, dois topógrafos propõem métodos diferentes sem recorrer a razões trigonométricas:

• Método A (Marta): Primeiro aplica o teorema de Pitágoras para calcular o outro cateto $c$. De seguida, iguala duas expressões da área do triângulo (área $= \frac{a \cdot h}{2}$ e área $= \frac{b \cdot c}{2}$) para isolar diretamente $h = \frac{b \cdot c}{a}$.

• Método B (Sérgio): Aplica primeiro o teorema do cateto ($b^2 = n \cdot a$) para encontrar a projeção $n$. Depois calcula a outra projeção $m = a - n$ e, finalmente, aplica o teorema da altura ($h^2 = m \cdot n$) para isolar $h$.

1. a) Aplica ambos os métodos detalhando os passos numéricos e verifica que ambos conduzem exatamente à mesma altura.
2. b) Analisa as vantagens e desvantagens de cada método: compara o número de operações aritméticas, a necessidade de calcular raízes quadradas e o risco de arrastar erros se os dados fossem decimais não exatos. Qual dos dois métodos recomendarias por eficiência operacional? Justifica a tua escolha.
3. c) Demonstra que a fórmula da Marta ($h = \frac{b \cdot c}{a}$) não é uma casualidade numérica, mas sim uma consequência teórica necessária das relações de semelhança $b^2 = n \cdot a$, $c^2 = m \cdot a$ e $h^2 = m \cdot n$, combinando-as algebricamente.

Numa oficina de corte a laser deve perfurar-se uma abertura quadrada no interior de uma chapa com a forma de um triângulo retângulo cujos catetos medem $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$. A equipa de desenho pondera duas configurações possíveis para posicionar o quadrado:

• Configuração 1: O quadrado apoia-se no vértice do ângulo reto do triângulo, de modo que dois dos seus lados assentam sobre os catetos e o vértice oposto situa-se sobre a hipotenusa.

• Configuração 2: Um lado completo do quadrado assenta apoiado sobre a hipotenusa, e os seus outros dois vértices superiores tocam cada um num cateto diferente.

1. a) Na Configuração 1, identifica os triângulos retângulos semelhantes que ficam delimitados pelo quadrado dentro do triângulo principal e calcula o comprimento exato do lado desse quadrado ($x_1$).
2. b) Na Configuração 2, calcula primeiro a altura sobre a hipotenusa do triângulo original. Depois, através da semelhança entre o triângulo pequeno superior que coroa o quadrado e o triângulo original, formula a equação correspondente e calcula o comprimento exato do lado do quadrado ($x_2$).
3. c) Justifica matematicamente qual das duas configurações permite obter um orifício quadrado de maior superfície e determina a diferença percentual de área entre ambas.