Exercícios: Teorema de Pitágoras

Uma escada de bombeiros apoia-se na fachada de um edifício. A base da escada está a $3\text{ m}$ da parede e atinge uma altura de $4\text{ m}$ na fachada. Calcule o comprimento total da escada.

Um mastro de telecomunicações está preso por um cabo esticado do seu extremo superior a um ponto no solo. O cabo mede $13\text{ m}$ e o mastro tem uma altura de $12\text{ m}$. Determine a que distância da base do mastro o cabo está fixado no solo.

As dimensões de um ecrã de computador retangular são $32\text{ cm}$ de largura e $24\text{ cm}$ de altura. Calcule o comprimento da sua diagonal para saber o tamanho real do ecrã.

Uma praça tem a forma de um quadrado com um lado de $50\text{ m}$. Se decidires cruzá-la em linha reta de um canto ao canto oposto, que distância percorrerás?

Para construir um papagaio em forma de losango, cruzaram-se duas hastes de madeira que medem $60\text{ cm}$ e $80\text{ cm}$. Calcule o comprimento da borda exterior do papagaio (o lado do losango).

Um sinal de trânsito tem a forma de um triângulo isósceles. A sua base mede $60\text{ cm}$ e cada um dos dois lados iguais mede $50\text{ cm}$. Calcule a altura $h$ do sinal.

No projeto da cobertura de um armazém industrial, a estrutura principal forma um triângulo retângulo. A altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos de $4\text{ m}$ e $9\text{ m}$. Aplique o teorema da altura para calcular o comprimento dessa altura.

Num parque, um canteiro de flores tem a forma de um triângulo retângulo. A hipotenusa mede $25\text{ m}$ e a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa mede $9\text{ m}$. Utilize o teorema do cateto para calcular o comprimento desse cateto.

Para calcular o lado de um sinal de trânsito refletor com a forma de um losango cujas diagonais medem $16\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$, o Mário escreve no seu caderno o seguinte:

1. a) Identifica e explica detalhadamente que erro concetual cometeu o Mário ao aplicar o teorema de Pitágoras diretamente às medidas das diagonais.
2. b) Corrige o procedimento justificando que triângulo retângulo se deve considerar e calcula a medida real do lado do sinal.

Queres verificar se uma placa retangular de contraplacado conseguirá passar na diagonal pelo vão de uma porta da tua escola que mede $2{,}1\text{ m}$ de altura por $0{,}8\text{ m}$ de largura.

1. a) Sem realizares o cálculo da raiz quadrada, faz uma estimativa fundamentada: explica por que razão a diagonal do vão deve ser necessariamente maior do que $2{,}1\text{ m}$ e menor do que $2{,}9\text{ m}$, e propõe um valor aproximado com uma casa decimal justificando a tua dedução.
2. b) Calcula o comprimento exato da diagonal aplicando o teorema de Pitágoras (arredondando a duas casas decimais) e verifica se a tua estimativa prévia era coerente com os limites estabelecidos.

A secção transversal de um canal de rega tem a forma de um trapézio isósceles. A largura na parte superior é de $8\text{ m}$, a largura no fundo é de $2\text{ m}$ e a profundidade do canal é de $4\text{ m}$. Calcule o comprimento dos lados inclinados $x$ do canal.

Um mosaico decorativo é formado por ladrilhos em forma de hexágono regular de $10\text{ cm}$ de lado. Calcule o apótema de um destes ladrilhos.

Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo. O lado perpendicular às bases mede $12\text{ m}$, a base maior mede $30\text{ m}$ e a base menor mede $25\text{ m}$. Calcule o perímetro total do terreno.

Uma tubagem cilíndrica transporta água. O raio da tubagem é de $13\text{ cm}$ e a superfície da água forma uma corda horizontal de $24\text{ cm}$ de largura. Se o nível da água está abaixo do centro da tubagem, qual é a profundidade máxima da água $h$?

O telhado de uma casa tem a forma de um triângulo retângulo apoiado sobre a sua hipotenusa. A altura do telhado em relação à base horizontal é de $6\text{ m}$ e a projeção de uma das vertentes (cateto) sobre a base é de $8\text{ m}$. Calcule o comprimento da outra projeção e a medida dos dois lados inclinados do telhado.

Para transportar uma barra de metal rígida, dispõe-se de uma caixa em forma de paralelepípedo retângulo cujas dimensões são $80\text{ cm}$ de comprimento, $60\text{ cm}$ de largura e $50\text{ cm}$ de altura. Calcule o comprimento máximo que a barra pode ter para caber completamente fechada dentro da caixa.

Uma antena vertical está presa por dois cabos fixados no solo em lados opostos da base. Um cabo mede $15\text{ m}$ e está fixado a $9\text{ m}$ da base. O outro cabo está fixado a $16\text{ m}$ da base. Calcule a altura da antena e o comprimento do segundo cabo.

O perímetro de uma piscina em forma de losango é de $52\text{ m}$ e uma das suas diagonais mede $10\text{ m}$. Calcule o comprimento da outra diagonal e a área da superfície da piscina.

Num mapa topográfico do Instituto Geográfico do Exército (IGeoE) à escala $1:25\,000$, a distância em linha reta entre a estação da Torre e o abrigo do Planalto Superior é de $7{,}6\text{ cm}$. As curvas de nível indicam que a estação se encontra a uma altitude de $1860\text{ m}$ e o abrigo a $2260\text{ m}$.

1. a) Modela o perfil do terreno através de um triângulo retângulo, indicando o que representam os catetos e a hipotenusa na realidade física.
2. b) Calcula a distância geométrica real em linha reta que separa ambos os pontos ao longo da encosta, expressando o resultado em metros arredondados às unidades.
3. c) Se um caminheiro mantiver um ritmo médio constante de subida de $1{,}8\text{ km/h}$ ao longo dessa linha reta, calcula quantos minutos demorará a completar a subida.

O departamento de urbanismo de um município vai delimitar um canteiro ajardinado com a forma de um triângulo retângulo. Foi estabelecido como condição que o perímetro total do canteiro deve ser exatamente de $60\text{ m}$ e que a hipotenusa meça $26\text{ m}$.

1. a) Formula uma equação do segundo grau que permita determinar o comprimento dos catetos a partir dos dados fornecidos, definindo com clareza o que representa a incógnita $x$.
2. b) Resolve a equação formulada para determinar as dimensões exatas de ambos os catetos.
3. c) Justifica algebricamente se seria possível projetar outro canteiro com a forma de um triângulo retângulo com essa mesma hipotenusa de $26\text{ m}$ mas com um perímetro total de $68\text{ m}$.

A Grande Pirâmide de Gizé tem uma base quadrada. Suponhamos que o lado da sua base mede $230\text{ m}$ e que o comprimento de uma das suas arestas laterais (desde um vértice da base até ao topo) é de $219\text{ m}$. Calcule a altura $h$ da pirâmide.

Num jardim, quer-se delimitar uma zona com forma de triângulo retângulo. Sabe-se que os comprimentos dos seus três lados são três números inteiros pares consecutivos. Escreva a equação correspondente usando o teorema de Pitágoras e determine os comprimentos dos três lados.

Numa peça circular de madeira de $25\text{ cm}$ de raio, realizam-se dois cortes retos e paralelos. Um dos cortes tem um comprimento de $48\text{ cm}$ e o outro de $40\text{ cm}$. Se ambos os cortes são realizados em lados opostos do centro do círculo, calcule a distância perpendicular que separa os dois cortes.

Um quarto tem a forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões $5\text{ m}$ de comprimento, $4\text{ m}$ de largura e $3\text{ m}$ de altura. Uma aranha encontra-se num canto do teto e quer chegar ao canto oposto do chão, caminhando pelas paredes, pelo teto ou pelo chão. Se a aranha tomar o caminho mais curto possível, calcule essa distância. (Sugestão: imagina a planificação do quarto).

Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa mede $12\text{ cm}$ e um dos catetos mede $15\text{ cm}$. Utilizando os teoremas do cateto e da altura, ou o teorema de Pitágoras iterativamente, calcule o comprimento da hipotenusa $a$ e do outro cateto $c$.

Uma ponte tem uma estrutura lateral em forma de trapézio escaleno. As bases horizontais medem $40\text{ m}$ e $26\text{ m}$, e os lados oblíquos medem $13\text{ m}$ e $15\text{ m}$. Escrevendo um sistema de equações com o teorema de Pitágoras, calcule a altura do trapézio.

Um logótipo é formado por um triângulo isósceles inscrito numa circunferência. A base do triângulo mede $16\text{ cm}$ e a sua altura relativa à base mede $18\text{ cm}$. Calcule o raio da circunferência na qual o triângulo está inscrito.

Duas torres de $15\text{ m}$ e $20\text{ m}$ de altura estão separadas por uma distância horizontal desconhecida. Um pássaro voa em linha reta do topo da torre de $15\text{ m}$ até à base da torre de $20\text{ m}$, percorrendo exatamente $25\text{ m}$. Calcule a distância entre as bases das torres. Em seguida, se outro pássaro voar em linha reta do topo da torre de $20\text{ m}$ até à base da torre de $15\text{ m}$, que distância percorrerá?

Uma torre vertical de telecomunicações de $24\text{ m}$ de altura está fixada ao solo por meio de dois cabos esticados ancorados nos pontos $A$ e $B$, situados em lados opostos relativamente à base da torre $P$ e alinhados com ela. O cabo ancorado em $A$ mede $25\text{ m}$ e o ancorado em $B$ mede $30\text{ m}$. Pretende-se calcular a distância total no solo entre ambas as ancoragens, $d(A,B)$.

Dois alunos propõem métodos diferentes:

• O Hugo afirma: «Posso considerar diretamente o triângulo grande formado pelos dois cabos e a distância no solo, pelo que $d(A,B) = \sqrt{25^2 + 30^2}$».

• A Sofia afirma: «Esse método não é válido; é necessário aplicar Pitágoras a cada lado da torre separadamente e somar os catetos da base: $d(A,B) = \sqrt{25^2 - 24^2} + \sqrt{30^2 - 24^2}$».

1. a) Avalia a validade da proposta do Hugo explicando por que razão falha do ponto de vista das hipóteses geométricas do teorema de Pitágoras.
2. b) Desenvolve o método da Sofia para calcular a distância $d(A,B)$ exata e com uma casa decimal.
3. c) Imagina um caso hipotético diferente no qual os dois cabos formassem entre si um ângulo reto ($90^\circ$) no topo da torre. Nesse cenário, qual das duas estratégias seria mais direta para determinar $d(A,B)$? Justifica a tua resposta comparando ambos os caminhos.

Um transporte especial de mercadorias deve atravessar um túnel de montanha de sentido único cuja secção transversal é um semicírculo perfeito de raio $R = 5\text{ m}$. A faixa de rodagem ocupa o diâmetro horizontal do semicírculo. O veículo transporta um contentor de secção transversal retangular de $3{,}6\text{ m}$ de largura total. A regulamentação de segurança exige que o veículo circule centrado na faixa de rodagem e que se mantenha uma margem de segurança vertical de pelo menos $0{,}4\text{ m}$ entre o canto superior do contentor e a abóbada do túnel.

1. a) Modela a secção do túnel através de um sistema geométrico, identificando o triângulo retângulo que relaciona o raio do túnel, a semilargura do contentor e a cota máxima do teto sobre o seu canto.
2. b) Aplica o teorema de Pitágoras para deduzir a altura máxima total que o contentor pode ter para circular legalmente pelo túnel centrado, arredondando às centésimas.
3. c) Devido a obras na faixa de rodagem, o camião é desviado para a direita, de modo que a lateral direita do contentor fica a apenas $0{,}5\text{ m}$ do bordo exterior da faixa de rodagem do túnel. Raciocina geometricamente se a altura admissível irá aumentar ou diminuir em relação ao caso centrado e calcula analiticamente a nova altura máxima permitida.