Exercícios: Razões e proporções

Calcule o valor da razão de cada par de quantidades e interprete o resultado:

1. a) $3\ \text{kg}$ de cerejas custam $10,50\ \text{€}$.

1. b) Uma ciclista de gravel percorre $95\ \text{km}$ em $4\ \text{h}$.

1. c) Uma garrafa contém $2\ \text{L}$ e um galão, $25\ \text{L}$.

Verifique, calculando o produto dos extremos e o produto dos meios, se os seguintes pares de razões formam uma proporção:

1. a) $\frac{6}{4}$ e $\frac{15}{10}$

1. b) $\frac{5}{8}$ e $\frac{7}{12}$

1. c) $\frac{2,5}{4}$ e $\frac{5}{8}$

Determine a quarta proporcional em cada caso:

1. a) $\frac{x}{4} = \frac{9}{12}$

1. b) $\frac{5}{x} = \frac{15}{21}$

1. c) $\frac{8}{6} = \frac{20}{x}$

Duas hastes metálicas medem $8\ \text{dm}$ e $12\ \text{dm}$.

1. a) Calcule a razão entre o comprimento da primeira e o da segunda, e simplifique-a.

1. b) Calcule a razão entre a segunda e a primeira.

1. c) Como são entre si as duas razões obtidas? Isso ocorre sempre?

Com os números $3$, $6$, $4$ e $8$, forme:

1. a) Uma proporção em que $3$ e $8$ sejam os extremos.

1. b) Uma proporção em que $3$ e $8$ sejam os meios.

1. c) Verifique em ambas que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Um mapa rodoviário está desenhado à escala $1 : 300\,000$.

1. a) Explique o significado desta razão.

1. b) Que distância real representam $5\ \text{cm}$ do mapa?

1. c) Duas cidades distam $21\ \text{km}$ na realidade. A que distância estão no mapa?

A Beatriz e o seu irmão preparam um refresco misturando sumo de laranja e água com gás numa razão de $3 : 2$ (ou seja, por cada $3$ copos de sumo de laranja adicionam $2$ copos de água). Como chegam amigos a casa e precisam de mais quantidade, a Beatriz propõe: «Para fazer mais refresco mantendo exatamente o mesmo sabor, adicionemos mais $2$ copos de laranja e mais $2$ copos de água; como somamos a mesma quantidade aos dois ingredientes, a proporção não muda».\na) Calcula o valor numérico da razão original e o valor da nova razão após aplicar a proposta da Beatriz. Ambos os refrescos têm o mesmo sabor? Justifica a tua resposta comparando os valores decimais de ambas as razões.\nb) Identifica e explica fundamentadamente o erro conceptual que a Beatriz cometeu sobre o significado de razão e proporção.\nc) Corrige a receita da Beatriz: se ela decidir adicionar mais $3$ copos de água com gás, quantos copos de sumo de laranja deve adicionar para conservar exatamente a proporção inicial?

Num abrigo de animais, a razão entre o número de gatos e o número de cães acolhidos é de $4 : 7$.

1. a) Sabendo que no total há mais de $30$ animais e menos de $40$, deduz quantos gatos e quantos cães há no abrigo sem recorrer à tentativa e erro às cegas. Explica com clareza a propriedade numérica em que te baseias para o assegurar.
2. b) Escreve a proporção matemática completa que relaciona o número de gatos e cães com a razão simplificada dada, indicando explicitamente quais são os extremos e quais são os meios.
3. c) Se amanhã forem adotados $2$ gatos e $2$ cães, verifica mediante a regra dos produtos cruzados se a proporção entre ambas as espécies se mantém ou se altera.

Determine o valor de $x$ nestas proporções:

1. a) $\frac{x}{2,4} = \frac{7}{4,8}$

1. b) $\frac{3}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$

1. c) $\frac{1,5}{4,5} = \frac{x}{13,5}$

Determine o meio proporcional em cada caso, ou seja, o valor positivo de $x$ que satisfaz a proporção contínua:

1. a) $\frac{x}{4} = \frac{25}{x}$

1. b) $\frac{3}{x} = \frac{x}{27}$

1. c) $\frac{x}{2} = \frac{50}{x}$

Um carpinteiro fabrica molduras cuja parte decorativa central é um quadrado. Para que a moldura guarde a mesma proporção em todos os tamanhos, o lado $x$ do quadrado deve ser o meio proporcional entre a largura interna e a largura externa da moldura.

1. a) Para uma moldura com largura interna de $9\ \text{cm}$ e largura externa de $25\ \text{cm}$, monta a proporção contínua $\frac{9}{x} = \frac{x}{25}$ e determina o lado do quadrado.

1. b) Verifica que as duas razões têm o mesmo valor.

1. c) Se a largura interna for de $8\ \text{cm}$ e o quadrado decorativo medir $12\ \text{cm}$ de lado, qual é a largura externa da moldura?

Duas regiões vinícolas comparam a sua produção. A região A colhe $4\,500\ \text{t}$ de uva em $1\,800\ \text{ha}$ de vinhedo; a região B, $6\,240\ \text{t}$ em $2\,400\ \text{ha}$.

1. a) Calcule a razão entre a produção e a superfície em cada região, com a sua unidade.

1. b) Qual das duas obtém maior rendimento por hectare?

1. c) Se a região A aumentasse a sua superfície para $2\,000\ \text{ha}$ mantendo o rendimento, que produção esperaria?

Uma lançadora de dardo treina com uma marca situada a $60\ \text{m}$ e demora $4,8\ \text{s}$ a percorrer essa distância na sua corrida de balanço.

1. a) Calcule a razão entre a distância e o tempo, em $\text{m/s}$.

1. b) Exprime-a em $\text{km/h}$.

1. c) É correto calcular a razão entre $60\ \text{m}$ e $4,8\ \text{s}$ sem prestar atenção às unidades? Porque é necessário indicá-las sempre ao interpretar uma razão?

O Partenon de Atenas foi projetado a procurar a proporção áurea: a razão entre o lado maior e o menor dos seus retângulos é aproximadamente $\frac{8}{5} = 1,6$.

1. a) Uma janela mede $1,92\ \text{m}$ de altura e $1,20\ \text{m}$ de largura. Calcule a razão entre os seus lados. Está na proporção áurea?

1. b) Outra janela mede $2\ \text{m}$ de altura. Quanto deve medir de largura para que a razão entre a altura e a largura seja $1,6$?

1. c) Meça em sua casa três retângulos do quotidiano (uma porta, um livro, um ecrã) e verifique se algum deles se aproxima da proporção áurea.

Para organizar uma caminhada pela Serra da Estrela, utilizas um mapa oficial do Instituto Geográfico do Exército (IGeoE) à escala $1 : 25\,000$. No mapa, o comprimento do percurso que queres realizar mede exatamente $18,4\text{ cm}$.\na) Antes de calcular o valor exato, faz uma estimativa: fundamenta quantos metros reais representa $1\text{ cm}$ no mapa e estima mentalmente entre que dois valores inteiros de quilómetros se encontrará a distância real do percurso.\nb) Formula a proporção que define a escala do mapa, calcula a distância real em quilómetros utilizando a igualdade de produtos cruzados e verifica se a tua estimativa inicial estava correta.\nc) Se o grupo caminhar a uma razão constante de $4\text{ km/h}$, calcula quanto tempo demorará a completar o trajeto (expressa o resultado em horas e minutos) e avalia se é razoável realizar a excursão numa única manhã.

De acordo com o relatório oficial da Dirección General del Agua de Espanha, a bacia hidrográfica do Guadalquivir dispõe de uma capacidade total de $8\,030\text{ hm}^3$ e contém $2\,409\text{ hm}^3$ armazenados, enquanto a bacia do Cantábrico Oriental tem uma capacidade total de $70\text{ hm}^3$ e contém $56\text{ hm}^3$ armazenados.\na) Modela a situação calculando a razão entre o volume armazenado e a capacidade total para cada uma das duas bacias. Interpreta que informação fornece cada resultado para além do valor bruto de água.\nb) Um título de jornal afirma: «A bacia do Guadalquivir goza de uma situação hídrica muito melhor porque acumula mais de $40$ vezes a quantidade de água do Cantábrico Oriental». Argumenta criticamente por que razão essa afirmação é enganosa, apoiando-te nas razões calculadas.\nc) Formula uma proporção para determinar quantos hectómetros cúbicos de água teria de ter armazenados a bacia do Guadalquivir para se encontrar na mesma proporção de enchimento relativo que a do Cantábrico Oriental, e calcula esse quarto proporcional.

Uma aluna afirma o seguinte:

«Como $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$, então também se cumpre $\frac{6}{10} = \frac{15}{9}$, porque apenas mudei a ordem dos números.»

1. a) Verifique se a primeira igualdade é uma proporção verdadeira.

1. b) Verifique se a segunda igualdade também é verdadeira. Ela acertou?

1. c) A regra correta diz que numa proporção é possível permutar os meios ou permutar os extremos. Aplique-a a $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$ e escreva duas proporções equivalentes verdadeiras.

Indica se cada afirmação é verdadeira ou falsa, supondo que $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ seja uma proporção verdadeira. Justifica usando o produto dos extremos e dos meios:

1. a) «$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$»

1. b) «$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$»

1. c) «$\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$»

1. d) «$\frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + d}$»

Pretende-se construir um quadrado que tenha exatamente a mesma área que um retângulo de $9\ \text{cm}$ por $16\ \text{cm}$, como se mostra na figura.

1. a) Se o lado do quadrado é $x$, escreva a equação $x^2 = 9 \cdot 16$.

1. b) Reescreva a equação como uma proporção contínua $\frac{9}{x} = \frac{x}{16}$. O que é $x$ relativamente a $9$ e $16$?

1. c) Calcule $x$ e verifique que as áreas coincidem.

1. d) Qual seria o lado do quadrado equivalente a um retângulo de $5\ \text{cm}$ por $45\ \text{cm}$?

Tarefa de decisão. Uma loja de eletrónicos anuncia três monitores como «widescreen 16:9», ou seja, com uma razão entre a largura e a altura de $\frac{16}{9} \approx 1,78$. As medidas reais do painel de cada modelo são:

• Modelo 1: $53\ \text{cm}$ de largura e $30\ \text{cm}$ de altura.

• Modelo 2: $62\ \text{cm}$ de largura e $34\ \text{cm}$ de altura.

• Modelo 3: $71\ \text{cm}$ de largura e $40\ \text{cm}$ de altura.

1. a) Calcule a razão largura/altura de cada modelo com duas casas decimais.

1. b) Quais os modelos que cumprem de facto a proporção 16:9 (admita um erro de $0,02$)?

1. c) Um cliente quer colocar o monitor num espaço de $65\ \text{cm}$ de largura e $38\ \text{cm}$ de altura. Qual dos modelos que cumprem a proporção cabe no espaço? Justifique a tua decisão com cálculos.

Um atelier de arquitetura projeta duas janelas retangulares. A janela A mede $60\text{ cm}$ de largura por $90\text{ cm}$ de altura, e a janela B mede $80\text{ cm}$ de largura por $120\text{ cm}$ de altura. Para verificar se ambas as janelas são proporcionais, consideram-se três métodos:\n- Método 1: Calcular a razão interna $\dfrac{\text{altura}}{\text{largura}}$ de cada janela e comparar se os resultados coincidem.\n- Método 2: Calcular as razões externas entre medidas homólogas ($\dfrac{\text{largura B}}{\text{largura A}}$ e $\dfrac{\text{altura B}}{\text{altura A}}$) e verificar se são iguais.\n- Método 3: Formular a proporção $\dfrac{60}{90} = \dfrac{80}{120}$ e verificar se a igualdade de produtos cruzados se cumpre: $60 \cdot 120 = 90 \cdot 80$.\na) Desenvolve numericamente os três métodos e demonstra formalmente por que razão a igualdade $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ garante matematicamente que $\dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c}$ e que $\dfrac{c}{a} = \dfrac{d}{b}$.\nb) Agora pedem-te para analisar uma janela C de $75\text{ cm} \times 110\text{ cm}$. Escolhe fundamentadamente qual dos três métodos se revela mais direto para verificar se é proporcional à janela A e aplica-o justificando a tua conclusão.\nc) Se for construída uma janela D cujas dimensões multipliquem por $3$ o perímetro da janela A mantendo a proporção entre os seus lados, em que razão variam a sua largura, a sua altura e o valor da sua razão de aspeto?

Numa proporção contínua, os meios são iguais: $\dfrac{a}{x} = \dfrac{x}{b}$, de modo que o termo $x = \sqrt{a \cdot b}$ recebe o nome de meio proporcional entre os extremos $a$ e $b$.\na) Encontra todos os pares de números inteiros positivos $(a, b)$ com $a < b$ tais que o seu meio proporcional seja exatamente $x = 12$. Mostra o procedimento dedutivo a partir da decomposição fatorial de $12^2$, sem recorrer a tentativas desordenadas.\nb) De todos os pares obtidos na alínea anterior, identifica qual apresenta a menor diferença possível entre os seus extremos ($b - a$) e escreve a proporção contínua correspondente verificando que os produtos cruzados coincidem.\nc) Demonstra de forma algébrica e geral que, se $x$ é o meio proporcional entre dois números positivos quaisquer $a$ e $b$, então o meio proporcional entre $k \cdot a$ e $k \cdot b$ (sendo $k > 0$) é exatamente igual a $k \cdot x$.