Exercícios: Proporcionalidade direta

Determine se os seguintes pares de grandezas são diretamente proporcionais. Justifique brevemente a sua resposta:

1. a) O número de seguidores de um influenciador e os gostos que ele recebe na sua última fotografia.
2. b) A quantidade de quilogramas de maçãs que compras e o preço total a pagar.
3. c) A idade de uma pessoa e a sua altura em centímetros.
4. d) O tempo que deixas o telemóvel a carregar e a percentagem de bateria que ele recupera (supondo que carrega de forma constante).

Um grupo de amigos quer ir ao cinema. Sabemos que $3$ bilhetes custaram $22,50$ €. Complete a tabela seguinte e calcule a constante de proporcionalidade $k$ (preço por bilhete):

Para preparar um batido de frutas para $4$ pessoas, são necessários $600$ ml de leite. Se no próximo sábado fores convidar $10$ amigos para a tua casa, de quanto leite precisarás para que todos tenham o seu batido? Resolve utilizando uma regra de três simples direta.

Um carro telecomandado percorre $12$ metros em apenas $8$ segundos, mantendo uma velocidade constante. Se continuar a deslocar-se da mesma forma:

1. a) Que distância percorrerá num minuto ($60$ segundos)?
2. b) Quanto tempo demorará a percorrer uma pista de $30$ metros?

O teu telemóvel tem uma capacidade total de armazenamento de $128$ GB. Se o sistema operativo e as aplicações instaladas já ocupam $25\%$ do espaço, quantos gigabytes estão atualmente ocupados?

Viste um camisolão de que gostas muito numa loja online. O seu preço original é de $45$ €, mas hoje tem um desconto de $15\%$. Quantos euros poupas graças ao desconto? (Não é necessário calcular o preço final).

Uma impressora 3D demora $45$ minutos a fabricar uma peça que pesa $60$ gramas. Se quisermos imprimir uma figura do mesmo material que pesa $100$ gramas, quanto tempo demorará a impressora? Exprime o resultado em horas e minutos.

O Marcos acompanha a sua avó a uma frutaria do mercado do seu bairro em Faro. Veem um cartaz que indica que um saco de $3\text{ kg}$ de laranjas custa $4,20\text{ €}$. O Marcos quer calcular quanto custará um saco de $5\text{ kg}$ da mesma variedade e faz no telemóvel a operação $3 : 4,20 \approx 0,71$. De seguida, diz à sua avó: «O quilo fica a $0,71\text{ €}$, por isso o saco de $5\text{ kg}$ vai custar-nos $5 \cdot 0,71 = 3,55\text{ €}$».

1. a) Explica de forma fundamentada por que razão o resultado final do Marcos é manifestamente absurdo sem necessidade de fazer operações complexas.
2. b) Identifica o erro concetual que o Marcos cometeu ao calcular a constante de proporcionalidade direta. Que grandeza representa realmente o número $0,71$ que obteve e quais são as suas unidades de medida?
3. c) Corrige o procedimento: calcula a constante de proporcionalidade adequada (preço por quilograma), escreve a fórmula da função de proporcionalidade direta $y = k \cdot x$ e determina o preço exato que pagarão pelo saco de $5\text{ kg}$.

Numa estação meteorológica do IPMA situada na Serra da Estrela (Seia), um udómetro digital regista uma precipitação constante durante um temporal de outono. O aparelho marca que caíram exatamente $18\text{ litros por metro quadrado}$ ($18\text{ mm}$) num período continuado de $40\text{ minutos}$.

1. a) Antes de realizares qualquer operação matemática exata no papel, estima mentalmente quantos litros por metro quadrado terão sido recolhidos se o temporal continuar com a mesma intensidade constante durante um total de $2\text{ horas e }15\text{ minutos}$. Explica por escrito que aproximações ou deduções rápidas utilizaste para obter a tua estimativa prévia.
2. b) Verifica a tua estimativa calculando o valor exato mediante proporcionalidade direta: determina a constante de proporcionalidade (em litros por metro quadrado e minuto) e obtém a quantidade final acumulada para os $135\text{ minutos}$.
3. c) Compara a tua estimativa da alínea a) com o resultado exato da alínea b) e avalia se a tua aproximação inicial era razoável, explicando por que razão esta verificação é útil em situações reais.

Um criador de conteúdo numa plataforma de vídeo recebe rendimentos diretamente proporcionais ao número de visualizações dos seus vídeos. Por cada $1250$ visualizações, o sistema gera-lhe um lucro de $3,75$ €. Copia a seguinte tabela para o teu caderno e completa-a calculando a razão de proporcionalidade $k$. No gráfico está marcado o dado conhecido.

A bateria de uma trotinete elétrica é consumida de forma proporcional à distância percorrida. Se para realizar um trajeto de $4,5$ km foi gasto $12 \%$ da capacidade total da bateria, calcule por redução à unidade quanta bateria será consumida num percurso de $15$ km pelo mesmo tipo de terreno.

Para organizar um encontro escolar, decidiu-se preparar uma receita de limonada caseira. A receita original indica que para $6$ pessoas são necessários $1,5$ litros de água e $450$ g de açúcar. Se finalmente se inscreveram $42$ pessoas, quantos litros de água e quantos quilos de açúcar devem ser comprados para manter a proporção exata?

Três amigos, Alba, Bruno e Carla, compraram juntos um pacote de $50$ saquetas de cartas colecionáveis que custava $75$ €. Alba deu $15$ €, Bruno $27$ € e Carla o restante. Se decidirem repartir as saquetas de forma diretamente proporcional ao dinheiro que cada um deu, quantas saquetas correspondem a cada um?

Um mapa de caminhada da Serra da Estrela está desenhado numa escala $1:25000$. Um grupo de estudantes planeia um percurso que no mapa mede $14,4$ cm.

1. Quantos quilómetros reais percorrerão no total?

2. Se caminham a uma velocidade constante e demoram $45$ minutos a percorrer os primeiros $3$ km, quanto tempo total demorarão a completar o percurso?

Um centro de reciclagem paga aos utilizadores pelo peso do plástico entregue. Na segunda-feira, uma escola entregou $120$ kg e recebeu $18$ €. Na terça-feira, outra escola entregou uma quantidade desconhecida e recebeu $24,75$ €.

1. Qual é o preço por quilograma de plástico reciclado?

2. Quantos quilogramas entregou a segunda escola?

À mesma hora do dia, a sombra de uma placa de trânsito de $2,2$ metros de altura mede $1,4$ metros. Se mesmo ao lado há uma torre de alta tensão cuja sombra mede $10,5$ metros, qual é a altura da torre? Faz um desenho esquemático da situação antes de resolver o problema.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma empresa de fabrico de componentes para smartphones utiliza uma máquina que produz $150$ microchips a cada $20$ minutos.

1. Quantos microchips produzirá numa jornada de trabalho de $8$ horas sem parar?

2. Se, por uma falha técnica, a máquina reduzir a sua velocidade de produção para metade, quantas horas levará a fabricar uma encomenda urgente de $2250$ microchips?

A Laura é a responsável pela cozinha de uma escola pública com refeitório escolar. Sabe pelos registos oficiais que, para servir $180$ alunos por dia, se cozinham exatamente $27\text{ kg}$ de arroz. Na próxima semana realizam-se umas jornadas de orientação e o número de alunos que almoçam no refeitório vai variar: na terça-feira serão $210$ alunos; na quinta-feira, $195$; e na sexta-feira, $240$.

Para calcular a quantidade de arroz necessária para cada um desses três dias, a Laura hesita entre duas estratégias:

• Método 1 (Regra de três): Formular três regras de três simples diretas independentes, por meio de produtos cruzados, uma para cada dia.

• Método 2 (Redução à unidade): Calcular primeiro a constante de proporcionalidade direta (a porção de arroz por aluno) e depois aplicá-la aos alunos de cada dia.

1. a) Aplica ambos os métodos para calcular os quilogramas de arroz de terça-feira ($210$ alunos) e verifica que ambos os procedimentos conduzem ao mesmo resultado.
2. b) Utiliza o Método 2 para calcular os quilogramas necessários para quinta-feira ($195$ alunos) e sexta-feira ($240$ alunos).
3. c) Justifica de forma fundamentada qual dos dois métodos se revela mais vantajoso e eficiente neste caso particular. A tua recomendação mudaria se a Laura apenas tivesse de calcular a comida para um único dia isolado? Justifica a tua resposta.

Um posto de carregamento da rede pública municipal fornece energia elétrica a uma potência líquida constante de $22\text{ kW}$ (isto é, transfere exatamente $22\text{ kWh}$ por cada hora completa de ligação contínua). Um utilizador liga o seu carro elétrico, cuja bateria tem uma capacidade total de $50\text{ kWh}$, no momento em que a bateria se encontra a $10\,\%$ da sua carga. A tarifa municipal fixa um preço de $0,38\text{ €}$ por cada $\text{kWh}$ recarregado.

1. a) Calcula quantos $\text{kWh}$ de energia precisa de receber o veículo para atingir $80\,\%$ da sua capacidade (nível habitualmente recomendado pelos fabricantes para prolongar a vida útil das baterias).
2. b) Modela a relação entre o tempo decorrido $t$ (em horas) e a energia transferida $E$ (em $\text{kWh}$) através de uma função de proporcionalidade direta. Quanto tempo exato (expresso em horas, minutos e segundos) deve o carro permanecer ligado à corrente para atingir esses $80\,\%$?
3. c) Modela a função que expressa o custo económico total $C$ (em euros) em função do tempo de carregamento $t$ (em horas). Determina a constante de proporcionalidade direta desta relação, indica as suas unidades e interpreta o que significa na prática. Quanto pagará o utilizador no total por este carregamento?

Um atelier de arquitetura está a desenhar uma maquete de um arranha-céus utilizando uma impressora 3D de alta precisão. Comprovaram que para imprimir uma secção da estrutura que tem um volume de $450\text{ cm}^3$ são necessários $12,5\text{ metros}$ de filamento plástico e a impressora demora $3\text{ horas e }45\text{ minutos}$. Se o arranha-céus completo na maquete requer um volume total de plástico de $2,16\text{ dm}^3$:

1. a) Quantas bobinas de filamento de $50\text{ metros}$ deverão comprar no mínimo para completar a maquete?
2. b) Se a impressora trabalhar sem interrupções, quantos dias e horas demorará a terminar o trabalho?

Um servidor de streaming de vídeo ajusta o tamanho dos seus ficheiros de forma proporcional à duração e à resolução (número total de píxeis). Um vídeo de $10\text{ minutos}$ numa resolução de $1280 \times 720$ píxeis ocupa $450\text{ MB}$.

Calcule quanto ocupará um filme de $1\text{ hora e }45\text{ minutos}$ se for enviado com uma resolução de $1920 \times 1080$ píxeis, sabendo que a relação entre o tamanho e o total de píxeis é diretamente proporcional. Expresse o resultado em gigabytes ($1\text{ GB} = 1024\text{ MB}$).

Num mapa estelar, a distância entre duas estrelas é de $18\text{ cm}$. Sabe-se que este mapa representa uma escala em que $1\text{ cm}$ equivale a $4,5$ anos-luz. Se uma nave espacial viaja a uma velocidade constante e leva $240\text{ anos}$ para percorrer $0,8$ anos-luz:

1. a) A que distância real, em anos-luz, estão as duas estrelas?
2. b) Quantos séculos levaria a nave a viajar de uma estrela à outra? (Considera que a relação entre o tempo e a distância percorrida é diretamente proporcional).

Uma central dessalinizadora produz água potável de forma proporcional ao tempo de funcionamento das suas turbinas. Durante um período de $8\text{ horas}$, a central produz água suficiente para abastecer uma população de $3\,500\text{ personas}$, consumindo $1\,400\text{ kWh}$ de energia.

Devido a uma onda de calor, o consumo de água por pessoa aumenta $25\%$. Se a central agora tiver de abastecer uma população de $5\,000\text{ personas}$ nestas novas condições, durante quantas horas deverá funcionar e qual será o consumo energético total previsto? (Suponha que o consumo de energia também é diretamente proporcional ao tempo de funcionamento.)

No laboratório de Física do 3.º ciclo do Ensino Básico analisam-se duas molas elásticas, $A$ e $B$, que verificam a lei de Hooke: a força aplicada $F$ (em Newtons, $\text{N}$) é diretamente proporcional ao alongamento sofrido $x$ (em centímetros, $\text{cm}$), cumprindo $F = k \cdot x$.

Os alunos encontram uma ficha de laboratório antiga na qual foram apagados vários dados, mas que conserva intactas três anotações:

1. Ao submeter a mola $A$ a uma força de $10\text{ N}$, o seu alongamento registado é de $8\text{ cm}$.

2. Sob uma mesma força desconhecida $F_1$, a mola $A$ alonga-se exatamente mais $3\text{ cm}$ do que a mola $B$.

3. Se essa força desconhecida for duplicada (aplicando $2 \cdot F_1$), o alongamento total que a mola $B$ sofre é igual ao alongamento que a mola $A$ tinha sob a força original $F_1$.

1. a) Calcula a constante elástica de proporcionalidade $k_A$ da mola $A$ e interpreta o seu significado físico indicando as suas unidades.
2. b) A partir exclusivamente das propriedades teóricas da proporcionalidade direta e das condições 2 e 3, deduz a constante de proporcionalidade elástica $k_B$ da mola $B$ sem calcular previamente o valor numérico da força $F_1$.
3. c) Reconstrói os dados perdidos do ensaio: determina o valor numérico exato da força $F_1$ (em $\text{N}$) e os alongamentos que ambas as molas tiveram sob essa força.

A Empresa Municipal de Transportes (EMT) monitoriza o consumo energético dos seus autocarros elétricos urbanos. Em condições normais de circulação, o consumo de energia é diretamente proporcional à distância percorrida, com uma constante de proporcionalidade de $1,20\text{ kWh/km}$. No entanto, durante os meses de verão, o uso ininterrupto do sistema de climatização aumenta o consumo por quilómetro em $25\,\%$.

1. a) Escreve a equação de proporcionalidade direta $E = k \cdot d$ que relaciona a energia consumida $E$ (em $\text{kWh}$) com a distância percorrida $d$ (em $\text{km}$) em cada um dos dois cenários: regime normal ($k_1$) e regime de verão ($k_2$).
2. b) Um autocarro inicia o seu dia de trabalho com a bateria completamente carregada ($320\text{ kWh}$). Por regulamento de segurança, a central exige que o veículo regresse à estação antes que a bateria desça para $15\,\%$ da sua capacidade. Calcula a autonomia máxima (em quilómetros) que o autocarro pode percorrer em regime de verão antes de ter de recolher à estação.
3. c) Durante um dia especial de testes, um autocarro realiza um trajeto total de $180\text{ km}$: os primeiros $120\text{ km}$ com a climatização ligada no máximo e os últimos $60\text{ km}$ em modo normal. Calcula a constante de proporcionalidade global do dia (o consumo médio real por quilómetro). Um relatório técnico provisório propunha calcular essa constante fazendo a média aritmética simples de $k_1$ e $k_2$: $\frac{1,20 + 1,50}{2} = 1,35\text{ kWh/km}$. Justifica rigorosamente por que razão essa média simples é concetualmente errada e como intervém a ponderação das distâncias no cálculo correto.