Exercícios: Operações com polinômios

Dados os polinómios $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ e $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 5x + 3$, calcule as expressões resultantes das operações $P(x) + Q(x)$ e $P(x) - Q(x)$.

Efetue a multiplicação do monómio $-4x^2$ pelo polinómio $2x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x - 5$ e ordene o resultado do maior para o menor grau.

Calcule o produto dos seguintes polinómios e reduza os termos semelhantes: $(2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 1)$.

Desenvolva a seguinte expressão aplicando a fórmula dos casos notáveis para o quadrado da soma: $(3x + 5y)^2$.

Aplique o caso notável correspondente para desenvolver o quadrado desta diferença: $(\frac{1}{2}x^2 - 4)^2$.

Calcule o resultado da seguinte operação utilizando o caso notável do produto da soma pela diferença: $(7a + 2b) \cdot (7a - 2b)$.

Some os polinómios $A(x) = x^2 - 3x + 2$ e $B(x) = 2x^2 + x - 5$. Assim que obtiver o polinómio resultante, calcule o seu valor numérico para $x = -2$.

Ao multiplicar o polinómio $A(x) = 5x^4 - 3x + 2$ pelo polinómio $B(x) = -2x^3 + x^2$, indique qual será o grau do polinómio resultante e o valor do seu coeficiente principal, sem necessidade de efetuar toda a multiplicação.

A Elena precisa de calcular o material restante num processo de corte e, para isso, deve simplificar a expressão algébrica $(3x - 2)^2 - (4x^2 - 6x + 7)$. No seu exame, escreve o seguinte desenvolvimento:

• Passo 1: $(3x - 2)^2 = 9x^2 - 4$

• Passo 2: $9x^2 - 4 - 4x^2 - 6x + 7$

• Passo 3: Resultado final $= 5x^2 - 6x + 3$

1. a) Identifica e explica fundamentadamente os dois erros conceptuais que a Elena cometeu (um no desenvolvimento do caso notável e outro ao eliminar os parênteses precedidos pelo sinal menos).
2. b) Realiza o desenvolvimento correto passo a passo até obteres o polinómio reduzido.
3. c) Verifica que a tua solução é coerente substituindo $x = 0$ tanto na expressão inicial como no teu polinómio final.

O serviço municipal de aluguer de bicicletas elétricas de uma cidade portuguesa fatura mensalmente a cada utilizador em função dos minutos adicionais consumidos, representados pela variável $x$.

• A quota base de subscrição corresponde ao polinómio $C(x) = 12 + 0,10x$ euros.

• O suplemento de seguro e manutenção é $S(x) = 5 + 0,05x$ euros.

• Como incentivo à mobilidade sustentável, a Câmara Municipal aplica um desconto direto expresso por $D(x) = 3 + 0,02x$ euros.

1. a) Escreve a operação com polinómios que permite calcular o custo final mensal $G(x) = C(x) + S(x) - D(x)$.
2. b) Elimina os parênteses, altera os sinais correspondentes e reduz os termos semelhantes para obteres a expressão simplificada de $G(x)$.
3. c) Se uma pessoa registou $x = 100$ minutos adicionais no mês, calcula quanto pagará no total e interpreta que significado tem na vida real o termo independente do polinómio que obtiveste.

Um jardim retangular tem dimensões que dependem de um valor $x$. O seu comprimento é $3x + 2$ metros e a sua largura é $x + 5$ metros. Expresse a área total do jardim por meio de um polinómio em $x$ e calcule quantos metros quadrados terá se $x = 4$.

Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma folha de cartão retangular de $30 \text{ cm}$ de comprimento por $20 \text{ cm}$ de largura. Para isso, recortam-se quatro quadrados idênticos de lado $x$ nos cantos e dobram-se as abas para cima. Exprime o volume da caixa resultante como um polinómio na variável $x$.

Uma fábrica de componentes eletrónicos assume custos fixos mensais de $500$ euros. Além disso, o custo de produção por cada lote de peças é de $40 - 2x$ euros, onde $x$ representa o número de lotes. Se num mês forem produzidos exatamente $x^2 + 5x$ lotes, expresse o custo total mensal da fábrica por meio de um polinómio em $x$.

Desenvolva e simplifique ao máximo a seguinte expressão algébrica aplicando os casos notáveis correspondentes:

$(2x + 3)^2 - (2x - 3)^2 + (x - 1) \cdot (x + 1)$

Dados os polinómios $A(x) = x^3 - 4x^2 + x - 1$ e $B(x) = 2x^3 + x^2 - 5$, determine a expressão de um polinómio desconhecido $P(x)$ que satisfaça a seguinte igualdade:

$2 \cdot A(x) - P(x) = B(x)$

Ao efetuar a multiplicação dos polinómios $P(x) = x^2 + kx - 3$ e $Q(x) = 2x^2 - 5x + 1$, observa-se que o coeficiente do termo de grau $2$ do polinómio resultante é $-13$. Formule a equação correspondente e determine o valor do parâmetro $k$.

Numa experiência de física, a altura em metros de um projétil $A$ é dada pelo polinómio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$, e a de um projétil $B$ por $G(t) = -5t^2 + 15t + 10$, onde $t$ é o tempo decorrido em segundos. Encontra o polinómio que expressa a diferença de alturas entre o projétil $A$ e o $B$, e determina em que instante exato ambos os projéteis se encontram à mesma altura.

Observe a seguinte figura que representa um quadrado de lado $a+b$ subdividido em quatro regiões retangulares. Escreva a soma das áreas das quatro regiões e demonstre de forma geométrica o desenvolvimento do caso notável $(a+b)^2$.

Para simplificar a expressão $E(x) = (3x + 4)^2 - (3x - 4)^2$, dois colegas de turma propõem estratégias diferentes:

• A Beatriz propõe desenvolver cada termo separadamente usando os casos notáveis do quadrado de uma soma e do quadrado de uma diferença, e depois subtrair os polinómios resultantes.

• O Tomás propõe interpretar toda a expressão como uma diferença de quadrados da forma $A^2 - B^2 = (A + B) \cdot (A - B)$, tomando $A = 3x + 4$ e $B = 3x - 4$.

1. a) Aplica o método da Beatriz escrevendo com clareza os desenvolvimentos intermédios e a subtração final dos termos.
2. b) Aplica o método do Tomás substituindo $A$ e $B$ na fórmula da soma pela diferença e reduzindo os fatores antes de multiplicar.
3. c) Compara ambos os caminhos: obtém-se o mesmo resultado? Justifica qual dos dois métodos te parece mais rápido e em qual consideras que há menor probabilidade de cometer erros com os sinais.

Numa exploração agrícola do Alentejo vão instalar painéis solares sobre o telhado de um pavilhão para autoconsumo. A zona retangular destinada aos painéis tem uma largura de $(x + 3)$ metros e um comprimento de $(3x + 5)$ metros, onde $x$ é uma medida em metros associada à potência necessária.

1. a) Obtém o polinómio desenvolvido $S(x)$ que representa a área total em metros quadrados multiplicando ambas as dimensões.
2. b) Estima mentalmente: se para cobrir o consumo do pavilhão for necessário fixar $x = 10\text{ m}$, arredonda mentalmente cada dimensão à dezena mais próxima e antecipa se a área estará mais próxima de $300\text{ m}^2$, $450\text{ m}^2$ ou $600\text{ m}^2$. Explica como fizeste o teu arredondamento.
3. c) Calcula o valor numérico exato de $S(10)$ substituindo $x = 10$ no polinómio desenvolvido na alínea a), e avalia se a tua estimativa prévia foi acertada calculando a diferença entre o valor exato e o estimado.

Determine todos os valores possíveis para os parâmetros $a$, $b$ e $c$ de modo que a seguinte igualdade polinomial seja verdadeira para qualquer número real $x$:

$(ax + b)^2 + cx = 9x^2 - 24x + 16$

Numa placa metálica retangular cujas dimensões são $4x + 6$ e $2x + 1$ milímetros, são feitos três furos circulares idênticos de raio $r = x$. Expressa a área da placa metálica resultante, após serem feitos os furos, como um polinómio em $x$ (mantém o número $\pi$ indicado nos coeficientes em que for necessário).

Demonstre algebricamente que o produto da soma de duas variáveis pela sua diferença, multiplicado pela soma dos quadrados dessas mesmas variáveis, é igual à diferença das suas quartas potências. Para isso, desenvolva e simplifique passo a passo a expressão: $(x - y) \cdot (x + y) \cdot (x^2 + y^2)$.

Uma empresa de software estima que, se vender a sua nova aplicação a um preço de $p(x) = 120 - x$ euros, conseguirá vender uma quantidade de $q(x) = 500 + 10x$ licenças. Sabendo que a receita total é calculada multiplicando o preço pela quantidade vendida, e que os custos fixos e variáveis da empresa somam $C(x) = 2000 + 50x$ euros, obtenha o polinómio do lucro $B(x)$ na sua forma mais reduzida.

Considere o polinómio $P(x) = (2x^2 - 3x + 2)^3 \cdot (x^2 - x + 1)^2$. Sabendo que a soma de todos os coeficientes de um polinómio (incluindo o termo independente) pode ser obtida avaliando esse polinómio em $x = 1$, calcule a soma exata dos coeficientes do polinómio resultante que seria obtido ao desenvolver completamente a expressão de $P(x)$.

O polinómio $M(x) = x^4 - 2x^3 + ax^2 + bx + c$ é o resultado exato de elevar ao quadrado o polinómio $N(x) = x^2 - x - 3$. Efetue a operação $N(x)^2$, agrupe os termos do mesmo grau e determine os valores numéricos correspondentes aos parâmetros $a$, $b$ e $c$.

Um cilindro maciço de raio $r = x+1$ e altura $h = 3x$ é introduzido verticalmente dentro de um prisma oco de base quadrada, cujo lado da base mede $L = 2x+2$ e tem a mesma altura $3x$. Expresse por meio de um polinómio em $x$ o volume do espaço que fica livre entre o cilindro e as paredes do prisma.

Um mágico pede a um espectador que pense num número qualquer $x$. A seguir, dá-lhe as seguintes instruções: "Adicione 3 ao seu número, eleve o resultado ao quadrado, subtraia o quadrado do número original, subtraia 9 e, finalmente, divida tudo o que sobrou por 6". Demonstre passo a passo, utilizando operações com polinómios, que o resultado final deste truque é sempre exatamente o número original $x$ em que o espectador pensou.

Reconstrói dois polinómios do primeiro grau com coeficientes inteiros, $P(x)$ e $Q(x)$, a partir das seguintes pistas sobre as suas operações:

1. O seu produto é o polinómio do segundo grau: $P(x) \cdot Q(x) = 2x^2 + 5x - 3$.

2. A sua soma é o polinómio: $P(x) + Q(x) = 3x + 2$.

3. O coeficiente principal (termo em $x$) de $P(x)$ é estritamente maior do que o coeficiente principal de $Q(x)$.

1. a) Deduz quais devem ser necessariamente os coeficientes de grau 1 de ambos os polinómios, analisando como se geram o termo $2x^2$ na multiplicação e o termo $3x$ na soma.
2. b) Analisa os possíveis pares de números inteiros cujo produto seja $-3$ e verifica qual deles cumpre simultaneamente que a sua soma seja $+2$ e que o produto cruzado gere o termo central $+5x$.
3. c) Escreve as expressões finais de $P(x)$ e $Q(x)$ e calcula a subtração $P(x) - Q(x)$, expressando-a na sua forma reduzida.

Uma PME de padaria artesanal em Santarém estuda a viabilidade económica do seu fabrico. Os custos e receitas mensais dependem do número de fornadas semanais elaboradas, representado por $x$ (com $x \ge 10$):

• Custo de matérias-primas (farinhas biológicas, sementes, leveduras): $M(x) = 2x^2 + 30x + 180$ euros.

• Custo energético e manutenção de fornos a lenha e eletricidade: $E(x) = x^2 + 20x + 120$ euros.

• Receitas brutas por vendas em loja e distribuição: $I(x) = 4x^2 + 10x - 200$ euros.

1. a) Obtém o polinómio simplificado que representa os custos totais mensais, $C(x) = M(x) + E(x)$.
2. b) Modela o lucro líquido mensal através da subtração $B(x) = I(x) - C(x)$, reduzindo todos os termos semelhantes.
3. c) Um consultor diz: «Como o termo independente do lucro é $-500$, quanto mais produzir a padaria, maiores serão os prejuízos porque esse termo negativo subtrai sempre». Refuta algebricamente a afirmação do consultor: explica que termo domina quando a produção $x$ é grande, calcula para que número exato de fornadas semanais o lucro líquido é nulo ($B(x) = 0$) e fundamenta a partir de que volume de produção o negócio se torna rentável.