Exercícios: Números racionais

Observe a seguinte representação gráfica de uma fração. A tua tarefa consiste em:

1. Escrever a fração irredutível que representa a parte colorida de laranja em relação ao total do círculo.

2. Indicar se a fração $\frac{9}{24}$ é equivalente à representada na imagem. Justifica a tua resposta simplificando ambas as frações.

Três amigos estão a competir numa corrida de obstáculos de 100 metros. Num determinado momento, as suas posições são as seguintes:

• Ana percorreu $\frac{2}{5}$ do total.

• Beto percorreu $\frac{3}{4}$ do total.

• Carla percorreu $\frac{7}{10}$ do total.

• Calcule quantos metros cada um percorreu exatamente.

• Ordene as frações da menor para a maior utilizando o símbolo $<$.

• Localize aproximadamente a posição da Ana (A), do Beto (B) e da Carla (C) na reta numérica apresentada a seguir.

Classifique os seguintes números decimais como exatos, dízimas periódicas simples ou dízimas periódicas compostas. Depois, exprima os que forem exatos em forma de fração irredutível.

1. a) $3,25$
2. b) $7,1111\dots$
3. c) $0,25$
4. d) $5,0424242\dots$

Num jogo eletrónico de estratégia, o mapa está dividido em diferentes zonas segundo o terreno.

O mapa total ocupa 1200 pixels quadrados.

• A floresta ocupa $\frac{1}{3}$ do mapa.

• A água ocupa $\frac{1}{4}$ do mapa.

• O restante é deserto.

• Quantos pixels quadrados ocupa a floresta?

• Quantos pixels quadrados ocupa a água?

• Calcule que fração irredutível do mapa o deserto representa.

Efetue as seguintes operações com frações. Lembre-se de que, para somar ou subtrair, deve-se obter primeiro o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) dos denominadores. Expresse o resultado na forma de fração irredutível.

1. a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$

1. b) $\frac{4}{5} - \frac{1}{2}$

1. c) $\frac{3}{4} + \frac{5}{12} - \frac{1}{3}$

O armazenamento do seu telemóvel está distribuído da seguinte maneira:

• As fotografias ocupam $\frac{2}{5}$ do espaço.

• As aplicações ocupam $\frac{1}{3}$ do espaço.

• Que fração do total ocupam as fotografias e as aplicações juntas?

• Se o restante espaço está livre, que fração representa o espaço livre?

• Se a capacidade total do telemóvel é de 60 GB, quantos GB ficam livres?

Calcula os seguintes produtos e divisões de frações. Lembra-te de simplificar o resultado final, se possível.

1. a) $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9}$

1. b) $\frac{2}{5} : \frac{4}{15}$

1. c) $\frac{5}{6} \cdot (-2)$

Nota: Lembra-te da regra dos sinais e de que um número inteiro tem denominador 1.

A Marta comprou uma pizza retangular grande para o jantar. Ao abrir a caixa, vê que a pizza vem cortada em 24 fatias iguais.

• A Marta come 4 fatias.

• O irmão, o Luís, come 6 fatias.

• Os pais comem 8 fatias, no total.

• Escreve a fração de pizza que cada um comeu (Marta, Luís e pais). Simplifica-as ao máximo.

• Que fração da pizza sobrou? Expressa o resultado como fração irredutível.

O Marcos está a resolver um exercício de potências na aula e comete um erro muito comum. No seu caderno aparece escrito o seguinte:

$$\left(-\frac{2}{5}\right)^{-3} = -\left(\frac{2}{5}\right)^3 = -\frac{2^3}{5^3} = -\frac{8}{125}$$

A sua colega Beatriz avisa-o de que o resultado final está errado porque aplicou de forma incorreta o significado do expoente negativo e o tratamento do sinal da base.

1. Explica fundamentadamente que dois erros concetuais o Marcos cometeu no seu desenvolvimento.

2. Escreve o desenvolvimento correto passo a passo, aplicando as propriedades das potências de números racionais, e indica a fração irredutível resultante.

Antes de calculares de forma exata o valor da seguinte expressão:

$$E = \left(1 - \frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2$$

1. Estima: Sem fazeres operações numéricas longas no papel, reflete e responde de forma justificada:

2. A base $\left(1 - \frac{2}{3}\right)$ é um número menor ou maior do que $1$? Ao elevá-la ao cubo, o resultado torna-se maior ou mais próximo de zero?

3. A base $\frac{5}{2}$ é maior ou menor do que $2$? Quanto vale aproximadamente o seu quadrado?

4. Com estas duas deduções, estima se o valor final de $E$ será menor do que $1$, estará entre $1$ e $2$, ou será maior do que $2$.

5. Verifica: Realiza agora o cálculo exato de $E$ respeitando a prioridade das operações, obtém a fração irredutível e calcula o seu valor decimal arredondado às centésimas para verificares se a tua estimativa inicial estava correta.

Calcule o valor da seguinte operação combinada, respeitando a ordem das operações (parênteses, potências, multiplicações/divisões, adições/subtrações). Simplifique o resultado final até obter a fração irredutível.

$$ \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right)^2 : \frac{5}{8} - \left( 1 - \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} \right) $$

O teu telemóvel tem uma capacidade de armazenamento total desconhecida. O sistema operativo ocupa $\frac{1}{6}$ da memória total. Do que fica livre, as tuas aplicações e jogos ocupam $\frac{3}{5}$. Se no final sobram 32 GB livres para as tuas fotografias e vídeos:

1. a) Que fração do total representa a memória livre para fotografias?
2. b) Qual é a capacidade total de armazenamento do telemóvel em GB?

Utiliza o seguinte esquema gráfico como auxílio para visualizares o problema:

Classifique os seguintes números decimais (exato, dízima periódica simples ou dízima periódica composta) e encontre a sua fração geratriz. Depois de obteres as frações, efetue a seguinte operação e simplifique o resultado:

$$ 1,2\widehat{5} - 0,\widehat{6} $$

No laboratório de Física, medimos o comprimento de uma mesa e a espessura de uma moeda. Os resultados foram:

• Comprimento da mesa: valor real $120 \text{ cm}$, valor medido $118 \text{ cm}$.

• Espessura da moeda: valor real $2 \text{ mm}$, valor medido $2,5 \text{ mm}$.

Calcule o erro absoluto e o erro relativo (em percentagem) de cada medição. Qual das duas medições foi mais precisa? Justifique a sua resposta com base no erro relativo.

Representa na reta numérica os números racionais $\frac{7}{4}$ e $-\frac{2}{3}$.

Para isso, utiliza o Teorema de Tales ou a divisão de segmentos para localizar os pontos de forma exata, não aproximada.

Desenha no teu caderno uma reta como a seguinte, com os números inteiros marcados (convém que a unidade seja grande, por exemplo 6 cm), e faz sobre ela a tua construção:

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Três amigos compram um presente de aniversário que custa 60 €.

• A Matilde contribui com $\frac{1}{3}$ do preço total.

• O Berto contribui com $\frac{2}{5}$ do preço total.

• A Carla paga o restante.

1. a) Que fração do total paga a Carla?
2. b) Quantos euros contribui cada um?

Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 27 metros. Em cada ressalto, a bola sobe uma altura equivalente a $\frac{2}{3}$ da altura anterior.

1. a) Escreva a fração e a altura, em metros, que a bola atinge após o primeiro ressalto.
2. b) Escreva a fração e a altura, em metros, que a bola atinge após o segundo ressalto.
3. c) A que altura subirá a bola após o terceiro ressalto?

Dispomos de um bidão de óleo com capacidade de 120 litros.

Queremos encher todo o óleo em dois tipos de recipientes:

• Enchemos 40 garrafas de $\frac{3}{4}$ de litro cada uma.

• O restante do óleo é colocado em garrafões de $1,5$ litros.

Quantos garrafões de 1,5 litro serão necessários para envasar o óleo restante?

Nota: Lembra-te de que 1,5 litro pode ser expresso como a fração $\frac{3}{2}$.

Num teste do 3.º ano do ESO propõe-se simplificar ao máximo a seguinte operação combinada com potências:

$$A = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(-\frac{4}{9}\right)^{-2}}{\left(\frac{8}{27}\right)^{-1}}$$

Dois alunos propõem caminhos distintos para chegar à fração irredutível:

• Método do Sergio: Desenvolver diretamente os números naturais (elevar $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, inverter $(-4/9)$ para $(-9/4)^2 = 81/16$, etc.), multiplicar as frações resultantes e finalmente simplificar dividindo pelo máximo divisor comum.

• Método da Irene: Decompor todos os números que aparecem em fatores primos ($4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $8 = 2^3$, $27 = 3^3$), expressar cada potência com bases $2$ e $3$, gerir os sinais das bases e operar somando ou subtraindo expoentes através das propriedades das potências.

• Resolve a expressão utilizando o Método da Inês detalhando cada passo.

• Compara ambos os métodos e justifica por que razão o da Inês é muito mais conveniente e seguro do que o do Sérgio quando trabalhamos com números racionais e potências elevadas.

Devido a um prolongado período sem precipitação no sul de Portugal, os técnicos do Ministério do Ambiente analisam a reserva de água de uma albufeira que tem uma capacidade máxima de $160\text{ hm}^3$. No início de junho, a albufeira encontra-se a $\frac{3}{4}$ da sua capacidade total.

Durante os meses de junho, julho e agosto, a albufeira não recebe afluências de chuva e, devido à rega e à evaporação, o volume retido no final de cada mês passa a ser exatamente $\frac{4}{5}$ do volume que havia no final do mês anterior.

1. Modela a situação escrevendo uma única expressão matemática com potências de frações que represente a fração da capacidade máxima total da albufeira que resta no final dos três meses.

2. As normas de bacia hidrográfica obrigam a ativar um protocolo de emergência se as reservas descerem abaixo dos $65\text{ hm}^3$. Calcula o volume exato de água disponível no final de agosto (sob a forma de fração irredutível e em valor decimal com vírgula) e determina, de forma justificada, se é necessário ativar o referido protocolo.

Calcula o valor exato da seguinte expressão combinada. Para isso, deves converter previamente todos os números decimais na sua fração geratriz irredutível e simplificar cada passo antes de operar. Tem cuidado com a hierarquia das operações e os sinais negativos.

$$ \frac{2^{-2} - \left( 1,1\widehat{6} - \frac{5}{6} \right)^{-1} \cdot \sqrt{\frac{16}{81}}}{0,\widehat{3} \cdot \left( 1 - \frac{3}{2} \right)^2 + 2,5} $$

Nota: Lembra-te de que $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Um grupo de alunos do 9.º ano está a organizar o financiamento da sua viagem de finalistas. Elaboraram um plano de angariação de fundos por etapas:

1. Na primeira etapa (venda de rifas), conseguiram angariar $\frac{2}{5}$ do custo total da viagem.

2. Na segunda etapa (torneio de e-sports), angariaram $\frac{3}{4}$ do que faltava para conseguir após a primeira etapa.

3. Na terceira etapa (feira solidária), conseguiram $\frac{2}{3}$ do novo restante que lhes sobrava.

Se após estas três etapas ainda faltam 150 € para cobrir o custo total:

1. a) Que fração do total representa o valor angariado na terceira etapa?
2. b) Qual é o custo total da viagem?
3. c) Quanto dinheiro angariaram no torneio de e-sports?

Apoia-te no seguinte diagrama de barras para visualizar as frações do restante:

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Duas impressoras 3D estão a trabalhar para imprimir as peças de um projeto de tecnologia.

• A impressora modelo A (mais antiga) levaria 6 horas para imprimir todas as peças sozinha.

• A impressora modelo B (de última geração) levaria apenas 4 horas para realizar o mesmo trabalho completo sozinha.

Para acelerar o processo, ambas são colocadas a funcionar simultaneamente. No entanto, após 1 hora e meia a funcionar juntas, a impressora B avaria e para.

1. a) Que fração do trabalho total completaram elas juntas antes da avaria?
2. b) Que fração do trabalho fica pendente?
3. c) Quanto tempo extra levará a impressora A a terminar sozinha o trabalho restante? Expressa o resultado em horas e minutos.

Temos uma peça quadrada de material condutor para um circuito. São realizados cortes sucessivos seguindo um padrão geométrico fractal:

1. O quadrado original é dividido em 4 quadrados iguais e elimina-se (pinta-se de preto) o quadrado superior esquerdo.

2. Dos 3 quadrados verdes restantes, cada um é novamente dividido em 4 quadrados iguais e elimina-se o superior esquerdo de cada um deles.

Observa a figura gerada após o segundo passo:

1. a) Escreve a operação combinada de frações que calcula qual parte da área total foi eliminada (zonas sombreadas) após o segundo passo.
2. b) Se o lado do quadrado original mede $1 \text{ m}$, quantos $\text{cm}^2$ de material "branco" (não eliminado) restam após o segundo passo?

Encontra uma fração irredutível $\frac{a}{b}$ que seja o resultado de efetuar:

$$ 2,3\widehat{1} - 0,\widehat{5} + \frac{1}{11} \cdot 0,5 $$

Se tentares fazer esta operação convertendo para decimais e operando, obterás um erro de aproximação. Demonstra algebricamente, usando frações geratrizes, que o resultado é exato.

A seguir, calcula o erro absoluto e o erro relativo (em %) que seria cometido se aproximássemos o número $2,3\widehat{1}$ simplesmente por $2,31$ antes de começar a operar.

Um biólogo está a preparar uma cultura de bactérias e precisa de uma temperatura ambiente muito específica.

O termostato do laboratório tem uma escala um pouco estranha marcada em frações de grau.

A temperatura ideal $T$ deve cumprir a seguinte condição de distância (valor absoluto):

$$ \left| T - \frac{25}{4} \right| \leq \frac{3}{8} $$

1. a) Represente na reta numérica o conjunto de todos os valores possíveis de temperatura $T$ (intervalo).
2. b) Escreva o intervalo solução usando desigualdades e frações.
3. c) Seria válida uma temperatura de $6,65^\circ \text{C}$? Justifique a sua resposta efetuando operações com frações.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Temos três reservatórios de sumo com capacidades diferentes:

• Reservatório A: Cheio até $\frac{3}{5}$ da sua capacidade.

• Reservatório B: Cheio até $\frac{5}{6}$ da sua capacidade.

• Reservatório C: Vazio, com capacidade de 100 litros.

Sabemos que a capacidade total do reservatório A é $\frac{2}{3}$ da capacidade do reservatório B.

Se despejarmos o conteúdo atual de A e de B para dentro do reservatório C, a mistura ocupa exatamente $\frac{11}{20}$ da capacidade de C.

Calcule a capacidade máxima (volume total) dos reservatórios A e B.

Deixa-se cair uma bola de borracha muito elástica de uma altura de 243 cm.

Cada vez que rebota no solo, a bola sobe a uma altura que é igual a $\frac{2}{3}$ da altura de onde caiu anteriormente.

1. a) Escreva a sucessão de alturas (em forma de potências e frações) que a bola atinge no primeiro, segundo e terceiro ressaltos.
2. b) A que altura subirá após o quinto ressalto? Expresse o resultado como fração irredutível e depois converta para decimal.
3. c) Qual a distância total que a bola terá percorrido (somando descidas e subidas) exatamente quando tocar o solo pela quarta vez?

Tem-se a seguinte igualdade na qual intervém uma potência com expoente inteiro desconhecido $x$:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{9}{4}\right)^{-2} : \left(\frac{3}{2}\right)^{-3} = \frac{27}{8}$$

1. Exprime todas as potências e o resultado final como potências de uma única fração base da forma $\frac{3}{2}$. Aplica as propriedades das potências de expoente negativo e de potências de uma potência.

2. Escreve uma equação simples com os expoentes e deduz de forma justificada o valor inteiro de $x$.

3. Encontra agora uma fração irredutível positiva $\frac{a}{b}$ e um expoente inteiro estritamente negativo $n < 0$ tais que, ao multiplicar $\left(\frac{a}{b}\right)^n$ pelo resultado da expressão original ($\frac{27}{8}$), se obtenha exatamente a unidade ($1$). Justifica a tua escolha.

O departamento de tecnologia de uma escola secundária compra um lote de computadores portáteis avaliado em $9\,600\text{ €}$. Pelo uso intensivo e pela desatualização tecnológica, os equipamentos sofrem uma depreciação contínua: a cada ano perdem uma terça parte do valor contabilístico que tinham no ano anterior.

A escola pondera duas opções para quando os equipamentos atingirem determinada antiguidade:

• Plano Renove aos 3 anos ($t = 3$): Vender o lote a uma empresa de recondicionamento pelo valor contabilístico exato que tenham nesse momento.

• Plano Renove aos 4 anos ($t = 4$): Manter os computadores mais um ano na escola e vendê-los aos 4 anos pelo seu valor contabilístico nessa data, mas adicionando um subsídio fixo institucional de reciclagem digital de $300\text{ €}$ para a escola.

• Escreve a fórmula que exprima o valor contabilístico $V(t)$ em função dos anos decorridos $t$, utilizando uma potência de base racional irredutível.

• Calcula o valor contabilístico exato do lote ao fim de $3$ anos e ao fim de $4$ anos, simplificando as frações antes de obteres o montante em euros.

• Analisa qual dos dois planos proporciona maiores receitas económicas à escola e calcula a diferença económica exata entre ambas as opções.