Exercícios: Lugares geométricos

Um jovem treina o seu cão num terreno baldio. O cão está preso a uma trela extensível de $5$ metros de comprimento máximo, ancorada a uma estaca cravada no chão. Desenha e descreve o lugar geométrico formado pelas posições por onde o cão pode mover-se se mantiver a trela sempre tensa (isto é, esticada ao máximo). Escolhe uma escala adequada, por exemplo $1$ cm no desenho equivale a $1$ m na realidade, e assinala no teu desenho a estaca e a posição do cão.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Duas aldeias, Aldeia A e Aldeia B, estão situadas a uma distância de $8$ km uma da outra, como mostra a figura. As autoridades querem construir uma paragem de autocarro que esteja exatamente à mesma distância de ambas as aldeias. Em que linha ou lugar geométrico devem situar a paragem? Representa-o graficamente no teu caderno.

Num museu, duas paredes formam um ângulo de $70^\circ$. Pretende-se instalar uma montra que esteja situada sempre à mesma distância de ambas as paredes. Desenha o ângulo e traça o lugar geométrico onde se poderiam colocar os objetos da montra. Como se chama tecnicamente esta linha?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Identifique o ponto notável do triângulo descrito em cada caso:

1. a) É o ponto que equidista dos três vértices do triângulo.
2. b) É o ponto onde se cortam as três alturas de um triângulo.
3. c) É o centro da circunferência inscrita no triângulo (a que toca os seus três lados).
4. d) É o centro de gravidade do triângulo e o ponto onde se cortam as medianas.

Desenha no teu caderno um triângulo cujos lados meçam $6$ cm, $8$ cm e $10$ cm (na figura tens um esquema do triângulo). Traça as suas três mediatrizes e marca o ponto onde se cortam. Comprova, usando o compasso, que esse ponto é o centro de uma circunferência que passa pelos três vértices. Que nome recebe esse ponto?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Um parque tem forma triangular, como mostra a figura. Quer-se instalar uma fonte no interior do parque de modo que a distância da fonte a cada um dos três caminhos (lados do parque) seja a mesma.

1. a) Que retas notáveis do triângulo terias de desenhar para encontrar a localização?

1. b) Como se chama o ponto resultante?

Foi projetada uma nova ciclovia reta que passa pelo centro de uma cidade. Por segurança, não é permitido construir nenhum edifício a menos de $15$ metros dessa ciclovia. Descreve o lugar geométrico que delimita a zona proibida dos dois lados da ciclovia e desenha um esquema simples.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

É possível que num triângulo coincidam o circuncentro, o incentro, o baricentro e o ortocentro no mesmo ponto? Em caso afirmativo, indica que tipo de triângulo deve ser e desenha-o marcando esse ponto.

Na aula do 3.º ano do Ensino Básico (3.º ESO), o professor pede para definir e traçar o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância de dois postes, $A$ e $B$, separados por uma distância de $6\text{ m}$. O Sérgio escreve no seu caderno:\n\n«O lugar geométrico é o segmento de $6\text{ m}$ de comprimento que passa exatamente pelo ponto médio entre $A$ e $B$ e é perpendicular à linha que os une; se sairmos desses $6\text{ m}$, os pontos já não podem estar à mesma distância de $A$ e de $B$ porque estariam demasiado longe».\n\na) Identifica os dois erros conceptuais que o Sérgio comete no seu raciocínio.\nb) Explica por que razão a distância a que se encontra um ponto não o impede de pertencer a esse lugar geométrico e redige a definição correta do lugar geométrico de que se trata.

Num campo polidesportivo, duas balizas de treino estão situadas nos pontos $A$ e $B$, separadas exatamente por $8\text{ m}$. Queremos colocar uma bola numa posição que cumpra duas condições ao mesmo tempo: estar à mesma distância de $A$ e de $B$, e encontrar-se exatamente a $5\text{ m}$ da baliza $A$.\n\na) Estima: antes de fazer cálculos ou traçados precisos, estima de forma justificada quantas posições possíveis existem no campo para colocar a bola (nenhuma, uma, duas ou infinitas?). Apoia a tua previsão na comparação intuitiva entre o raio de busca e a distância entre as balizas.\nb) Verifica: identifica formalmente que dois lugares geométricos correspondem a cada condição. Em seguida, calcula a distância exata a que a bola ficará da linha reta que une $A$ e $B$ aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo correspondente, e conclui se a tua estimativa inicial estava correta.

No pátio de uma escola secundária, duas antenas de Wi-Fi estão situadas nos pontos $A$ e $B$, separados por uma distância de $12$ metros (a figura mostra apenas as antenas). Um aluno procura um lugar para se sentar onde receba a mesma intensidade de sinal de ambas as antenas.

1. a) Descreve que lugar geométrico formam todos os pontos que estão à mesma distância de $A$ e de $B$.

1. b) Se o estudante, além disso, quiser estar exatamente a $10$ metros da antena $A$, em quantos pontos possíveis do pátio poderia situar-se? Explica que figuras geométricas terias de desenhar para os encontrar.

Uma câmara municipal quer instalar um candeeiro numa pequena praça de forma triangular cujos vértices estão situados nos pontos $P$, $Q$ e $R$ (vê a figura). Decidiram que o candeeiro deve estar à mesma distância das três esquinas (vértices) da praça para que a iluminação seja equilibrada.

1. a) Como se chama o ponto notável do triângulo onde devem instalar o candeeiro?

1. b) Que retas notáveis do triângulo é necessário traçar para localizar esse ponto? Desenha-o de forma esquemática.

Duas ruas retas de um bairro, a Rua Maior e a Rua Menor, cruzam-se num ponto $O$ formando um ângulo de $60^\circ$, como se vê na figura. Quer-se colocar um caixote do lixo que cumpra duas condições: que esteja à mesma distância de ambas as ruas e que diste exatamente $5$ metros do ponto de interseção $O$. Considera as ruas como retas que se prolongam indefinidamente nos dois sentidos.

1. a) Define o lugar geométrico que cumpre a primeira condição (estar à mesma distância de ambas as ruas).

1. b) Utiliza o conceito de lugar geométrico para explicar como determinarias a posição exata do caixote do lixo. Quantas soluções possíveis existem no total?

Num treino de futebol, uma bola é colocada num ponto que dista o mesmo das duas linhas laterais (paralelas entre si). Se a largura do campo é de $60$ metros:

1. a) Descreva o lugar geométrico onde a bola pode estar.
2. b) Se o treinador acrescentar uma restrição e disser que a bola deve estar a $20$ metros de uma bandeira de canto específica, desenhe o esquema da situação e identifique os pontos que cumprem ambas as condições.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um designer gráfico está a criar um logótipo baseado num triângulo escaleno. Quer inscrever uma circunferência no interior do triângulo, de modo que seja tangente aos três lados.

1. a) Qual é o ponto notável do triângulo que deve ser o centro dessa circunferência?
2. b) Se a distância desse centro a um dos lados é de $3$ cm, qual será a distância aos outros dois lados? Justifica a tua resposta com base na definição de tal lugar geométrico.

Três amigos, Alba, Bruno e Carla, estão num parque, formando um triângulo. Alba e Bruno estão a $10$ metros de distância. Carla observa que se encontra num ponto tal que o ângulo formado pelas visuais para Alba e Bruno é sempre de $90^\circ$. A figura mostra uma das posições possíveis de Carla.

1. a) Como se chama o lugar geométrico onde se encontra Carla?
2. b) Se Carla se mover mantendo sempre esse ângulo de $90^\circ$ em relação aos seus amigos, que figura geométrica descreveria a sua trajetória? Indica onde está o seu centro e quanto mede o seu raio.

Foi concebido um jogo de tabuleiro onde uma peça deve ser colocada no "centro de gravidade" de uma peça triangular de cartão para que se mantenha em equilíbrio sobre a ponta de um lápis. Os lados do triângulo medem $15$ cm, $20$ cm e $25$ cm. Na figura podes ver a peça $ABC$ (com o ângulo reto em $A$), as suas três medianas e o ponto $P$ onde se coloca a peça.

1. a) Que nome recebe este ponto de equilíbrio em geometria?
2. b) Se traçarmos uma das medianas deste triângulo, em que proporção divide o ponto de equilíbrio essa mediana? Expressa a relação entre a distância do ponto ao vértice e a distância do ponto ao lado oposto.

Uma empresa de logística quer localizar um armazém central que sirva três lojas situadas nos pontos $A(2, 6)$, $B(2, 0)$ e $C(10, 0)$ (unidades em km). Para minimizar os custos de transporte, o armazém deve estar à mesma distância das três lojas.

1. a) Determina as coordenadas do ponto onde deve ficar o armazém através do estudo das mediatrizes.

1. b) Como se chama o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância de $5$ km do ponto $B$? A loja $C$ estaria dentro dessa zona?

Os serviços de emergência de uma região de Portugal estudam localizar uma base de ambulâncias regional que responda com o mesmo tempo de resposta aos centros urbanos de três municípios: Santarém ($A$), Torres Novas ($M$) e Tomar ($O$). As distâncias em linha reta entre os seus centros são aproximadamente: $AM = 34\text{ km}$, $AO = 22\text{ km}$ e $MO = 20\text{ km}$. Decide-se situar a base num ponto que seja equidistante dos três municípios.\n\na) Modela a situação: define que lugar geométrico determina os pontos que são equidistantes de dois municípios quaisquer e que ponto notável do triângulo formado por $A$, $M$ e $O$ representa a localização da base.\nb) Aplica a relação entre os lados de um triângulo ($c^2$ em comparação com $a^2 + b^2$) para classificar o triângulo $AMO$ em acutângulo, retângulo ou obtusângulo.\nc) A partir da classificação anterior, justifica se a base ficará dentro do triângulo delimitado pelas três localidades ou fora dele. Explica que consequência prática tem esta propriedade dos lugares geométricos para a gestão do território.

Num plano cartesiano de desenho urbanístico, deseja-se que a fronteira de divisão de serviço entre dois repetidores, $A$ e $B$ (ou seja, a mediatriz do segmento $AB$), seja exatamente a reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, cuja equação é $y = x$.\n\na) Se o repetidor $A$ for instalado no ponto de coordenadas $(0, 8)$, deduz de forma fundamentada as coordenadas em que deve situar-se obrigatoriamente o repetidor $B$. Confirma a tua dedução verificando que o ponto médio do segmento $AB$ pertence à reta $y = x$ e que o segmento $AB$ é perpendicular a ela.\nb) Generaliza: formula que relação algébrica deve existir entre as coordenadas $(x_A, y_A)$ e $(x_B, y_B)$ de qualquer par de pontos para que a sua mediatriz continue a ser a reta $y = x$. Propõe outros dois pares de pontos distintos que partilhem essa mesma mediatriz.

Uma equipa de resgate de montanha recebe sinais de dois excursionistas perdidos, situados nos pontos $A$ e $B$. O centro de comando sabe que a zona de busca é formada pelos pontos que estão exatamente à mesma distância de $A$ e de $B$. O helicóptero de resgate deve seguir uma trajetória retilínea representada por uma estrada secundária $r$. Num mapa de coordenadas, os pontos são $A(1, 6)$ e $B(5, 2)$, e a estrada segue a direção da reta que passa por $(0, 0)$ e $(4, 8)$.

Determina, mediante raciocínios de lugares geométricos, o ponto exato onde o helicóptero cruzará a linha onde poderiam encontrar-se os excursionistas.

Deseja-se instalar uma antena de telecomunicações que sirva três aldeias situadas nos vértices de um triângulo cujos lados medem $13\text{ km}$, $14\text{ km}$ e $15\text{ km}$. O engenheiro-chefe decide que a antena deve estar no circuncentro do triângulo para que a distância às três aldeias seja a mesma. Se a área do triângulo é de $84\text{ km}^2$, calcule o raio de cobertura que a antena deve ter (a distância do circuncentro a qualquer um dos vértices), sabendo que, em qualquer triângulo, o raio da circunferência circunscrita satisfaz a relação $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot \text{Área}}$.

Num parque de diversões, uma nova atração de "voo suspenso" move-se de modo que se mantém sempre à mesma distância de duas torres de controlo fixas, $T_1$ e $T_2$, separadas entre si por $30$ metros.

1. Identifica de que lugar geométrico se trata e descreve-o.

2. Se situarmos as torres nos pontos $T_1(-15, 0)$ e $T_2(15, 0)$ de um plano (unidades em metros), que reta descreve a trajetória da atração? Indica a sua equação.

3. A atração passa exatamente por cima de uma cabine de manutenção situada no ponto $P(0, 20)$. Verifica que a cabine equidista das duas torres calculando ambas as distâncias.

Um arquiteto projeta uma praça triangular cujos lados medem $30$, $40$ e $50$ metros. No interior, quer colocar uma fonte que esteja à mesma distância das três ruas (os três lados do triângulo).

1. Como se chama o ponto que determina a posição da fonte?

2. Calcule a distância da fonte a cada uma das ruas. (Ajuda: A área de um triângulo também pode ser calculada como o produto do semiperímetro pelo raio da circunferência inscrita, $A = s \cdot r$).

Considera duas retas secantes $r$ e $s$ que se cortam num ponto $V$ formando um ângulo de $60^\circ$. Pretende-se desenhar uma circunferência de raio $10\text{ cm}$ que seja tangente a ambas as retas e esteja situada no interior do ângulo de $60^\circ$ representado na figura.

1. a) Explica em que linha deve encontrar-se o centro $O$ dessa circunferência.

1. b) Calcula a que distância do ponto de interseção $V$ das duas retas se deve situar o centro da circunferência. (Ajuda: ao unir o centro com o ponto de tangência forma-se um triângulo retângulo; usa as propriedades dos triângulos com ângulos de $30^\circ$ e $60^\circ$).

Duas boias de salvamento, $A$ e $B$, flutuam no mar separadas por uma distância de $8$ km. Os serviços de resgate querem instalar uma plataforma que cumpra duas condições ao mesmo tempo: que equidiste de ambas as boias e que diste exatamente $5$ km da boia $A$.

No mapa da figura, com unidades em km, as boias estão em $A(0, 0)$ e $B(8, 0)$.

1. a) Que lugar geométrico formam os pontos que equidistam de $A$ e de $B$? E os pontos que distam $5$ km de $A$?

1. b) Em quantos pontos distintos se pode instalar a plataforma? Justifica-o raciocinando sobre a posição relativa dos dois lugares geométricos anteriores.

1. c) Calcula as coordenadas de todos os pontos onde pode ser instalada a plataforma. (Ajuda: utiliza o teorema de Pitágoras).

Um farol emite um sinal que só é recebido a uma distância inferior a $10\text{ km}$. Uma embarcação move-se ao longo de uma costa retilínea $c$ que está a $8\text{ km}$ de distância do farol no seu ponto mais próximo.

1. Descreva o lugar geométrico dos pontos da costa que recebem o sinal do farol.

2. Calcule o comprimento do troço da costa no qual a embarcação estará dentro do raio de alcance do farol.

Num triângulo isósceles $ABC$, com $AB = AC$, sabemos que o baricentro (ponto onde se cortam as medianas), o ortocentro (ponto onde se cortam as alturas) e o circuncentro (ponto onde se cortam as mediatrizes) estão todos alinhados sobre uma mesma reta.

1. Essa reta coincide com a mediana, a altura, a mediatriz e a bissetriz traçadas a partir do vértice $A$. Qual é a sua relação com o eixo de simetria do triângulo? Justifique a sua resposta.

2. Se a base $BC$ mede $12\text{ cm}$ e a altura correspondente a essa base mede $9\text{ cm}$, determine a que distância da base se encontra o baricentro, sabendo que o baricentro divide cada mediana em dois segmentos de modo que o que chega ao vértice tem o dobro do comprimento do outro.

Uma cooperativa agrícola compra um terreno triangular com vértices nos cruzamentos de três estradas municipais retas. As estradas formam um triângulo retângulo cujos lados medem $60\text{ m}$, $80\text{ m}$ e $100\text{ m}$. É necessário construir um poço comunitário dentro da parcela e debatem-se dois métodos geométricos baseados em lugares geométricos:\n\n- Método 1: situar o poço no circuncentro do terreno (interseção das mediatrizes), com o argumento de que deve estar à mesma distância dos três vértices (cruzamentos de estradas).\n- Método 2: situar o poço no incentro do terreno (interseção das bissetrizes internas), com o argumento de que deve estar à mesma distância das três estradas (lados do terreno).\n\nPara garantir a segurança da maquinaria e evitar descargas, a regulamentação agrícola exige que o poço esteja localizado estritamente no interior do terreno e à maior distância possível da berma de qualquer estrada.\n\na) Analisa a viabilidade de ambos os métodos calculando a que distância exata ficaria o poço de cada uma das três estradas no Método 1 e no Método 2 (podes calcular o raio da circunferência inscrita igualando a área do triângulo, $A = \frac{b \cdot h}{2}$, à soma das áreas dos três triângulos formados a partir do incentro, $A = \frac{a+b+c}{2} \cdot r$).\nb) Justifica criticamente qual dos dois métodos deve ser escolhido e por que razão o outro é completamente inadmissível de acordo com a regulamentação exigida.

A Autoridade Marítima deteta um sinal de socorro nas imediações do Cabo de São Vicente. Duas estações costeiras situadas em Sagres ($T$) e Lagos ($A$), separadas por $20\text{ km}$ em linha reta, coordenam a busca a partir de três dados técnicos:\n\n1. A intensidade do sinal recebido é idêntica em ambas as estações costeiras.\n2. A autonomia do barco de resgate com base em Sagres permite-lhe cobrir um raio máximo de busca de $15\text{ km}$ a partir dessa estação.\n3. Para evitar os recifes e o canal de navegação costeira muito movimentado, descarta-se qualquer posição cuja distância à linha reta que une Sagres e Lagos seja inferior ou igual a $6\text{ km}$.\n\na) Modela matematicamente o problema traduzindo cada uma das três condições para a linguagem dos lugares geométricos (mediatriz, circunferência/círculo ou faixas paralelas de distância a uma reta).\nb) Deduz com rigor a forma geométrica da zona onde a embarcação se pode encontrar: determina se se trata de uma região bidimensional ou de um conjunto de segmentos, e calcula a distância mínima e máxima à linha reta $TA$ dos pontos que formam essa zona.\nc) Se uma boia sonar confirmar que a distância exata da embarcação a Sagres é de $12,5\text{ km}$, calcula quantas localizações possíveis restam para a embarcação e a que distância exata da linha reta $TA$ se encontra cada uma delas.