Exercícios: Ângulos, comprimentos e áreas

Um designer está a criar um mosaico para o piso de uma praça utilizando ladrilhos com formato de hexágono regular. Calcule quanto mede a soma de todos os ângulos internos do hexágono e qual é o valor de cada um dos seus ângulos internos.

A Câmara Municipal quer vedar um parque retangular que mede $40$ metros de comprimento e $30$ metros de largura. Além disso, quer construir um caminho em linha reta que cruze o parque de um canto ao canto oposto (a diagonal). Utilize o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento desse caminho.

Uma empresa de sinalização está a fabricar uma placa de "Cuidado" com formato de losango. Se as diagonais do losango medem $16$ cm e $12$ cm respetivamente, calcule a área da placa de metal necessária para a fabricar.

Numa pizzaria, uma pizza familiar tem um diâmetro de $40$ cm. Se cortarmos uma fatia que forma um setor circular com um ângulo central de $60^\circ$, calcule a área dessa fatia de pizza. (Utilize $\pi \approx 3,14$).

Observe a seguinte circunferência de centro $O$. Se o ângulo central $\angle AOB$ mede $80^\circ$, calcule o valor do ângulo inscrito $\angle ACB$ que abrange o mesmo arco.

Um centro desportivo tem uma piscina com um formato peculiar: um retângulo de $20$ m por $10$ m e, num dos seus lados menores, foi adicionada uma área semicircular para crianças. Calcule o perímetro total da piscina. (Utilize $\pi \approx 3,14$).

Calcule a área de um pentágono regular sabendo que o seu lado mede $10$ cm e o seu apótema mede aproximadamente $6,88$ cm.

Para medir a altura a que se encontra um candeeiro partido numa zona industrial de Matosinhos, o Marcos apoia uma escada de mão de $5\text{ m}$ de comprimento no topo do poste, ficando o pé da escada a $3\text{ m}$ da base do poste no chão horizontal. Para calcular a altura $h$ do candeeiro, o Marcos escreve no seu caderno:

$$h^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34 \implies h = \sqrt{34} \approx 5,83\text{ m}$$

1. a) Explica, sem realizar operações adicionais, por que razão o resultado numérico obtido pelo Marcos é fisicamente impossível neste contexto.
2. b) Identifica o erro concetual que o Marcos cometeu ao aplicar o teorema de Pitágoras.
3. c) Corrige o procedimento e calcula a altura real do candeeiro.

Nas obras de remodelação de uma praça pedonal em Évora vão ser colocadas lajes de pedra com a forma de um polígono regular. O arquiteto municipal especificou nas plantas que cada um dos ângulos internos dessas lajes deve medir exatamente $135^\circ$.

1. a) Apresenta uma equação a partir da fórmula que relaciona o número de lados $n$ de um polígono regular com a amplitude dos seus ângulos internos e resolve-a para descobrires de que polígono regular se trata.
2. b) Os operários querem colocar estas lajes no chão unindo-as unicamente pelos seus bordos. É possível pavimentar a praça utilizando exclusivamente este tipo de lajes sem deixar nenhum espaço vazio nem sobreposições? Justifica a tua resposta analisando quantos graus devem somar os ângulos que coincidem num mesmo vértice.

Um operário de manutenção quer instalar uma câmara de segurança no canto de um armazém retangular. Para isso, apoia uma escada de $5$ metros de comprimento de modo que o pé da mesma dista exatamente $1,4$ metros da parede. No entanto, apercebe-se de que, para ter o ângulo de visão correto, precisa que a câmara esteja $60$ cm mais alta. Que comprimento mínimo deveria ter a nova escada se mantiver o pé no mesmo ponto?

Uma empresa de design está a criar um novo logótipo baseado num hexágono regular de $6$ cm de lado. Dentro do hexágono, traçaram as diagonais que ligam vértices alternados, formando uma "estrela de David" ou hexagrama. Calcule o valor dos ângulos internos dos triângulos que formam a estrela e determine a área da parte sombreada (a estrela central), sabendo que o apótema do hexágono original é aproximadamente $5,2$ cm.

Um arquiteto projetou uma janela para um centro cultural com a forma de um trapézio isósceles. A base maior mede $2,8$ metros, a base menor mede $1,6$ metros e os lados não paralelos medem $1,2$ metros cada um. Para o orçamento, precisa calcular a área total do vidro e a soma dos ângulos internos da janela para encomendar a moldura metálica. Qual é a área da janela?

Estamos a desenhar um parque infantil com uma zona de jogos circular. Na planta, desenhámos um triângulo inscrito na circunferência da zona de jogos de modo que um dos lados do triângulo coincide exatamente com o diâmetro da circunferência, que mede $10$ metros. Se outro dos lados mede $6$ metros:

1. a) Justifica de que tipo é o triângulo atendendo aos seus ângulos.

1. b) Calcula a área da região da zona de jogos que fica fora do triângulo (a parte sombreada da figura).

Numa praça da tua cidade existe um ladrilho gigante com formato de coroa circular. O raio do círculo exterior é de $4$ metros. Sabe-se que a área da parte transitável (a coroa em si) é de $7\pi$ $m^2$. Calcula o raio do círculo interior e determina o comprimento da vedação circular que seria necessário colocar para vedar apenas o buraco interior.

Um mastro de sinalização de $8$ metros de altura projeta uma sombra de $6$ metros sobre o solo às 11:00 da manhã. Nesse mesmo instante, a sombra de uma torre de refrigeração próxima mede $45$ metros.

1. Utilize a semelhança de triângulos para calcular a altura da torre.

2. Se o cabo de segurança que vai do topo do mastro de sinalização até à extremidade da sua sombra estivesse esticado, qual seria o seu comprimento?

Calcula a área de um segmento circular de $90^\circ$ de amplitude pertencente a uma circunferência de raio $12$ cm.

Um terreno tem a forma de um paralelogramo com uma base de $15$ metros e uma altura de $8$ metros. Num dos cantos, o proprietário instalou um aspersor que irriga num ângulo de $60^\circ$ com um alcance de $6$ metros.

1. Calcule a área total do terreno.

2. Calcule a área do terreno que fica sem irrigar.

No desenho de uma nova rotunda em Coimbra projeta-se uma zona ajardinada central com a forma de um hexágono regular de $10\text{ m}$ de lado, a qual fica inscrita dentro de um lancil circular exterior cujos vértices coincidem com os do hexágono.

1. a) Antes de realizares cálculos detalhados, estima mentalmente que percentagem da área total do círculo ocupará aproximadamente a zona ajardinada hexagonal (por volta de $50\,\%$, de $80\,\%$ ou superior a $95\,\%$?). Justifica a tua intuição comparando visualmente ambas as figuras geométricas.
2. b) Calcula o valor da área do círculo circunscrito e a área do hexágono regular (determina primeiro o seu apótema aplicando o teorema de Pitágoras num dos triângulos equiláteros que o formam). Considera $\pi \approx 3,14$.
3. c) Obtém a percentagem real de superfície que o hexágono ocupa em relação ao círculo e compara-a com a tua estimativa inicial para avaliares se a tua previsão foi razoável.

Uma torre de vigilância florestal do serviço de emergência está situada no cimo de um monte na região da Serra da Estrela. A torre dispõe de um alcance visual direto de $12\text{ km}$ em redor em todas as direções ($360^\circ$). No entanto, uma formação rochosa situada a noroeste bloqueia completamente a visão num setor angular de $60^\circ$. O plano de prevenção classifica a zona que é visível a partir da torre em duas categorias:

• Zona de intervenção rápida: a uma distância menor ou igual a $4\text{ km}$ da torre.

• Zona de alerta regional: a uma distância superior a $4\text{ km}$ e até ao alcance máximo de $12\text{ km}$.

1. a) Modela a situação calculando a superfície total de floresta (em $\text{km}^2$) que os vigilantes conseguem supervisionar efetivamente a partir da torre (considera $\pi \approx 3,14$).
2. b) Calcula a área correspondente à «zona de alerta regional» visível.
3. c) Se os serviços de emergência detetarem uma coluna de fumo na zona visível, é mais provável que o foco se encontre na zona de intervenção rápida ou na de alerta regional, assumindo que o risco se distribui de forma homogénea pelo terreno? Justifica a tua resposta comparando quantitativamente ambas as áreas.

Um arquiteto está a projetar uma grande janela para um museu com uma forma geométrica particular. O projeto consiste num triângulo isósceles cujos lados iguais medem $10\text{ m}$ e cuja base mede $12\text{ m}$. No interior, deseja colocar um painel solar retangular cuja base esteja apoiada na base do triângulo e cujos dois vértices superiores toquem os lados iguais do triângulo. Se o arquiteto quer que a altura do retângulo seja exatamente metade da sua base, calcule as dimensões do retângulo e a área da região do triângulo que fica por cobrir pelo painel solar.

Num parque tecnológico foi construída uma praça com forma de hexágono regular de $20\text{ m}$ de lado. No centro da praça instalou-se uma fonte circular cuja borda é tangente a todos os lados do hexágono. A Câmara Municipal quer pavimentar com pisos especiais apenas a superfície compreendida entre a fonte e o perímetro do hexágono. Calcule a área que deve ser pavimentada utilizando $\pi \approx 3,1416$ e arredondando o resultado às centésimas.

Uma empresa de design gráfico está a criar um novo logótipo baseado nas propriedades da circunferência. Desenharam uma circunferência de raio $R = 8\text{ cm}$. Dentro dela, traçaram duas cordas paralelas situadas em ambos os lados do centro, uma de $10\text{ cm}$ e outra de $14\text{ cm}$ de comprimento. A área do logótipo é o trapézio isósceles formado ao unir as extremidades dessas duas cordas. Calcule a área desse trapézio e a distância exata que separa as duas cordas.

Um drone de vigilância tem um ângulo de visão de $90^\circ$. Se o drone se encontra a uma altura de $90\text{ m}$ sobre o ponto central de um terreno retangular, a distância desde o drone até qualquer vértice do terreno é de $150\text{ m}$ e a partir da sua posição os vértices de um dos lados maiores do terreno são vistos sob esse ângulo de $90^\circ$, calcula o comprimento do terreno. Além disso, determina a área total do terreno retangular.

Pretende-se construir uma claraboia no teto de uma sala com a forma de um triângulo escaleno. Os lados do triângulo medem $13\text{ dm}$, $14\text{ dm}$ e $15\text{ dm}$. O vidro utilizado tem um custo de $45\text{ €}$ por cada decímetro quadrado. Calcule a altura do triângulo relativa ao lado de $14\text{ dm}$ (utilizando um sistema de equações derivado do teorema de Pitágoras) e o custo total do vidro necessário para a claraboia.

A "Rosácea da Catedral" de uma cidade é formada por uma circunferência exterior de diâmetro $6\text{ m}$. No seu interior, traçam-se quatro circunferências iguais cujos diâmetros coincidem com quatro raios perpendiculares da circunferência exterior, formando uma flor de quatro pétalas. Calcula a área das quatro pétalas delimitadas pela interseção destas quatro circunferências.

Um sinal de trânsito tem a forma de um octógono regular. Sabemos que a distância máxima entre dois vértices opostos (o diâmetro da circunferência circunscrita) é de $80\text{ cm}$. Um operário deve pintar o sinal de vermelho, exceto um quadrado central cujos vértices coincidem com os pontos médios de quatro dos lados do octógono (formando uma cruz interior). Calcula a área que deve ser pintada de vermelho e o ângulo interno do referido octógono.

Para fabricar uma tremonha de descarga agrícola, uma oficina deve cortar uma chapa de aço com a forma de um trapézio isósceles cujas bases medem $30\text{ cm}$ e $14\text{ cm}$, e cujos lados oblíquos medem $17\text{ cm}$ cada um. Dois alunos do 3.º de ESO propõem formas distintas de encontrar a área:

• Estratégia da Lucía: Traçar as duas alturas a partir dos extremos da base menor para decompor o trapézio num retângulo central e dois triângulos retângulos iguais nos extremos; calcular a altura com o teorema de Pitágoras e somar as três áreas parciais.

• Estratégia do Mateo: Prolongar os lados oblíquos para cima até que se cruzem num ponto exterior, formando um triângulo isósceles grande que engloba o trapézio e um triângulo isósceles pequeno superior; calcular as alturas de ambos os triângulos por semelhança, calcular as suas áreas e subtraí-las.

1. a) Desenvolve por completo a estratégia da Lucía e encontra a área do trapézio.
2. b) Analisa a proposta do Mateo: é geometricamente válida? Que conhecimentos adicionais exige que a tornam num caminho desnecessariamente complexo em relação ao da Lucía?
3. c) Demonstra como o raciocínio de decomposição da Lucía permite justificar de forma geral a fórmula clássica da área de qualquer trapézio em que os pés dessas alturas caiam sobre a base maior, $A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$, agrupando algebricamente o retângulo e os dois triângulos.

Uma oficina de restauro de Évora deve reabilitar uma rosácea circular de vidro de $2\text{ m}$ de diâmetro ($1\text{ m}$ de raio). No desenho original, uma moldura metálica reta une dois pontos $A$ e $B$ da circunferência de modo que o ângulo central que abrange esse arco mede exatamente $120^\circ$. Para fixar a estrutura, deve-se colocar uma haste a partir de um ponto qualquer $P$, situado sobre o arco maior $AB$, até aos extremos $A$ e $B$, formando o triângulo inscrito $APB$.

1. a) Utiliza a propriedade que relaciona o ângulo inscrito com o ângulo central que abrange o mesmo arco para demonstrar que valor exato tem o ângulo $\widehat{APB}$. Este ângulo varia se movermos o ponto $P$ ao longo desse arco maior? Justifica o teu raciocínio.
2. b) Traça mentalmente os raios $OA$ e $OB$ que vão do centro $O$ aos extremos da corda. Decompõe o triângulo isósceles $OAB$ em dois triângulos retângulos traçando a altura a partir do centro até à corda e aplica o teorema de Pitágoras (aproveitando o facto de os ângulos agudos medirem $30^\circ$ e $60^\circ$) para calcular a distância do centro $O$ à corda e o comprimento exato da corda $AB$.
3. c) Calcula a área do segmento circular menor delimitado pela corda $AB$ e pelo arco menor $AB$ (considera $\pi \approx 3,14$). Explica detalhadamente a subtração de áreas que permite obter essa superfície.

Desafio do tema. Como otimizarias o espaço de uma praça do teu município? Imagina que a câmara municipal te encarrega de desenhar a remodelação geométrica de um jardim próximo.

1. Escala e semelhança: Captura o jardim no Google Maps ou no portal do cadastro predial. Com a ferramenta de medição, obtém uma distância real de referência e transfere a planta para o GeoGebra aplicando uma razão de semelhança $k$ adequada.

2. Lugares geométricos: Localiza três acessos principais não alinhados e encontra o ponto equidistante a eles (circuncentro através de mediatrizes) para instalar um candeeiro central; verifica que fica dentro do parque e, caso contrário, justifica outra localização. Além disso, traça a bissetriz do ângulo formado por dois passeios para posicionar uma fileira de árvores.

3. Ângulos, comprimentos e áreas: Mede os ângulos do polígono do jardim. Decompõe o recinto em figuras planas elementares (triângulos, trapézios ou setores circulares) e calcula o seu perímetro e a sua área real total em $\text{m}^2$.

Produto final: Um relatório breve (uma página) com a captura do GeoGebra, o desenvolvimento dos cálculos e o orçamento estimado se semear relvado custar $7,50$ €/m$^2$.

Será valorizado:

• Precisão no uso de escalas e proporcionalidade geométrica com dados reais.

• Correta construção e justificação dos lugares geométricos (mediatrizes e bissetriz).

• Exatidão no cálculo de ângulos, comprimentos e áreas compostas.