Exercícios: Representação no plano

Na aplicação de mapas do teu telemóvel, o parque do teu bairro aparece quadriculado sobre um sistema de eixos cartesianos. Observa a posição dos diferentes elementos e escreve as coordenadas dos pontos onde se encontram:

1. A fonte ($A$)

2. O banco ($B$)

3. O caixote do lixo ($C$)

4. O poste de iluminação ($D$)

Sem necessidade de os representar graficamente, indique em que quadrante se encontram os seguintes pontos que indicam a posição de vários jogadores num servidor de videojogos:

• Jogador 1: $P_1(5, -2)$

• Jogador 2: $P_2(-3, -8)$

• Jogador 3: $P_3(-1, 4)$

• Jogador 4: $P_4(2, 6)$

Desenhe no seu caderno um sistema de eixos cartesianos e represente os seguintes pontos, que formam os vértices de uma zona de aterragem segura:

• $A(2, 3)$

• $B(-2, 3)$

• $C(-2, -3)$

• $D(2, -3)$

Que figura geométrica obtém ao unir os pontos em ordem?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Indica as coordenadas dos seguintes pontos especiais situados sobre os eixos coordenados e explica porque é que a sua posição é característica:

Numa rede social, a posição de dois amigos é dada pelos pontos $A(3, 2)$ e $B(3, -4)$.

1. a) Represente-os no plano.
2. b) O que têm em comum as suas coordenadas?
3. c) Se traçarmos uma linha que passe por ambos, seria uma reta horizontal ou vertical?

Identifique o nome dos elementos assinalados neste referencial cartesiano:

1. A reta horizontal (Eixo das...)

2. A reta vertical (Eixo das...)

3. O ponto $(0,0)$ onde se cruzam.

4. As quatro regiões em que o plano fica dividido (quadrantes).

Três vértices de um retângulo são $A(-3, 1)$, $B(4, 1)$ e $C(4, -2)$.

1. a) Represente os três pontos num referencial cartesiano.
2. b) Determine as coordenadas do quarto vértice $D$ para completar o retângulo.
3. c) Em que quadrante se encontra o novo ponto $D$?

Imagina que estás a desenhar o mapa de um tesouro. O ponto de partida é a origem de coordenadas $O(0,0)$ e cada quadrícula do plano representa 1 unidade. As instruções dizem:

"Caminha 4 unidades para Este (direita), depois 3 unidades para Norte (cima), a seguir 6 unidades para Oeste (esquerda) e finalmente 2 unidades para Sul (baixo)".

1. a) Escreve as coordenadas de cada ponto por onde passas no final de cada troço do percurso.

1. b) Indica as coordenadas do ponto final onde se encontra o tesouro.

1. c) Copia o plano no teu caderno e representa-o: desenha o percurso completo e marca o ponto do tesouro.

Num videojogo de estratégia, a base principal está situada na origem das coordenadas $O(0, 0)$. O radar deteta três alvos inimigos nas seguintes posições: o alvo $A$ em $(-4, 3)$, o alvo $B$ em $(2, 5)$ e o alvo $C$ em $(3, -2)$.

Representa os pontos num referencial cartesiano e indica em que quadrante se encontra cada um dos alvos inimigos.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Três dos vértices de um retângulo destinado a uma zona de patinagem estão situados nos pontos $P(-3, -2)$, $Q(4, -2)$ e $R(4, 3)$. O quarto vértice chama-se $S$.

1. a) Representa os pontos no plano e desenha o retângulo.

1. b) Determina as coordenadas do quarto vértice $S$ para que a figura seja um retângulo.

1. c) Calcula o perímetro da zona de patinagem sabendo que cada unidade do plano equivale a $2$ metros.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Sem necessidade de representar os pontos, indique em que quadrante ou eixo se encontram os seguintes pontos com base no sinal das suas coordenadas. Justifique a sua resposta fundamentando se a abscissa ou a ordenada são positivas, negativas ou nulas:

• $A(0, -5)$

• $B(-2, -8)$

• $C(4, 0)$

• $D(-1, 7)$

• $E(3, -3)$

Um drone de vigilância realiza um percurso fotográfico seguindo uma trajetória em linha reta. Sabe-se que passa pelo ponto de controlo $M(1, 2)$ e pelo ponto de abastecimento $N(3, 6)$.

1. a) Representa ambos os pontos no plano cartesiano.

1. b) Se o drone continuar na mesma direção, indica se passará pelo ponto $P(5, 10)$ ou pelo ponto $Q(4, 7)$. Verifica-o graficamente traçando a reta que une $M$ e $N$.

O logotipo de uma nova marca de roupa é simétrico em relação ao eixo das ordenadas ($Eje\ Y$). A parte direita do logo está definida pelos pontos $A(0, 5)$, $B(2, 4)$ e $C(3, 0)$.

1. a) Obtenha as coordenadas dos pontos simétricos $B'$ e $C'$ em relação ao eixo $Y$.
2. b) Represente os cinco pontos no plano e una-os em ordem ($C'-B'-A-B-C$) para visualizar a forma do logotipo.

Dada a seguinte tabela de valores que relaciona a entrada ($x$) com a saída ($y$) de uma função:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

1. a) Represente os pontos resultantes num sistema de coordenadas cartesianas.
2. b) Que figura geométrica parecem formar os pontos se os uníssemos com uma linha curva suave?
3. c) Indique as coordenadas do ponto onde a função atinge o seu valor mínimo.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Calcula a área de um triângulo cujos vértices são os pontos $A(-2, 1)$, $B(4, 1)$ e $C(1, 6)$.

Para resolver:

1. Representa os pontos num plano cartesiano (será útil usar papel quadriculado) e desenha o triângulo $ABC$.

2. Identifica qual é a base do triângulo e quanto mede (unidades do eixo $X$).

3. Identifica a altura correspondente a essa base e quanto mede (unidades do eixo $Y$).

4. Aplica a fórmula da área do triângulo: $Área = \frac{base \cdot altura}{2}$.

Escreve o resultado em unidades quadradas.

Observe a seguinte figura, que mostra o segmento de reta que une os pontos $A(-4, 2)$ e $B(2, -1)$.

1. Indique as coordenadas do ponto onde o segmento cruza o eixo das abcissas (eixo $X$).

2. Indique as coordenadas do ponto onde o segmento cruza o eixo das ordenadas (eixo $Y$). O que têm de particular ambos os pontos de interseção?

3. Qual destas expressões relaciona as coordenadas dos pontos do segmento: $y = 2x$, $y = -\frac{x}{2}$ ou $y = x - 2$? Verifique a sua escolha substituindo as coordenadas de $A$ e de $B$.

Três vértices de um paralelogramo são os pontos $A(-4, 1)$, $B(2, 1)$ e $C(4, 5)$. Utiliza os teus conhecimentos sobre a representação no plano para realizar as seguintes tarefas:

1. a) Representa os pontos no sistema de eixos cartesianos e determina as coordenadas do quarto vértice $D$ para que os pontos, tomados em ordem alfabética $A$, $B$, $C$, $D$, formem um paralelogramo.

1. b) Calcula a área do paralelogramo tomando como unidade o quadrado da quadrícula.

1. c) Se refletirmos o ponto $A$ em relação à origem das coordenadas $(0,0)$, em que quadrante se encontraria o novo ponto $A'$ e quais seriam as suas coordenadas?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Um drone de vigilância realiza um trajeto sobre uma zona industrial representada num plano cartesiano. O drone parte do ponto $P(-6, -4)$ e voa em linha reta até ao ponto $Q(2, 6)$.

1. a) Determine as coordenadas do ponto médio do trajeto, onde o drone deve parar para tirar uma fotografia de alta resolução.

1. b) Se o drone se desviar da sua rota original e se deslocar a partir do ponto médio calculado no item anterior 5 unidades para a direita e 3 unidades para baixo, em que quadrante se encontrará?

1. c) Calcule a distância total que o drone percorre se for diretamente da origem das coordenadas $O(0,0)$ até ao ponto $Q(2,6)$.

Considera um triângulo cujos vértices são $A(2, 1)$, $B(6, 1)$ e um terceiro vértice $C$ variável. Na figura tens os pontos $A$ e $B$ já situados no sistema de eixos.

1. a) Se o vértice $C$ tem por coordenadas $(4, y)$, calcula o valor de $y$ para que a área do triângulo seja de $10$ unidades quadradas, sabendo que $C$ está no primeiro quadrante.

1. b) Se agora o vértice $C$ se situa no ponto $(a, b)$ de tal forma que o triângulo $ABC$ seja retângulo em $A$, tenha a mesma área que na alínea anterior ($10$ unidades quadradas) e $C$ esteja também no primeiro quadrante, quais são as coordenadas de $C$?

1. c) Representa graficamente ambos os triângulos num mesmo sistema de eixos.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

No design de um logótipo circular, o centro da circunferência encontra-se no ponto $C(1, 2)$. Sabe-se que o ponto $P(4, 6)$ pertence ao bordo do logótipo.

1. a) Represente o centro e o ponto $P$ no plano.

1. b) Determine outro ponto $Q$ que seja simétrico do ponto $P$ em relação ao centro $C$. O que representa o segmento $PQ$ na circunferência?

1. c) Se o logótipo for transladado 4 unidades para a esquerda e 2 unidades para baixo, quais serão as novas coordenadas do centro $C'$ e do ponto $P'$?

Dado o polígono de vértices $A(-2, 2)$, $B(2, 2)$, $C(4, -1)$ e $D(-4, -1)$:

1. a) Classifique o quadrilátero obtido ao representar estes pontos e ao uni-los por ordem.

1. b) Calcule o seu perímetro aproximado. (Ajuda: utilize o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento dos lados oblíquos).

1. c) Se duplicarmos a coordenada $y$ de todos os vértices, mas mantivermos a coordenada $x$ intacta, como muda a área da figura resultante em relação à original?

Procuramos um ponto secreto $S(x, y)$ que cumpre as seguintes condições lógicas:

1. A sua abscissa é o número inteiro que resolve a equação $3(x - 2) = x + 4$.

2. A sua ordenada é o valor absoluto da solução de $\frac{y}{2} - 5 = -8$.

3. O ponto pertence a uma função de proporcionalidade direta que passa pelo ponto $(1, -2)$.

1. a) Determine as coordenadas do ponto $S$ resolvendo as condições 1 e 2.

1. b) Verifique se o ponto $S$ encontrado cumpre a condição 3. Justifique a sua resposta representando graficamente a função de proporcionalidade.

1. c) Indique em que quadrante se encontra o ponto $S$.

Um barco de resgate encontra-se no ponto $R(0, 5)$ e recebe um aviso de um náufrago no ponto $N(8, -1)$. Devido às correntes, o barco só pode navegar com troços horizontais e verticais (seguindo os eixos coordenados e retas paralelas a eles) ou então movendo-se em linha reta.

1. a) Representa ambos os pontos num sistema de eixos e desenha o caminho mais curto com troços horizontais e verticais. Que distância percorreria no total se cada unidade do plano forem 10 milhas náuticas?

1. b) Calcula a distância em linha reta (diagonal) entre o barco e o náufrago. Quantas milhas náuticas se poupariam em relação ao caminho anterior?

1. c) Se um segundo náufrago se encontra no ponto simétrico de $N$ em relação ao eixo $Y$, quais são as suas coordenadas?

Seja a figura geométrica definida pelos pontos $O(0,0)$, $A(a, 0)$ e $B(0, a)$.

1. a) Se a área do triângulo $OAB$ for de $18$ unidades quadradas, determine o valor da coordenada $a$ (considerando $a > 0$).

1. b) Represente o triângulo no plano e desenhe a sua figura simétrica em relação à bissetriz do primeiro quadrante (a reta em que $x = y$). O que observa sobre as coordenadas dos novos pontos?

1. c) Calcule as coordenadas do ponto $M$, ponto médio do segmento $AB$, e verifique se a distância de $M$ à origem $O$ é a mesma que a distância de $M$ ao ponto $A$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.