Exercícios: Características de uma função

Para que uma relação seja considerada uma função, a cada valor da variável independente ($x$) deve corresponder, no máximo, um único valor da variável dependente ($y$).

Observa o gráfico seguinte e justifica se ele representa uma função ou não, utilizando a «regra da reta vertical».

O domínio de uma função é o conjunto de valores que a variável $x$ toma, enquanto o contradomínio (ou imagem) é o conjunto de valores que a variável $y$ toma.

Observa o gráfico da seguinte função (representada pelo segmento laranja, com as suas duas extremidades incluídas) e escreve o seu domínio e o seu contradomínio utilizando intervalos.

1. a) Escreve o domínio da função.

1. b) Escreve o contradomínio da função.

Dizemos que uma função é contínua se podemos desenhar o seu gráfico sem tirar o lápis do papel. Se apresenta saltos ou interrupções, chama-se descontínua.

O gráfico seguinte mostra o preço do estacionamento num centro comercial em função das horas decorridas. Indica se a função é contínua ou descontínua e, caso seja descontínua, aponta em que valores de $x$ ocorrem os saltos.

Uma função é crescente se, ao aumentar $x$, aumenta $y$. É decrescente se, ao aumentar $x$, diminui $y$.

João está a fazer um percurso pedestre. O gráfico a seguir representa a altitude a que ele se encontra a cada momento. Identifique os intervalos de tempo (eixo $x$) nos quais João está a subir (função crescente) e aqueles nos quais está a descer (função decrescente).

Os máximos são os pontos mais altos de uma região do gráfico, e os mínimos são os pontos mais baixos.

Num videojogo, a energia de uma personagem varia de acordo com o gráfico apresentado. Indica as coordenadas $(x, y)$ dos pontos que representam um máximo relativo e um mínimo relativo nesta aventura.

Uma função é periódica se o seu gráfico se repete exatamente igual a cada certo intervalo, chamado período.

O sinal de um monitor cardíaco comporta-se de forma repetitiva. Observe o gráfico e determine quanto vale o período (a distância no eixo $x$ necessária para completar um ciclo completo).

As funções podem apresentar simetria. Uma função é par se é simétrica em relação ao eixo $y$ (como um espelho). É ímpar se é simétrica em relação à origem das coordenadas $(0,0)$.

Determine que tipo de simetria (par, ímpar ou nenhuma) têm os dois gráficos a seguir:

A Marta usa uma trotinete elétrica para ir para a escola. O gráfico seguinte mostra a percentagem de bateria restante em função da distância percorrida em quilómetros.

Analisa o gráfico e responde:

1. a) Qual é o domínio e o contradomínio da função?

1. b) É uma função crescente ou decrescente? O que significa isto no contexto do problema?

1. c) Em que ponto o gráfico corta o eixo $y$ (ordenada na origem) e o que representa?

O gráfico a seguir mostra a evolução da percentagem de bateria de um smartphone ao longo de um dia, desde o momento em que o utilizador acorda às $08:00$ até o colocar a carregar à noite.

A partir do gráfico, analisa as seguintes características:

1. Indica os intervalos de tempo em que a função é decrescente e o que isso significa neste contexto.

2. Existe algum intervalo onde a função é constante? Se sim, indica-o e propõe uma situação real que explique por que a bateria não diminui nesse tempo.

3. Determina o valor máximo e o valor mínimo da bateria no intervalo observado.

Um canal do YouTube analisa o número de "Gostos" que um vídeo recebe durante as primeiras $12$ horas após a sua publicação. A função está representada pelo gráfico a seguir:

Observando o gráfico, responde:

1. Identifica os intervalos de crescimento e decrescimento.

2. Indica as coordenadas aproximadas dos máximos e mínimos relativos.

3. Qual é o máximo absoluto da função neste período? Explica a diferença entre este ponto e um máximo relativo.

Um sensor de pressão numa máquina industrial regista um ciclo repetitivo a cada poucos segundos. A pressão $P$ (em bar) depende do tempo $t$ (em segundos) segundo o seguinte gráfico:

Com base na informação visual:

1. Explica, de forma fundamentada, por que razão esta função é periódica.

2. Se os picos de pressão máxima ocorrem em $t = 2$ s, $t = 10$ s e $t = 18$ s, qual é o valor do período $T$?

3. Que pressão registará o sensor no instante $t = 82$ s?

Numa empresa de entregas, o custo de enviar um pacote depende do seu peso. No entanto, a tarifa muda bruscamente ao ultrapassar certos intervalos de peso. Observa o gráfico da função custo:

Responde às seguintes questões sobre a continuidade:

1. Esta função é contínua? Justifica a tua resposta descrevendo o que ocorre nos pontos $x = 2kg$ e $x = 5kg$ (representados pelos saltos no gráfico).

2. Indica o domínio e o contradomínio desta função de acordo com a figura.

3. Se um pacote pesa exatamente $2kg$, qual é o seu custo? Observa os pontos preenchidos e vazios para decidir.

Um arquiteto projeta um arco decorativo para a entrada de um museu cuja forma segue uma função simétrica. O eixo de simetria coincide com o eixo das ordenadas $Y$.

Analise a simetria da função:

1. Explique a diferença entre uma função par e uma função ímpar. De que tipo é esta função?

2. Se sabemos que o ponto $(-3, 0)$ pertence ao gráfico, que outro ponto podemos assegurar que pertence a ele por simetria?

3. Indique o ponto de interseção com o eixo das abcissas (eixo $X$) e o ponto de interseção com o eixo das ordenadas (eixo $Y$) para esta estrutura.

Um reservatório de água está a ser cheio com uma bomba que despeja um caudal constante. Aos $10$ minutos, a bomba para durante $5$ minutos para a revisão de uma válvula e, em seguida, o enchimento é retomado mais lentamente.

1. Esboça um gráfico que represente a altura da água em função do tempo.

2. Identifica se a função resultante é contínua ou descontínua.

3. Indica os intervalos de tempo em que a função é crescente e o intervalo em que é constante.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Dada a função $f(x) = x^2 - 4x + 3$, realize um estudo das suas características principais:

1. Calcule os pontos de interseção com o eixo $X$ (resolvendo a equação $f(x) = 0$) e com o eixo $Y$ (calculando $f(0)$).

2. Determine as coordenadas do vértice, sabendo que a abcissa se calcula com a fórmula $x = \frac{-b}{2a}$. É um máximo ou um mínimo absoluto?

3. Indique o intervalo onde a função é decrescente.

A temperatura de um forno industrial varia durante um processo de fundição. Este é ligado, sobe até à sua temperatura de trabalho, permanece estável e depois arrefece rapidamente quando se abre a porta.

A partir do gráfico anterior, responda:

1. Qual é o domínio da função (tempo total do processo)?

2. Qual é o máximo absoluto da temperatura e em que intervalo de tempo se mantém?

3. Em que momento é aberta a porta do forno? Justifique a sua resposta com base na monotonia da função.

Um sistema de gestão de energia inteligente para uma moradia bioclimática regula o acendimento do aquecimento segundo a temperatura exterior. A função $f(x)$ representa o gasto em euros por hora em função da temperatura $x$ em graus Celsius:

$$f(x) = \begin{cases} -0,5x + 8 & \text{se } x < 10 \\ 3 & \text{se } 10 \le x < 20 \\ 0,1x^2 - 4x + 7 & \text{se } x \ge 20 \end{cases}$$

Tens o teu gráfico no intervalo de temperaturas $[-10, 30]$. Com ele e com a expressão de $f$, analisa as seguintes características da função:

1. a) Determina o domínio e o contradomínio da função para o intervalo de temperaturas $[-10, 30]$.

1. b) Estuda a continuidade. Existem pontos de descontinuidade? Se sim, indica de que tipo são e o seu significado no contexto da poupança energética.

1. c) Encontra os intervalos de monotonia (crescimento e decrescimento).

Um drone de vigilância florestal descola para realizar uma inspeção. A sua altura $h$ em metros em relação ao tempo $t$ em minutos é dada pelo gráfico em anexo. A missão dura exatamente 60 minutos.

1. a) Indica os intervalos onde a função é constante e explica o que está a fazer o drone nesses momentos.
2. b) Identifica todos os máximos e mínimos relativos e absolutos.
3. c) Se o drone precisa de uma altura mínima de $10$ metros para detetar calor, em que intervalos de tempo é eficaz a sua missão?
4. d) É uma função periódica? Justifica a tua resposta com base na forma do gráfico.

Está a ser projetado um sensor de luz para uma estufa automática. A intensidade luminosa $I$ (em lux) segue um padrão que se repete a cada 24 horas. Sabemos que às 0:00 h (tempo $t=0$) a intensidade é de $0$ lux, e atinge o seu máximo de $1200$ lux às 12:00 h.

1. a) Se a função for simétrica em relação à reta $t=12$ dentro de cada ciclo de 24 horas, qual será a intensidade às 18:00 h se às 6:00 h for de $450$ lux?
2. b) Sabendo que a função é periódica com período $T=24$, calcule o valor da intensidade luminosa para os tempos $t=30$, $t=54$ e $t=108$ horas.
3. c) Esta poderia ser uma função ímpar? Justifique a resposta analisando o contradomínio da intensidade (que não pode ser negativa).

Considere um triângulo cuja base está fixa no segmento dos eixos cartesianos que vai de $(0,0)$ até $(10,0)$. O terceiro vértice do triângulo move-se ao longo da parábola $y = -x^2 + 10x$.

1. a) Determine a expressão analítica da função $A(x)$ que representa a área do triângulo em função da abscissa $x$ do terceiro vértice.
2. b) Qual é o domínio de definição desta função para que a área seja um valor positivo?
3. c) Calcule as coordenadas do vértice da função área e indique se representa um máximo ou um mínimo absoluto. Qual é a altura do triângulo nesse ponto?

O nível de ruído em decibéis ($dB$) nas proximidades de um aeroporto pode ser modelado por meio da função $R(t) = \frac{80t}{t^2 + 4}$, onde $t$ é o tempo em minutos desde que um avião levanta voo.

1. a) Determine os pontos de interseção da função com os eixos. Qual é o significado do ponto $(0,0)$ neste contexto?
2. b) Utilizando uma tabela de valores, estude a tendência da função quando o tempo $t$ se torna muito grande. Existe alguma assíntota?
3. c) A função é par, ímpar ou nenhuma das duas? Demonstre analiticamente calculando $R(-t)$.

Dois atletas, Beatriz e Bruno, competem numa corrida de 16 km. A distância percorrida por Beatriz segue a função $d_A(t) = 0,4t$, enquanto a de Bruno é $d_B(t) = 0,01t^2$ (onde $t$ é o tempo em minutos e as distâncias são medidas em km).

1. a) Representa ambas as funções nos mesmos eixos para o intervalo de tempo necessário até que ambos cheguem à meta.

1. b) Em que momento exato Bruno alcança Beatriz? Indica as coordenadas do ponto de interseção e interpreta o seu significado.

1. c) Estuda o crescimento da função diferença $g(t) = d_A(t) - d_B(t)$. Em que momento a distância entre Beatriz e Bruno é máxima?

Um biólogo estuda a população de uma espécie de insetos num laboratório. A população $P$ (em milhares) varia segundo a temperatura $T$ da sala (em $ºC$) seguindo a função:

$$P(T) = \frac{T^2 - 16}{T - 5}$$

1. a) Calcule o domínio desta função. Para que temperatura o modelo deixa de ter sentido físico?
2. b) Encontre os pontos de interseção com o eixo das abcissas. O que significam esses valores para a população de insetos?
3. c) Existem intervalos da variável independente onde a função não seja contínua? Justifique se o biólogo deve evitar alguma temperatura específica.

A velocidade de uma reação química depende da concentração de um reagente $x$. A função que descreve esta relação é $v(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$. Na figura podes ver o seu gráfico.

1. a) Estuda o contradomínio da função. Pode a velocidade ser negativa? Pode ultrapassar o valor $1$?

1. b) Analisa as simetrias da função. Se for simétrica, explica o que isto implica relativamente a concentrações positivas e negativas do reagente.

1. c) É uma função limitada? Observa o seu comportamento quando $x$ aumenta indefinidamente e descreve a sua assíntota horizontal.