Exercícios: Estatística com tecnologia e leitura crítica

A figura mostra uma folha de cálculo com as idades dos membros de um clube de leitura. Nas células B11 e B12 a folha mostra os resultados das fórmulas $=\text{PROMEDIO}(B2:B9)$ e $=\text{MEDIANA}(B2:B9)$, respetivamente. Na barra superior aparece a fórmula da célula B11, que é a célula selecionada.

1. a) O que calcula a fórmula da célula B11, $=\text{PROMEDIO}(B2:B9)$?

1. b) E a da célula B12, $=\text{MEDIANA}(B2:B9)$?

1. c) Calcula à mão os dois valores a partir das idades de B2 a B9 e verifica que coincidem com os que a folha mostra em B11 e B12.

Um canal de televisão mostrou este gráfico de barras sobre a audiência de dois programas, como representado na figura.

1. a) À primeira vista, quantas vezes mais audiência o programa B parece ter em relação ao A?

1. b) Lê os valores reais das barras e calcula a proporção verdadeira entre ambas as audiências.

1. c) Que truque usa o gráfico para exagerar a diferença? Como deveria ser o eixo vertical para não induzir em erro?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma calculadora estatística indica que a média das $10$ notas de um grupo é $6,4$ e a mediana é $6,5$.

1. a) Se o professor decidir aumentar $0,5$ pontos para todos os alunos, quais serão a nova média e a nova mediana? Justifique a resposta sem conhecer as notas.

1. b) Se, em vez disso, multiplicar todas as notas por $1,1$, o que acontece com a média e a mediana?

1. c) A soma das $10$ notas era $64$. Após a revisão, uma nota de $4$ passa a ser $7$. Qual é a nova média?

Para cada um destes conjuntos de dados, escolha o gráfico mais adequado (gráfico de barras, gráfico circular, gráfico de linhas, polígono de frequências ou histograma) e justifique a sua escolha:

1. a) A percentagem de tempo que um adolescente dedica a dormir, estudar, ao lazer e aos ecrãs.

1. b) A evolução da temperatura média de uma cidade mês a mês durante um ano.

1. c) As classificações a Matemática de uma turma de $28$ alunos.

1. d) O número de animais de estimação que os alunos de uma turma têm em casa.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

O Lucas está a utilizar uma folha de cálculo para calcular a nota média dos seus cinco testes de Matemática. Introduziu as notas nas células de $B2$ a $B6$: $6$, $7$, $8$, $7$ e $7$. Para se organizar, na célula $B7$ calcula a soma de todas as notas através da fórmula $=\text{SOMA}(B2:B6)$, obtendo $35$. Depois, na célula $B8$, escreve $=\text{MÉDIA}(B2:B7)$ à espera de obter a sua nota média final, mas o ecrã mostra $11,67$, uma nota impossível por ser numa escala até $10$.

1. a) Localiza o erro cometido pelo Lucas ao definir o intervalo da fórmula em $B8$ e explica de forma fundamentada por que razão a folha de cálculo devolve $11,67$.
2. b) Escreve a fórmula correta que ele deveria ter introduzido em $B8$ para calcular a média diretamente com a função $\text{MÉDIA}$.
3. c) Se o Lucas quisesse aproveitar o valor da soma que já calculou em $B7$, que fórmula com operações aritméticas elementares (sem usar a palavra $\text{MÉDIA}$) poderia escrever em $B8$?

O boletim informativo de um município publica um gráfico de barras para mostrar como cresceu o número de pessoas inscritas no complexo desportivo municipal. Em 2022 havia $500$ pessoas inscritas e em 2023 registaram-se $520$. No entanto, o criador do gráfico decidiu truncar o eixo vertical e fazê-lo começar em $490$ em vez de $0$. Deste modo, a barra de 2022 tem uma altura gráfica de $10$ mm ($500 - 490$) e a de 2023 mede $30$ mm ($520 - 490$).

1. a) Estima que impressão visual tem um munícipe que olhe para o gráfico à primeira vista sem ler os valores do eixo: quantas vezes parece ter-se multiplicado o número de utilizadores?
2. b) Comprova a realidade calculando a percentagem de aumento real nas inscrições de 2022 para 2023.
3. c) Avalia criticamente se o gráfico é enganador e explica que modificação geométrica obrigatória deveria ter o eixo vertical para não distorcer a perceção do leitor.

A figura mostra uma folha de cálculo com os pontos por jogo de uma jogadora de basquetebol, como representado a seguir.

1. a) Que valor a célula B10 mostrará se contiver a fórmula $=\text{PROMEDIO}(B2:B8)$? Calcule-o.

1. b) A célula B11 contém $=\text{MAX}(B2:B8) - \text{MIN}(B2:B8)$. Que parâmetro estatístico calcula e quanto vale?

1. c) Escreva por palavras suas a fórmula que deveria ser inserida para obter o número de jogos em que marcou mais de $15$ pontos.

Uma marca de bebidas publicou este gráfico circular sobre as preferências dos consumidores, como representado na figura.

1. a) Some as percentagens de todos os setores. Qual é o resultado que obtém? Isso é possível num gráfico circular?

1. b) Explique o que pode ter acontecido no inquérito para obter esses dados e por que razão o gráfico circular não é adequado para os apresentar.

1. c) Que tipo de gráfico escolheria para representar corretamente essas percentagens?

O conselho da escola de uma escola de $850$ alunos quer decidir qual a nova atividade extracurricular a oferecer. Uma aluna inquire $40$ estudantes à saída do ginásio e conclui: «$70\ \%$ dos alunos querem mais desporto, portanto é preciso abrir um clube de escalada».

1. a) Qual é a dimensão da amostra? E a população?

1. b) Que defeito tem a forma de escolha da amostra? Como é que isso afeta a conclusão?

1. c) Propõe uma forma melhor de selecionar os $40$ inquiridos e explica por que razão a conclusão seria mais fiável.

1. d) Que percentagem da população a amostra representa? Exprime-a com duas casas decimais.

Um treinador usa uma aplicação para comparar os minutos jogados por duas equipas de basquetebol ao longo de $10$ jogos. A aplicação mostra estes resultados:

• Equipa Norte: média $= 18,4$ min, desvio padrão $= 7,9$ min.

• Equipa Sul: média $= 17,8$ min, desvio padrão $= 2,1$ min.

1. a) Qual equipa distribui os minutos de forma mais igualitária entre os seus jogadores? Qual parâmetro indica isso?

1. b) Se o treinador do Norte quiser que um jogador específico jogue muito, é previsível que consiga? E no Sul?

1. c) A média da equipa Norte é um pouco maior. Isso significa que todos os seus jogadores jogam mais do que os do Sul? Justifique a resposta.

Uma pequena empresa local de serviços informáticos conta com sete funcionários no quadro de pessoal. Numa folha de cálculo foram registados os seus salários líquidos mensais (em euros) nas células de $B2$ a $B8$: $1\,250$, $1\,300$, $1\,300$, $1\,350$, $1\,400$, $1\,450$ e $5\,950$ (este último corresponde à gerência da empresa). Para publicar uma oferta de emprego, o departamento de comunicação deve decidir que parâmetro estatístico incluir como «salário típico» da equipa.

1. a) Calcula o resultado que a fórmula $=\text{MÉDIA}(B2:B8)$ forneceria e o que daria $=\text{MED}(B2:B8)$.
2. b) Escolhe qual dos dois métodos é mais representativo para informar honestamente uma pessoa que se candidata a uma função base na empresa e justifica a tua escolha analisando o impacto do salário mais alto.
3. c) Se a empresa decidir finalmente publicar o valor da média em vez do da mediana, que intenção persuasiva achas que persegue e que regra da leitura crítica de dados está a ser violada?

Numa folha de cálculo escolar, as células de $B2$ a $B6$ registam as horas semanais que cinco estudantes de uma turma dedicam ao desporto. Por engano, apagou-se o dado correspondente à célula $B6$. Das outras quatro células conhecem-se os valores: $3$, $4$, $6$ e $8$ horas.

1. a) Se sabemos que a célula $B7$ contém a fórmula $=\text{MÉDIA}(B2:B6)$ e devolve exatamente um valor de $6$ horas, reconstrói o valor numérico que deve figurar na célula vazia $B6$.
2. b) Com o dado de $B6$ já recuperado, calcula o valor que a fórmula $=\text{MED}(B2:B6)$ devolveria.
3. c) Imagina que o estudante da célula $B6$ compete a nível profissional e na realidade treina $25$ horas semanais em vez do teu valor obtido. Sem necessidade de recalcular tudo, fundamenta se o valor da mediana mudaria em relação à alínea anterior e justifica por que razão a mediana é um parâmetro mais robusto perante valores atípicos do que a média.

Tarefa de decisão. Um jornal digital publica a manchete «Os gastos dos adolescentes com jogos eletrónicos dispararam!» junto ao gráfico da figura, como representado a seguir.

1. a) Lê os valores reais do gasto anual no gráfico e calcula o aumento percentual verdadeiro entre o primeiro e o último ano.

1. b) Porque é que o gráfico dá uma impressão muito mais alarmante do que os dados? Indica pelo menos duas decisões de design que causam isso.

1. c) Reescreve a manchete de forma honesta, usando os dados.

1. d) Que perguntas farias sobre a amostra do inquérito antes de aceitares até mesmo este aumento moderado?

Para calcular o desvio padrão dos dados $4$, $6$, $7$, $7$, $9$, $11$ com uma folha de cálculo, constrói-se uma tabela com colunas auxiliares:

Dado $x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$
$4$
$6$
$7$
$7$
$9$
$11$

1. a) Calcule a média $\bar{x}$ e complete a tabela no seu caderno.

1. b) Qual a fórmula da folha de cálculo que daria o valor da célula da segunda coluna para o dado $4$? E a da terceira coluna?

1. c) Calcule a média dos quadrados da terceira coluna (a variância) e, com a calculadora, determine a raiz quadrada para obter o desvio padrão.

1. d) A soma da segunda coluna dá $0$. É coincidência ou aconteceria com qualquer conjunto de dados? Justifique.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um clube de atletismo precisa de contratar uma atleta para a estafeta e tem os tempos de duas candidatas nas suas últimas $8$ corridas de $100\ \text{m}$:

• Candidata 1: média $= 12,40\ \text{s}$, desvio padrão $= 0,45\ \text{s}$.

• Candidata 2: média $= 12,55\ \text{s}$, desvio padrão $= 0,10\ \text{s}$.

1. a) O treinador precisa de uma corredora que fique abaixo de $12,9\ \text{s}$ com a máxima confiabilidade no campeonato, porque um tempo mau elimina a equipa. Quem deve ele contratar? Justifique a resposta usando a média e o desvio padrão.

1. b) Se, por outro lado, estivesse a procurar a corredora capaz de obter a melhor marca do dia, a sua escolha mudaria? Porquê?

1. c) Calcule o coeficiente de variação de cada candidata, $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$, e explique que informação ele acrescenta em relação ao desvio padrão.

Indique se cada afirmação sobre o uso da tecnologia em estatística é verdadeira ou falsa e justifique a sua resposta:

1. a) «A média calculada com uma folha de cálculo a partir de dados agrupados em intervalos (usando as marcas de classe) é exatamente igual à calculada com os dados originais.»

1. b) «Se um gráfico estatístico é feito com um programa de computador, não pode ser enganador.»

1. c) «Uma calculadora científica pode fornecer o desvio padrão mesmo que não entendamos a fórmula, mas interpretá-lo continua a ser tarefa nossa.»

1. d) «Para comparar a dispersão de dois conjuntos de dados com médias muito diferentes, é melhor usar o desvio padrão do que o coeficiente de variação.»

Um portal de notícias publica o seguinte título: «Alarme sanitário: comer melancia no verão dispara os internamentos hospitalares por insolação». Para o justificar, mostram a seguinte tabela com dados verídicos de um concelho durante seis meses, introduzidos numa folha de cálculo nas colunas $A$ (Mês), $B$ (Toneladas de melancia vendidas) e $C$ (Casos atendidos por insolação):

• Maio: $15$ t de melancia e $2$ insolações.

• Junho: $60$ t de melancia e $16$ insolações.

• Julho: $150$ t de melancia e $45$ insolações.

• Agosto: $170$ t de melancia e $52$ insolações.

• Setembro: $45$ t de melancia e $8$ insolações.

• Outubro: $10$ t de melancia e $0$ insolações.

1. a) Modela a relação observada entre ambas as variáveis: descreve se existe correlação positiva, negativa ou nula entre o consumo de melancia e os casos de insolação, justificando-o a partir dos dados da tabela.
2. b) Aplica o critério de leitura crítica «correlação não implica causalidade» para desmontar o título do artigo. Qual é a variável de confusão subjacente que explica que ambas as séries de dados subam e desçam juntas?
3. c) Na célula $C7$ figura um $0$ correspondente ao mês de outubro. Se uma pessoa apagasse esse número deixando a célula totalmente vazia (em branco), como é que isto afetaria o resultado devolvido pela fórmula $=\text{MÉDIA}(C2:C7)$? Explica a diferença técnica entre a forma como uma folha de cálculo processa uma célula vazia e uma célula com o número $0$ ao calcular a média.

Uma marca de refrigerantes apresenta uma campanha publicitária sob o lema: «$80\,\%$ dos consumidores preferem a nossa marca em comparação com a concorrência líder». Ao rever o relatório técnico que sustenta o anúncio, uma associação de consumidores descobre três decisões metodológicas questionáveis:

1. A amostra total foi de $20$ clientes escolhidos à saída de um concerto patrocinado pela própria marca (dos quais $16$ disseram «Sim» ao seu refrigerante e $4$ disseram «Não»).

2. O anúncio inclui um gráfico de setores circulares onde o setor do «Sim» tem desenhado um ângulo central de $324^\circ$ e o do «Não» de $36^\circ$.

3. A marca sustenta que, se conseguirem convencer mais $5$ pessoas a votar favoravelmente numa segunda sondagem com $25$ pessoas no total ($21$ votos afirmativos em $25$), a percentagem de aprovação terá crescido exatamente $25\,\%$ em relação à amostra inicial.

1. a) Deteta o erro alheio cometido na construção do gráfico de setores: calcula o ângulo de setor circular que realmente corresponderia a $80\,\%$ e explica que efeito visual enganador provoca o ângulo que a marca desenhou.
2. b) Faz uma crítica fundamentada sobre a dimensão da amostra e o procedimento de seleção: por que razão não se podem extrapolar estes resultados para o conjunto de consumidores de Portugal?
3. c) Corrige o erro de cálculo do relatório técnico: calcula a percentagem real de apoio se houvesse $21$ opiniões favoráveis em $25$ inquiridos e explica por que razão é falso que o apoio tenha aumentado $25\,\%$, clarificando a diferença entre pontos percentuais e percentagem de aumento.

Desafio do tema. O estado do tempo destas duas semanas na tua localidade é representativo? Converte-te em analista de dados e elabora um relatório meteorológico crítico.

1. Recolha e classificação: Acede ao site do IPMA e anota a temperatura máxima diária do teu distrito durante os últimos $15$ dias. Identifica fundamentadamente o tipo de variável estatística e constrói numa folha de cálculo (ou GeoGebra) a sua tabela de frequências completa.

2. Parâmetros e gráfico: Utilizando fórmulas da folha de cálculo, obtém a média ($\bar{x}$), a mediana ($Me$), a amplitude e o desvio-padrão ($\sigma$). Com a mesma ferramenta, cria o gráfico estatístico mais apropriado, legendando adequadamente eixos e unidades.

3. Leitura crítica e conclusões: Redige um relatório breve (uma página) analisando se a média descreve fielmente o comportamento térmico ou se um desvio-padrão alto (por exemplo, superior a $3,5$ °C) indica demasiada dispersão. Reflete: poderia um meio de comunicação social manipular a perceção do clima usando apenas um destes parâmetros?

Será valorizado:

• Rigor na classificação da variável e elaboração correta da tabela de frequências.

• Precisão nos parâmetros calculados e qualidade técnica do gráfico em folha de cálculo ou GeoGebra.

• Profundidade na leitura crítica sobre a representatividade das medidas e a dispersão.