Exercícios: Tabelas

Para conhecer a opinião sobre o uso de telemóveis na sala de aula, foi realizado um inquérito a $45$ alunos de uma escola que tem um total de $600$ alunos. Indica quais são os elementos fundamentais deste estudo estatístico:

1. a) A população em estudo.

1. b) A amostra selecionada.

1. c) O indivíduo.

Classifique as seguintes variáveis estatísticas em qualitativas, quantitativas discretas ou quantitativas contínuas com base nos dados de uma aplicação de música:

1. a) O género musical das músicas (Pop, Rock, Trap...).
2. b) O número de "gostos" que uma playlist tem.
3. c) O tempo de duração de uma música em segundos.
4. d) O nome do artista ou grupo.
5. e) A capacidade de armazenamento ocupada pela aplicação no telemóvel (em MB).

Um grupo de amigos anota o número de vezes que foi ao cinema no último mês. Os dados obtidos são:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 2$.

Organize estes dados numa tabela de frequências que inclua:

• A contagem (usando traços).

• A frequência absoluta ($f_i$).

Numa turma do 9.º ano, perguntou-se qual era o desporto favorito dos alunos. Complete os valores que faltam na seguinte tabela de frequências:

Desporto	Frequência absoluta ($f_i$)	Frequência relativa ($h_i$)	Percentagem (%)
Basquetebol	$6$	$0,24$	$24\%$
Futebol	$10$
Ténis	$4$	$0,16$
Natação		$0,20$	$20\%$
Total	$25$	$1,00$	$100\%$

Foi realizado um estudo sobre o número de livros lidos pelos alunos de um clube de leitura durante o verão. Observa a tabela e responde às perguntas utilizando as frequências acumuladas:

Livros lidos ($x_i$)	Alunos ($f_i$)	Frequência acumulada ($F_i$)
$0$	$2$	$2$
$1$	$5$	$7$
$2$	$8$	$15$
$3$	$6$	$21$
$4$	$4$	$25$

1. a) Quantos alunos leram exatamente $2$ livros?
2. b) Quantos alunos leram $2$ livros ou menos?
3. c) Qual é o número total de alunos que participam no estudo?

Para um estudo sobre o peso das mochilas dos alunos, os dados foram agrupados em classes de amplitude $1$ kg. Calcula o ponto médio da classe ($x_i$) para cada uma das classes da tabela:

Peso (kg)	Ponto médio da classe ($x_i$)	Frequência ($f_i$)
$[2, 3)$		$4$
$[3, 4)$		$12$
$[4, 5)$		$9$
$[5, 6)$		$5$

Foi realizado um inquérito sobre o número de animais de estimação que as famílias de um bairro possuem. Por engano, alguns dados da tabela foram apagados. Sabendo que foi inquirido um total de $40$ famílias, calcule os valores em falta:

N.º de Animais de Estimação	Famílias ($f_i$)	Frequência Relativa ($h_i$)
$0$	$12$	$0,30$
$1$		$0,45$
$2$	$7$
$3$	$3$	$0,075$
Total	$40$	$1,00$

Uma empresa de entregas estuda o peso dos pacotes que envia diariamente. Organizou a informação na seguinte tabela de frequências relativas acumuladas ($H_i$):

Peso (kg)	$f_i$	$h_i$	$H_i$
$[0, 2)$	$20$	$0,40$	$0,40$
$[2, 4)$	$15$	$0,30$	$0,70$
$[4, 6)$	$10$	$0,20$	$0,90$
$[6, 8)$	$5$	$0,10$	$1,00$

Responda às seguintes perguntas com base na tabela:

1. a) Qual a percentagem de pacotes que pesa menos de $4$ kg?
2. b) Que frequência relativa representam os pacotes que pesam $6$ kg ou mais?
3. c) Qual é o número total de pacotes analisados neste estudo?

A Maria realizou um inquérito aos seus 25 colegas de turma sobre o número de telemóveis em desuso que guardam em casa. Após contar os dados, elabora a seguinte tabela de frequências:

• Para $x_1 = 0$: $f_1 = 5$, $F_1 = 5$

• Para $x_2 = 1$: $f_2 = 10$, $F_2 = 15$

• Para $x_3 = 2$: $f_3 = 7$, $F_3 = 22$

• Para $x_4 = 3$: $f_4 = 3$, $F_4 = 25$

Ao apresentar o trabalho, a Maria acrescenta duas conclusões no seu caderno:

1. «A soma da coluna de frequências acumuladas é $5 + 15 + 22 + 25 = 67$, o que significa que foram analisados 67 telemóveis no total».

2. «Como a frequência acumulada para 2 telemóveis é $F_3 = 22$, exatamente 22 alunos têm 2 telemóveis em desuso».

Identifica o erro concetual que a Maria comete em cada uma das suas duas afirmações, explica com clareza por que razão o seu raciocínio é erróneo apoiando-te na definição matemática de frequência acumulada e redige a interpretação correta que deveria ter dado aos números 25 e 22.

Numa turma do 3.º ano do ESO formada por 40 estudantes realiza-se um inquérito sobre o meio principal que utilizam para chegar à escola. Os resultados são: 20 vão a pé, 12 de autocarro, 6 de carro particular e 2 de trotinete elétrica.

1. a) Antes de realizares qualquer cálculo ou operação com decimais, estima de forma fundamentada:

• Que percentagem exata representa o grupo dos que vão a pé em relação ao total da turma?

• A frequência relativa dos que vão de autocarro será maior, menor ou igual a $0,25$? Justifica, comparando o número 12 com a quarta parte de 40.

• O grupo que vai de trotinete elétrica superará os $10\,\%$ dos alunos?

1. b) Constrói a tabela de frequências calculando para cada meio de transporte a frequência absoluta ($f_i$), a frequência relativa ($h_i$) sob a forma de fração e decimal, e a percentagem correspondente.

1. c) Comprova se as tuas estimativas iniciais estavam corretas e verifica numericamente se a soma de todas as frequências relativas cumpre a propriedade fundamental de totalizar a unidade.

Deseja-se realizar um estudo sobre o tipo de conteúdo mais visto numa conhecida plataforma de streaming pelos adolescentes de uma cidade. Para isso, pergunta-se a $150$ alunos de $3^\text{o}$ do ensino básico de três escolas diferentes escolhidas ao acaso. Identifica os seguintes elementos do estudo estatístico:

1. a) População.

1. b) Amostra.

1. c) Indivíduo.

1. d) Tipo de variável estatística.

Um grupo de $25$ jovens anotou o número de vezes que foi ao cinema no último trimestre, obtendo os seguintes dados:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 2, 0, 1, 4, 2, 1, 0, 2, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1$

Organize esta informação numa tabela de frequências que inclua: frequência absoluta ($n_i$), frequência relativa ($h_i$) e frequência percentual ($\%$).

Num inquérito sobre o número de animais de estimação que as famílias de um bairro têm, obtiveram-se os resultados que se mostram na seguinte tabela de frequências absolutas:

N.º de animais ($x_i$)	N.º de famílias ($n_i$)
$0$	$12$
$1$	$18$
$2$	$14$
$3$	$6$

Calcula a coluna das frequências absolutas acumuladas ($N_i$) e as frequências relativas acumuladas ($H_i$). Que percentagem de famílias tem no máximo $2$ animais de estimação?

Foi medido o tempo, em minutos, que $20$ alunos demoram a ir de casa até à escola. Os dados são:

$5, 12, 18, 24, 7, 15, 30, 10, 22, 14, 8, 11, 28, 5, 19, 13, 16, 25, 12, 9$

Construa uma tabela de frequências agrupando os dados em $5$ classes com a mesma amplitude, começando em $5$ e terminando em $30$. Inclua na tabela os pontos médios das classes ($x_i$) e as frequências absolutas ($n_i$).

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Preencha os espaços da seguinte tabela de frequências de uma variável quantitativa discreta:

Dado ($x_i$)	Freq. absoluta ($n_i$)	Freq. relativa ($h_i$)	Freq. percentual ($\%$)
$1$	$8$	$0,20$
$2$		$0,35$
$3$	$12$
$4$			$15\%$
Total	$N=$	$1,00$	$100\%$

Numa aula de Educação Física, perguntou-se aos alunos qual era o seu desporto favorito fora do horário escolar. Os resultados são:

• Futebol: $12$ alunos.

• Basquetebol: $8$ alunos.

• Natação: $6$ alunos.

• Ténis: $4$ alunos.

Constrói uma tabela que reúna as frequências absolutas e calcula a amplitude, em graus, necessária para representar estes dados num gráfico circular (amplitude do ângulo ao centro).

Um nutricionista analisa a quantidade de açúcar (em gramas) por cada $100\text{ ml}$ de $40$ refrigerantes diferentes. Os resultados foram agrupados na seguinte tabela:

Quantidade de açúcar ($g$)	Marca de classe ($x_i$)	Freq. absoluta ($n_i$)
$[0, 4)$		$5$
$[4, 8)$		$12$
$[8, 12)$		$18$
$[12, 16]$		$5$

1. a) Complete a coluna de marcas de classe.
2. b) Calcule a coluna de frequências relativas ($h_i$).
3. c) Indique quantos refrigerantes têm $8$ gramas de açúcar ou mais.

Foi realizado um inquérito aos funcionários de um escritório sobre o número de idiomas que falam. Sabemos que $40\%$ fala apenas um idioma, $35\%$ fala dois idiomas, $20\%$ fala três idiomas e os restantes falam quatro idiomas.

Se no escritório trabalha um total de $60$ pessoas, construa a tabela de frequências completa (absoluta, relativa e percentual). Quantas pessoas falam exatamente quatro idiomas?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa campanha ambiental organizada num município, perguntou-se a uma amostra de $N = 50$ famílias quantos baldes ou recipientes de reciclagem seletiva têm na sua habitação ($x_i$). No entanto, parte do relatório foi apagada e apenas se dispõe da seguinte informação:

• Os possíveis valores da variável são $1, 2, 3$ e $4$ baldes.

• A frequência relativa acumulada correspondente a 2 baldes ou menos é $H_2 = 0,64$.

• A percentagem de famílias que têm 4 baldes é exatamente de $12\,\%$.

• O número de famílias que têm 1 balde é o triplo do número de famílias que têm 2 baldes.

1. a) Deduz fundamentadamente, passo a passo, a frequência absoluta ($f_i$) de cada um dos quatro valores da variável.
2. b) Elabora a tabela de frequências completa que inclua: variável ($x_i$), frequência absoluta ($f_i$), frequência relativa ($h_i$), percentagem, frequência absoluta acumulada ($F_i$) e frequência relativa acumulada ($H_i$).
3. c) Utilizando a tabela obtida, determina que percentagem das famílias da amostra recicla ativamente dispondo de pelo menos 3 baldes em casa.

A partir dos registos do Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA), foram recolhidas as temperaturas máximas diárias ($^{\circ}\text{C}$) de uma localidade do sul de Portugal durante os 31 dias do mês de julho. Os dados foram agrupados em quatro intervalos contíguos:

• Intervalo $[28, 32)$: 5 dias.

• Intervalo $[32, 36)$: 11 dias.

• Intervalo $[36, 40)$: 12 dias.

• Intervalo $[40, 44)$: 3 dias.

1. a) Justifica por que razão neste estudo estatístico é conveniente agrupar os dados em intervalos semiabertos $[a, b)$ com a sua correspondente marca de classe em vez de elaborar uma tabela com cada valor individual registado.
2. b) Elabora a tabela de frequências completa do mês, incluindo para cada linha: intervalo, marca de classe ($c_i$), frequência absoluta ($f_i$), frequência relativa ($h_i$) arredondada a três casas decimais, percentagem e frequência absoluta acumulada ($F_i$).
3. c) Considera-se situação de aviso especial por calor quando a temperatura máxima atinge ou ultrapassa os $36\,^{\circ}\text{C}$. Utilizando as frequências da tabela, calcula quantos dias esteve a localidade em aviso e que percentagem do mês representou essa situação.

Numa loja de videojogos fizeram um estudo sobre o número de periféricos (comandos, teclados, ratos) que os clientes compram numa única visita. No entanto, perdeu-se parte da informação da tabela de frequências. Sabemos que o estudo foi realizado sobre um total de $N = 80$ clientes.

Completa os dados que faltam na tabela sabendo que a frequência relativa acumulada de comprar 3 periféricos ou menos é de $0,875$.

Periféricos ($x_i$)	Freq. absoluta ($f_i$)	Freq. relativa ($h_i$)	Freq. absoluta acumulada ($F_i$)	Freq. relativa acumulada ($H_i$)
1	24
2
3	16
4
5	6

Um laboratório de tecnologia está a testar a duração em horas de uma nova bateria para drones. Agruparam os resultados numa tabela de frequências de variável contínua, mas só nos forneceram as marcas de classe ($x_i$) e algumas frequências.

Sabe-se que todos os intervalos têm a mesma amplitude e que o limite inferior do primeiro intervalo é de $1,2$ horas. Reconstrua a tabela completa (intervalos, marcas de classe e frequências) sabendo que a frequência absoluta acumulada do terceiro intervalo é $42$ e que o total de drones testados é $N = 50$.

Marca de classe ($x_i$)	Freq. absoluta ($f_i$)	Freq. absoluta acumulada ($F_i$)
$1,45$	8
$1,95$	14
$2,45$
$2,95$
$3,45$	3

Para organizar um torneio de e-sports, a organização analisa o número de horas semanais que os jovens de um clube dedicam a treinar. A seguinte tabela de frequências relativas acumuladas ($H_i$) mostra a distribuição, mas faltam os dados das categorias centrais.

Sabendo que há o mesmo número de jovens a treinar "De 5 a 10 horas", "De 10 a 15 horas" e "De 15 a 20 horas", e que o clube tem um total de $120$ sócios, calcula quantos sócios treinam exatamente em cada um dos intervalos da tabela.

Horas de treino	Freq. relativa acumulada ($H_i$)
$[0, 5)$	$0,15$
$[5, 10)$
$[10, 15)$	$0,65$
$[15, 20)$
$[20, 25]$	$1,00$

Num estudo sobre o consumo de água por habitação num condomínio, foram obtidos os seguintes dados de frequências acumuladas, mas as frequências absolutas individuais foram omitidas.

Consumo ($m^3$)	Frequência absoluta acumulada ($F_i$)
$[0, 10)$	$12$
$[10, 20)$	$30$
$[20, 30)$	$65$
$[30, 40)$	$90$
$[40, 50]$	$100$

Foi decidido que as habitações que consomem mais de $30 m^3$ paguem uma taxa extra. No entanto, após uma revisão, descobre-se que $10$ habitações do intervalo $[20, 30)$ consumiam realmente $32 m^3$. Calcule a nova tabela de frequências relativas percentuais ($\%$) corrigida e determine que percentagem do total de habitações deverá pagar a taxa extra no final.

Uma escola quer realizar uma pesquisa representativa sobre o uso de livros digitais. A escola tem $400$ alunos no 1º ano da ESO, $350$ no 2º ano da ESO, $300$ no 3º ano da ESO e $250$ no 4º ano da ESO. Querem extrair uma amostra de $130$ alunos por meio de uma amostragem aleatória estratificada com representação proporcional.

Desenhe a tabela da população total e, a partir dela, crie a tabela de frequências da amostra que indique quantos alunos de cada ano devem ser entrevistados. Qual é a frequência relativa dos alunos do 3º ano da ESO na amostra comparada com a da população total?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Foi realizado um inquérito sobre o número de animais de estimação em $200$ famílias. Os resultados são apresentados na seguinte tabela incompleta de frequências relativas ($h_i$).

Nº de Animais de Estimação	$h_i$
0	$0,35$
1	$x$
2	$y$
3	$0,12$
4 ou mais	$0,08$

Calcule os valores de $x$ e $y$ sabendo que a média do número de animais de estimação é exatamente $1,25$ (para o intervalo "4 ou mais" utilize o valor $4$ como representante da classe). Uma vez encontrados, construa a tabela de frequências absolutas completa.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma câmara municipal analisa a idade dos utilizadores de um centro desportivo. Os dados dos primeiros $160$ utilizadores estão resumidos nesta tabela de frequências acumuladas:

Idade	$F_i$
$[0, 18)$	$40$
$[18, 35)$	$95$
$[35, 60)$	$140$
$[60, 85]$	$160$

Se durante a tarde se inscreverem $40$ novos utilizadores, todos eles pertencentes ao grupo de idade de $[18, 35)$, como varia a tabela de frequências relativas? Calcule a tabela de frequências relativas percentuais ($\%$) resultante após as novas inscrições e comente como essa mudança afetou a importância relativa do grupo de maiores de $60$ anos.

Dispõe-se da seguinte tabela de frequências de uma variável quantitativa discreta $X$ que representa o número de vezes que um grupo de alunos foi ao cinema este mês. No entanto, as frequências absolutas $f_2$ e $f_3$ foram apagadas.

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$H_i$
0	5	5	$0,125$
1			$0,400$
2		31
3	9		$1,000$

Calcula o número total de dados ($N$) e as frequências que faltam para completar a tabela. Justifica cada passo utilizando as propriedades das frequências acumuladas e relativas.

Duas escolas de ensino secundário de uma mesma comarca querem comparar o hábito de leitura dos seus estudantes do 3.º de ESO através das horas semanais dedicadas à leitura recreativa. A escola A tem 120 alunos no 3.º de ESO e a escola B tem 200 alunos nesse mesmo ano. Para apresentar os resultados, o corpo docente debate duas decisões metodológicas fundamentais:

1. Decisão sobre o tipo de frequência: O professor da escola A propõe comparar diretamente as frequências absolutas ($f_i$) de ambas as escolas (por exemplo, quantos alunos leem mais de 4 horas por semana). A professora da escola B afirma que essa comparação carece de validade estatística e que é indispensável recorrer às frequências relativas ($h_i$) ou às percentagens.

2. Decisão sobre o agrupamento: Parte da equipa quer mostrar cada valor inteiro separadamente ($0, 1, 2, \dots, 10$ horas semanais), enquanto outra parte propõe agrupar os dados em intervalos de amplitude 2: $[0, 2), [2, 4), [4, 6), \dots$

1. a) Justifica quem tem razão no debate sobre o tipo de frequência. Para isso, inventa um caso numérico realista com os totais de ambas as escolas (120 face a 200 alunos) em que uma escola tenha maior frequência absoluta num intervalo, mas menor proporção real de leitores, demonstrando por que razão a frequência absoluta induz em erro.
2. b) Avalia os dois métodos de organização da variável: que informação matemática exata se perde ao transformar os dados individuais em intervalos agrupados representados pela sua marca de classe, e que vantagem analítica se obtém em troca na hora de interpretar a amostra global?

Uma delegação do Instituto Nacional de Estatística (INE) realiza um inquérito sobre a despesa mensal em serviços digitais e conectividade a uma amostra de $N = 200$ famílias de um concelho. Os montantes em euros foram agrupados em quatro intervalos de igual amplitude: $[10, 30)$, $[30, 50)$, $[50, 70)$ e $[70, 90)$. Devido a uma falha informática, no relatório final apenas constam as seguintes pistas estatísticas:

• A frequência relativa acumulada do terceiro intervalo é $H_3 = 0,90$.

• A percentagem de famílias pertencentes ao primeiro intervalo de despesa ($[10, 30)$) supera em 10 pontos percentuais a percentagem de famílias do intervalo mais elevado ($[70, 90)$).

• A frequência absoluta do segundo intervalo ($[30, 50)$) coincide exatamente com a média aritmética das frequências absolutas do primeiro e do terceiro intervalo.

1. a) Apresenta fundamentadamente as relações matemáticas e equações necessárias para deduzir a frequência absoluta ($f_i$) de cada um dos quatro intervalos.
2. b) Com os valores obtidos, constrói a tabela de distribuição de frequências completa: intervalos, marcas de classe ($c_i$), frequências absolutas ($f_i$), frequências relativas ($h_i$), frequências absolutas acumuladas ($F_i$) e percentagens.
3. c) Um porta-voz dos moradores assegura: «À vista da tabela, exatamente 60 famílias gastam 40 € por mês em conectividade». Analisa criticamente se esta afirmação é necessariamente verdadeira, falsa ou indeterminável apenas a partir da informação da tabela, explicando com rigor o que representa a marca de classe e que limitação apresenta ao trabalhar com dados agrupados.