Exercícios: Representação dos dados

Classifique as seguintes variáveis estatísticas obtidas de um inquérito realizado numa escola, indicando se são qualitativas ou quantitativas (neste último caso, especifique se são discretas ou contínuas):

1. a) O nome da rede social favorita de cada estudante.
2. b) O número de horas semanais que dedicam a jogar videojogos.
3. c) A altura, medida em metros, dos jogadores da equipa de basquetebol.
4. d) O número de irmãos que cada aluno de uma turma tem.

Um grupo de $20$ adolescentes respondeu sobre qual é o seu género cinematográfico favorito. Os resultados são:

Ação, Comédia, Terror, Ação, Comédia, Ficção Científica, Terror, Ação, Ação, Comédia, Terror, Ficção Científica, Ação, Comédia, Terror, Ação, Ação, Ficção Científica, Comédia, Ação.

Cria uma tabela de frequências que inclua a frequência absoluta ($n_i$) e faz um diagrama de barras para representar estes dados de forma clara.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Complete a seguinte tabela de frequências parcial sobre o número de vezes que um grupo de amigos foi ao cinema no último mês:

Filmes ($x_i$)	Frequência absoluta ($n_i$)	Frequência relativa ($h_i$)	Percentagem ($\%$)
$0$	$4$	$0,20$	$20\%$
$1$	$8$
$2$	$5$	$0,25$
$3$		$0,15$	$15\%$
Total	$20$	$1,00$	$100\%$

O gráfico circular a seguir mostra a distribuição dos $400$ alunos de uma escola segundo a língua extracurricular que escolheram estudar. Observa o gráfico e responde:

1. a) Qual é a percentagem de alunos que estuda Alemão?
2. b) Quantos alunos, no total, estudam Inglês?
3. c) Qual é a língua menos procurada?

Foi registado o tempo (em minutos) que $15$ alunos levam para ir de casa até à escola. Os dados são os seguintes:

$12, 15, 8, 22, 10, 14, 18, 25, 11, 13, 20, 9, 15, 12, 17$.

Agrupe estes dados numa tabela de frequências utilizando classes de amplitude $5$, começando em $5$. Ou seja: $[5, 10), [10, 15), \dots$

A partir da seguinte tabela de intervalos, desenha o histograma de frequências correspondente. Garante que as barras fiquem encostadas umas às outras para indicar que a variável é contínua.

Intervalo	Frequência ($f_i$)
$[5, 10)$	2
$[10, 15)$	5
$[15, 20)$	8
$[20, 25)$	6
$[25, 30)$	3

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um "influencer" registou o número de novos seguidores que ganhou em cada dia durante uma semana:

Segunda-feira: $120$, Terça-feira: $150$, Quarta-feira: $130$, Quinta-feira: $180$, Sexta-feira: $210$, Sábado: $250$, Domingo: $230$.

Representa esta evolução através de um polígono de frequências. Para isso, coloca os pontos num sistema de eixos coordenados (Dia, Seguidores) e une-os com segmentos de reta.

Indique qual é o tipo de gráfico estatístico mais adequado (gráfico de barras, histograma ou gráfico circular) para representar as seguintes situações:

1. a) Queremos comparar a percentagem de reciclagem de vidro, papel e plástico num bairro.
2. b) Queremos mostrar o número de faltas de cada aluno de uma turma (de $0$ a $5$ faltas).
3. c) Queremos representar o peso dos recém-nascidos num hospital durante um mês (dados agrupados em intervalos).
4. d) Queremos comparar as preferências de $4$ marcas diferentes de refrigerantes entre os jovens de uma cidade.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa turma do 3.º de ESO estais a organizar os resultados de um projeto sobre hábitos dos alunos. Recolhestes informação sobre duas variáveis estatísticas diferentes:

• Variável A: O meio de transporte que cada estudante utiliza para ir para a escola (a pé, autocarro, bicicleta, carro da família).

• Variável B: A temperatura média exterior (em graus Celsius) registada no recreio às 11:30 h de cada dia letivo ao longo de três meses.

1. a) Para a Variável A, um colega propõe desenhar um histograma com barras contínuas unidas, enquanto tu propões um gráfico de barras separadas. Justifica fundamentadamente qual é a opção correta consoante a natureza da variável.
2. b) Para a Variável B, debate-se entre utilizar um gráfico circular ou um gráfico de linhas. Compara ambos os tipos de gráficos e argumenta qual é o mais adequado para analisar a tendência e evolução das temperaturas ao longo do tempo.

Num inquérito realizado aos $80$ alunos do 3.º de ESO de uma escola sobre o seu tipo de música preferido, $20$ deles escolheram «Música urbana». A Sofia quer representar estes dados num gráfico circular e realiza a seguinte operação no quadro para calcular a amplitude do setor correspondente:

$$\text{Ângulo} = \frac{20}{80} \cdot 100 = 25^\circ$$

A Sofia conclui que o setor de «Música urbana» deve ser desenhado com um ângulo de $25^\circ$.

1. a) Localiza e explica fundamentadamente o erro conceptual cometido pela Sofia. Que grandeza calculou ela na realidade ao multiplicar por $100$?
2. b) Corrige o seu procedimento aplicando a fórmula matemática adequada e calcula o ângulo central correto (em graus) que deve ter o setor correspondente à «Música urbana».

Um grupo de 30 adolescentes registou quantas horas por semana dedica a ver séries em plataformas de streaming. Os dados obtidos são:

$4, 7, 5, 8, 10, 4, 6, 7, 5, 9, 12, 6, 8, 7, 5, 4, 10, 8, 7, 6, 5, 9, 11, 4, 7, 6, 5, 8, 7, 6$.

1. a) Classifica a variável estatística.

1. b) Elabora uma tabela de frequências que inclua a frequência absoluta ($f_i$) e a frequência relativa ($h_i$).

1. c) Representa os dados através de um diagrama de barras.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Foi realizado um estudo sobre o tipo de transporte utilizado pelos alunos de uma escola para chegar à aula. Os resultados são mostrados no seguinte gráfico circular, mas alguns dados foram apagados:

• O setor "A pé" ocupa um ângulo de $144^\circ$.

• O setor "Autocarro" representa $25\%$ dos alunos.

• O restante dos alunos vem de "Bicicleta".

1. a) Calcule a percentagem de alunos que vêm a pé.
2. b) Determine o ângulo em graus correspondente ao setor "Autocarro" e ao setor "Bicicleta".
3. c) Se na escola há 600 alunos, quantos vêm em cada meio de transporte?

Um clube de atletismo registou os tempos (em segundos) dos seus elementos numa corrida de 400 metros rasos. Por ser uma variável contínua, foram agrupados nos seguintes intervalos: $[50, 55), [55, 60), [60, 65), [65, 70)$. As frequências absolutas são $4, 12, 18$ e $6$, respetivamente.

1. a) Construa a tabela de frequências incluindo a marca de classe de cada intervalo.
2. b) Desenhe o histograma de frequências.
3. c) Qual a percentagem de atletas que demorou menos de um minuto ($60$ segundos) a completar a corrida?

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No teste de Língua, as notas obtidas por uma turma do 3.º ESO foram as seguintes:

Notas: $3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10$.

1. a) Cria uma tabela de frequências com as frequências absolutas ($f_i$) e as frequências absolutas acumuladas ($F_i$).

1. b) Representa o diagrama de barras das classificações e, a partir dele, o polígono de frequências absolutas (une com segmentos os pontos mais altos das barras).

1. c) Observando o polígono, entre que classificações cresce a frequência e quanto aumenta em cada troço?

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Um influencer analisa o crescimento dos seus seguidores em duas redes sociais distintas durante os últimos 5 meses. Os dados (em milhares de novos seguidores por mês) são:

• Rede A: $2, 5, 8, 12, 15$

• Rede B: $6, 7, 6, 8, 7$

1. a) Represente ambas as séries de dados num mesmo gráfico de linhas (polígono de frequências). Utilize uma cor diferente para cada rede ou linha tracejada para uma delas.
2. b) Explique, com base na forma dos gráficos, qual das duas redes sociais tem um crescimento mais estável e qual tem uma tendência de subida mais clara.

Pesou-se a mochila de 40 alunos à entrada da escola para um estudo de saúde. Os resultados foram organizados na seguinte tabela:

Peso (kg)	$[0, 2)$	$[2, 4)$	$[4, 6)$	$[6, 8)$	$[8, 10]$
Alunos ($f_i$)	$3$	$8$	$15$	$10$	$4$

1. a) Desenha o histograma de frequências.

1. b) Traça, no mesmo gráfico, o polígono de frequências.

1. c) Quantos alunos levam uma mochila que pesa $6$ kg ou mais? Calcula a frequência relativa deste grupo (a fração do total que representa), expressa em decimal.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Num controlo de qualidade de uma fábrica de lâmpadas inteligentes, foi medida a vida útil (em milhares de horas) de uma amostra de $100$ unidades. Sabe-se que:

• $20\%$ durou entre $10$ e $15$ mil horas.

• $50\%$ durou entre $15$ e $20$ mil horas.

• O restante durou entre $20$ e $25$ mil horas.

1. a) Construa a tabela de frequências absolutas e relativas.
2. b) Represente o histograma de frequências relativas. O que representa a área de cada retângulo neste caso?
3. c) Se uma lâmpada é considerada "excelente" se durar mais de $20$ mil horas, quantas lâmpadas da amostra o são?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

O departamento de ambiente de uma câmara municipal quer representar o consumo mensal de água das famílias de um bairro. Recolheram os dados da última fatura e classificaram-nos em metros cúbicos ($\text{m}^3$):

Consumo ($\text{m}^3$)	$[0, 10)$	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$
Famílias ($f_i$)	$15$	$45$	$30$	$10$

1. a) Calcula a frequência relativa acumulada ($H_i$) para cada intervalo.

1. b) Representa os dados num gráfico de frequências acumuladas (ou ogiva).

1. c) Se a câmara municipal decidir dar uma bonificação às famílias que consomem menos de $20\ \text{m}^3$, a que percentagem da população do bairro beneficia esta medida?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Num estudo sobre mobilidade sustentável num município português, recolhem-se os dados de $720$ deslocações diárias de estudantes: $360$ realizam-se a pé, $180$ em transportes públicos, $120$ em bicicleta ou trotinete elétrica e $60$ em carro particular. Vão representar-se estes dados num diagrama circular.

1. a) Antes de calculares qualquer ângulo exato, estima de forma fundamentada a fração de círculo e a percentagem que ocupará a deslocação «a pé» e deduz se o seu ângulo será agudo, reto ou raso. Estima também se o setor dos «transportes públicos» ocupará um quadrante exato da circunferência ($90^\circ$).
2. b) Utilizando a fórmula $\text{Ângulo} = h_i \cdot 360^\circ$ (onde $h_i$ é a frequência relativa), calcula com exatidão o ângulo central em graus para cada uma das quatro modalidades de transporte.
3. c) Comprova se os teus cálculos confirmam as estimativas realizadas na alínea a) e verifica matematicamente que a soma de todos os ângulos obtidos coincide com a amplitude de uma circunferência completa.

A equipa diretiva de uma biblioteca municipal analisou os empréstimos de livros juvenis realizados durante o último mês através de um diagrama de setores. No relatório final não incluíram o número total de empréstimos, mas sim os ângulos centrais das categorias registadas:

• Banda desenhada e manga: $144^\circ$

• Romance de aventuras: $108^\circ$

• Ficção científica: $72^\circ$

• Poesia e teatro: o setor restante.

Além disso, o registo informático indica que foram emprestados exatamente $54$ livros de «Romance de aventuras».

1. a) Calcula a medida em graus do ângulo central correspondente à categoria «Poesia e teatro».
2. b) Determina a frequência relativa ($h_i$) e a percentagem que representa cada uma das quatro categorias de livros sobre o total de empréstimos.
3. c) A partir dos dados anteriores, descobre quantos livros juvenis foram emprestados no total durante o mês e reconstrói a frequência absoluta ($f_i$) de cada uma das quatro categorias.

Dois grupos do 3.º ano do ensino básico registaram o tempo diário (em minutos) que dedicam a jogar videojogos. Os resultados foram representados nos seguintes diagramas de caixa de bigodes.

Analisa os gráficos e responde justificadamente:

1. a) Qual é o tempo máximo de jogo no Grupo B? E o valor do terceiro quartil ($Q_3$) no Grupo A?
2. b) Em que grupo os dados estão mais dispersos? Utiliza a amplitude e a amplitude interquartil para justificar.
3. c) Se um aluno afirma que $75\%$ dos alunos do Grupo B jogam mais tempo do que a mediana do Grupo A, ele está correto? Porquê?

Uma marca de refrigerantes realizou um estudo sobre quantas latas um grupo de adolescentes consome por semana. No entanto, a tabela de frequências ficou manchada e só é possível ler alguns dados das frequências relativas acumuladas ($H_i$):

Latas ($x_i$)	Freq. Absoluta ($f_i$)	Freq. Relativa Acum. ($H_i$)
0		$0,15$
1	$12$
2		$0,65$
3		$0,85$
4	$6$	$1,00$

Sabendo que a dimensão da amostra é de $40$ indivíduos:

1. a) Reconstrua a tabela de frequências completa (calculando $f_i$, $F_i$, $n_i$ e $H_i$).
2. b) Represente os dados por meio de um polígono de frequências acumuladas.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma câmara municipal quer conhecer a opinião dos jovens sobre as novas pistas de skate. A população total é de $12\,000$ jovens, distribuídos por três bairros: Centro ($5\,000$), Norte ($4\,000$) e Sul ($3\,000$). Decidem obter uma amostra representativa de $600$ indivíduos através de uma amostragem aleatória estratificada.

1. a) Quantos jovens de cada bairro devem ser selecionados para que a amostra seja representativa?
2. b) Após a realização do inquérito, obtém-se que $40\%$ no Centro, $60\%$ no Norte e $30\%$ no Sul estão "Muito satisfeitos". Representa estes resultados de satisfação através de um gráfico de barras comparativo (barras lado a lado).

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Observe o seguinte histograma que representa os batimentos cardíacos em repouso de um grupo de atletas. Tenha em conta que os intervalos não têm a mesma amplitude.

Neste tipo de gráfico, a frequência é proporcional à área da barra, não à sua altura. Se no intervalo $[40, 50)$ há $10$ atletas:

1. a) Quantos atletas há, no total, no estudo?
2. b) Construa a tabela de frequências agrupadas nos intervalos apresentados, indicando a marca de classe de cada um.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um criador de conteúdos nas redes sociais analisa a duração (em segundos) dos seus últimos vídeos. Os dados obtidos são: $15, 42, 55, 12, 18, 30, 45, 95, 110, 20, 35, 48$.

1. a) Calcule a amplitude interquartil e identifique se existe algum valor atípico (aqueles que estão a uma distância superior a $1,5 \cdot \text{IQR}$ dos quartis).
2. b) Represente o diagrama de caixa de bigodes marcando claramente, se houver, os valores atípicos com um ponto destacado.

Num gráfico circular mostra-se a distribuição dos tipos de resíduos recolhidos numa campanha escolar de reciclagem (papel, plástico e vidro), onde o setor do papel mede $120^\circ$ e o do vidro mede $60^\circ$. Sabe-se que se recolheu um total de $180$ kg de resíduos.

1. a) Calcula a amplitude do ângulo correspondente ao setor "Plástico".
2. b) Calcula quantos quilogramas de cada tipo de resíduo se recolheram.
3. c) Se no próximo ano se esperar duplicar a quantidade de vidro à custa de reduzir o papel, mantendo o total de resíduos constante, como mudariam os graus do setor do papel?

Foi publicado um gráfico numa notícia sobre o aumento do preço do arrendamento numa cidade. Alguns críticos dizem que o gráfico é enganador porque o eixo das ordenadas não começa em zero.

1. a) Segundo o gráfico, que percentagem de aumento parece haver visualmente comparando a altura das barras (medida a partir do eixo horizontal)?

1. b) Calcula o aumento percentual real do preço do arrendamento entre o ano 2022 ($800$ €) e o de 2024 ($900$ €).

1. c) Redesenha mentalmente (ou descreve) como mudaria a perceção do aumento se o eixo $Y$ começasse em $0$ €.

Uma estação meteorológica registou as temperaturas máximas durante o mês de novembro. Ao agrupar os dados em intervalos, obteve-se o seguinte polígono de frequências:

Os valores do eixo $X$ são as marcas de classe de intervalos de amplitude $4^\circ\text{C}$.

1. a) Determine os intervalos de temperatura que foram utilizados.
2. b) Sabendo que os pontos representam a frequência absoluta ($f_i$), quantos dias teve o mês de novembro segundo este registo? O total de dias está correto?
3. c) Em qual intervalo de temperatura se encontra a moda?

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) registou a quantidade de chuva acumulada (em litros por metro quadrado, $\text{l/m}^2$) durante $50$ dias de tempestade numa região agrícola. Por se tratar de uma variável contínua, os dados foram agrupados nos seguintes intervalos semiabertos: $[0, 10)$, $[10, 20)$, $[20, 30)$, $[30, 40)$ e $[40, 50]$. O número de dias registado em cada intervalo foi $18$, $15$, $10$, $5$ e $2$, respetivamente.

1. a) Explica por que razão, para modelar estes dados, é necessário utilizar um histograma com retângulos adjacentes (unidos) e não um diagrama de barras separadas. Especifica com precisão que grandeza se representa no eixo horizontal ($X$) e qual no eixo vertical ($Y$).
2. b) Para construir o polígono de frequências associado, é necessário um ponto representativo de cada intervalo. Define o conceito matemático de «marca de classe», calcula o seu valor para cada um dos cinco intervalos e determina as coordenadas cartesianas $(x, y)$ dos pontos que se uniriam para traçar o polígono.
3. c) Analisa a forma do polígono de frequências resultante: a distribuição é simétrica em relação ao centro ou apresenta assimetria? Calcula que percentagem acumulada dos dias de tempestade registou menos de $20\text{ l/m}^2$ e interpreta que implicação tem esta concentração de precipitação para o aproveitamento agrícola da zona.

Um técnico municipal de desporto deve apresentar as estatísticas anuais de um complexo desportivo e propôs três gráficos preliminares para o relatório de gestão:

• Gráfico 1: Um histograma para representar o desporto principal praticado pelos utilizadores (futsal, natação, ténis, padel, ginástica).

• Gráfico 2: Um diagrama de barras separadas para mostrar a evolução do número de utilizadores diários que acederam ao ginásio ao longo das $52$ semanas do ano.

• Gráfico 3: Um diagrama de setores para representar a distribuição dos $1\,200$ sócios segundo o seu grupo etário: infantil ($180$ sócios), juvenil ($360$ sócios), adultos ($480$ sócios) e maiores de 65 anos ($180$ sócios).

1. a) Deteta e explica o erro metodológico cometido na escolha do Gráfico 1. Justifica por que razão é conceptualmente incorreto usar um histograma com essa variável e que tipo de gráfico se deve utilizar em sua substituição.
2. b) Compara a idoneidade do Gráfico 2 face a um diagrama de linhas para mostrar os dados das $52$ semanas. Justifica qual das duas opções reflete melhor a continuidade temporal e permite identificar picos de afluência ou sazonalidade com maior clareza.
3. c) No Gráfico 3, calcula o ângulo central correspondente a cada um dos quatro grupos etários. Argumenta se seria possível substituir esse diagrama de setores por um histograma de frequências, explicando que dificuldade técnica coloca o grupo «maiores de 65 anos» no momento de definir a amplitude dos intervalos.