Exercícios: Parâmetros estatísticos

Num estudo sobre a utilização de redes sociais, perguntou-se a um grupo de adolescentes quantas horas por dia dedicam a ver vídeos no TikTok. Os resultados obtidos são:

$2, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 5, 2, 1$

Identifique a população do estudo e calcule a moda das horas de utilização.

Sete amigos comparam o número de mensagens não lidas na sua aplicação de mensagens. Os dados são os seguintes:

$12, 15, 8, 20, 15, 14, 11$

Calcule a média aritmética ($\bar{x}$) do número de mensagens pendentes deste grupo.

Durante uma semana de treino, uma atleta registou os quilómetros que correu em cada dia para se preparar para uma corrida:

$5, 8, 10, 12, 15, 18, 21$

Determine a mediana ($Me$) da distância percorrida. Qual é o significado deste valor em relação ao total de dias de treino?

No gráfico a seguir, são mostradas as temperaturas máximas registadas num abrigo de montanha durante os primeiros 5 dias de janeiro.

Sabendo que as temperaturas foram $4^\circ C, 6^\circ C, 2^\circ C, 8^\circ C$ e $5^\circ C$, calcule a amplitude da temperatura nesses dias.

Um professor organizou numa tabela de frequências o número de erros de ortografia dos seus alunos no último ditado:

Erros ($x_i$)	Nº de alunos ($f_i$)
$0$	$8$
$1$	$12$
$2$	$6$
$3$	$4$

Calcule a média do número de erros da turma utilizando os dados da tabela.

Duas equipas de e-sports registaram as suas pontuações nas últimas 5 partidas.

• Equipa A: $85, 88, 90, 92, 95$

• Equipa B: $60, 75, 90, 105, 120$

Ambas as equipas têm a mesma média, $\bar{x} = 90$. Sem realizar cálculos complexos de desvio padrão, observe os dados e explique qual das duas equipas é mais regular (tem menor dispersão) e porquê.

Foi medida a altura de um grupo de alunos do 9.º ano e os dados foram ordenados do menor para o maior. Os valores dos quartis obtidos são:

$Q_1 = 158 \text{ cm}, Q_2 = 165 \text{ cm}, Q_3 = 172 \text{ cm}$

1. a) Qual é o valor da mediana?
2. b) Que percentagem de alunos mede $172 \text{ cm}$ ou menos?

Observe a seguinte representação de um conjunto de dados sobre uma reta numérica. Os pontos representam o número de animais de estimação de vários vizinhos:

A partir do gráfico, escreva a lista de dados e calcule a moda ($Mo$) e a amplitude.

O Marcos quer calcular a mediana das notas que obteve em sete testes de Matemática ao longo do ano letivo: $4$, $8$, $3$, $9$, $5$, $7$ e $2$. No seu exame escreve a seguinte justificação:

«Como são $7$ notas, a mediana é o dado que ocupa a posição central, ou seja, o quarto elemento da lista. Conto da esquerda para a direita e o quarto número é o $9$, logo a mediana é $Me = 9$».

1. a) Identifica e explica de forma fundamentada que erro concetual cometeu o Marcos.
2. b) Sem necessidade de a calcular ainda, por que razão é impossível que a mediana desse conjunto de notas seja $9$?
3. c) Corrige o procedimento e calcula o valor real da mediana e da moda das suas notas.

Numa competição escolar de atletismo, uma atleta de lançamento do peso registou nas suas cinco tentativas as seguintes distâncias (em metros): $8,1$; $8,3$; $8,0$; $8,4$ e $12,2$.

1. a) Estima: sem fazeres operações por escrito, estima entre que dois números inteiros se situará a média aritmética e raciocina se achas que a mediana será maior, menor ou igual a essa média estimada. Justifica a tua resposta observando como se distribuem os valores.
2. b) Comprova: calcula com exatidão a média ($\bar{x}$) e a mediana ($Me$) dos lançamentos.
3. c) Avalia: compara os resultados com a tua estimativa inicial. Explica pelas tuas palavras como é que o último lançamento ($12,2$ m) influenciou a média e por que razão quase não afetou a mediana.

Um grupo de 20 adolescentes anotou quantas vezes foi ao cinema nos últimos seis meses. Os dados obtidos são os seguintes:

$2, 3, 0, 1, 5, 3, 2, 1, 0, 0, 2, 4, 3, 2, 1, 1, 6, 2, 0, 3$

Organize estes dados numa tabela de frequências e calcule as medidas de tendência central: a média aritmética ($\bar{x}$), a mediana ($Me$) e a moda ($Mo$). Qual delas consideras que representa melhor o grupo?

Duas aplicações de mensagens, "App A" e "App B", estão a competir para serem as mais estáveis. Foi medido o tempo de resposta (em milissegundos) em 10 tentativas distintas, obtendo-se os seguintes resultados:

• App A: $\bar{x} = 120$ ms; $\sigma = 15$ ms

• App B: $\bar{x} = 125$ ms; $\sigma = 5$ ms

Calcule o coeficiente de variação ($CV$) de ambas as aplicações e explique, de forma justificada, qual das duas é mais "fiável" ou regular no seu funcionamento para um utilizador.

Um clube de e-sports registou o tempo (em minutos) que os seus sócios demoram a completar um nível difícil de um videojogo. Os resultados são mostrados nesta tabela de dados agrupados:

Tempo (min)	[10, 20)	[20, 30)	[30, 40)	[40, 50)
N.º de jogadores	4	12	8	6

Calcule a média e o desvio padrão da distribuição utilizando os pontos médios das classes.

As notas da Maria nos quatro primeiros testes de Matemática foram $6,5$, $4$, $8$ e $7,5$. Se ela ainda tem um quinto teste para fazer, que nota deve tirar para que a sua média final seja exatamente $7$? Justifica a tua resposta elaborando uma equação.

Foi realizado um inquérito sobre o número de horas semanais que os alunos do 3.º ESO dedicam a ler livros por prazer. Os parâmetros de posição obtidos são:

$Mín = 0$; $Q_1 = 2$; $Me = 4$; $Q_3 = 7$; $Máx = 12$

Desenha o diagrama de caixa de bigodes (Box-plot) correspondente. Se um aluno lê 6 horas por semana, em que quarto da população se encontra (entre 0-25%, 25-50%, 50-75% ou 75-100%)?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Numa aula de Educação Física, foi medido o tempo de recuperação de dois grupos após uma corrida. Ambos os grupos têm a mesma média de batimentos cardíacos, $\bar{x} = 85$ ppm. No entanto, a variância do Grupo 1 é $S^2 = 16$ e a do Grupo 2 é $S^2 = 100$.

1. a) Calcule o desvio padrão de cada grupo.
2. b) Em qual dos dois grupos os alunos têm uma condição física mais semelhante entre si? Justifique a sua resposta com base na dispersão.

Uma loja de roupa jovem quer analisar a idade dos seus clientes. Para isso, seleciona uma amostra de 10 pessoas num sábado de manhã:

$14, 15, 16, 14, 22, 15, 17, 14, 35, 16$

1. a) Calcule a amplitude e a média das idades.
2. b) A mediana é $15,5$ anos. Se eliminarmos o cliente de 35 anos (que é considerado um valor discrepante), calcule a nova média e a nova mediana. Qual dos parâmetros mudou mais? Porque achas que isso acontece?

Observa os seguintes dois conjuntos de dados que representam os pontos obtidos por dois jogadores de basquetebol nos seus últimos 5 jogos:

• Jogador A: $18, 20, 22, 19, 21$

• Jogador B: $10, 30, 5, 25, 30$

Na figura tens os mesmos dados representados sobre uma reta numérica (cada ponto é um jogo).

Sem realizar cálculos complexos de variância, observa os dados e responde:

1. Têm a mesma média aritmética?

2. Qual dos dois jogadores é mais "constante" nas suas pontuações?

3. Se tivesses de escolher um para jogar o último minuto de uma final, qual escolherias e porquê? Usa os conceitos de média e dispersão na tua resposta.

Uma equipa de investigação sociológica recolhe um conjunto de $5$ números inteiros positivos que correspondem ao número de livros lidos por ano por um grupo reduzido de estudantes. Extraviaram-se os dados originais, mas no relatório final conservam-se intactos os seguintes parâmetros:

• A moda é única e é igual a $4$.

• A mediana é $5$.

• A amplitude ou intervalo de variação é $8$.

• A média aritmética é $7$.

Deduz de forma ordenada e fundamentada quais são os $5$ números originais. Justifica cada passo explicando que propriedade estatística te permite fixar ou descartar cada um dos valores.

Uma empresa emergente de design tecnológico em Braga conta com uma equipa de $8$ pessoas. Os seus salários mensais líquidos em euros são: $1\,200$, $1\,250$, $1\,300$, $1\,300$, $1\,400$, $1\,450$, $1\,500$ e $6\,600$ (este último corresponde à sócia fundadora).

1. a) Calcula a média aritmética, a mediana e a moda dos salários.
2. b) Numa oferta de emprego, a empresa afirma: «O salário médio da nossa equipa é de $2\,000$ € por mês». Por sua vez, os representantes dos trabalhadores argumentam que o salário mais representativo ronda os $1\,300$ €–$1\,400$ €. Compara ambos os métodos de centralização (média em relação à mediana): qual descreve com maior fidelidade a retribuição habitual da equipa? Justifica a tua resposta analisando o impacto do salário atípico.
3. c) Para estudar a dispersão destes salários propõem-se duas alternativas: calcular a amplitude total ou calcular a amplitude interquartil ($IQR = Q_3 - Q_1$). Justifica qual das duas medidas é preferível neste caso.

Num grupo de $10$ amigos, a média das suas alturas é de $172$ cm. Se uma pessoa que mede $194$ cm entrar no grupo, qual será a nova média? Se depois outra pessoa que media $161$ cm sair, qual será a média final do grupo? Justifique passo a passo como cada mudança afeta a soma total das alturas para realizar o cálculo.

Dois jogadores de eSports, Alex e Bea, registaram as suas pontuações nas últimas $8$ partidas de um torneio.

• Alex: $85, 90, 88, 92, 87, 89, 91, 88$

• Bea: $70, 98, 65, 100, 75, 95, 80, 100$

1. a) Calcule a média e o desvio padrão de ambos os jogadores.
2. b) Utilize o coeficiente de variação ($CV$) para determinar qual dos dois é o jogador mais regular e fiável para a equipa. Explique o que significa, neste contexto, um jogador ter um desvio padrão muito mais alto do que o outro se as suas médias fossem parecidas.

Uma empresa de entregas analisa o peso dos pacotes que transporta. Os dados foram agrupados na seguinte tabela de frequências por intervalos:

Peso em kg $[L_i, L_s)$	N.º de pacotes ($f_i$)
$[0, 2)$	$12$
$[2, 4)$	$25$
$[4, 6)$	$38$
$[6, 8)$	$15$
$[8, 10)$	$10$

Calcule a média aritmética, a variância e o desvio padrão da distribuição. Para isso, identifique primeiro as marcas de classe ($x_i$) de cada intervalo.

Observe o seguinte diagrama de caixa de bigodes (box-plot) que representa as horas de utilização semanais de uma aplicação móvel numa amostra de adolescentes:

Com base no gráfico, responda:

1. a) Qual é o valor da mediana, do primeiro quartil ($Q_1$) e do terceiro quartil ($Q_3$)?
2. b) Calcule a amplitude interquartil ($RIC$).
3. c) Justifique se a distribuição é simétrica ou se apresenta assimetria. Em qual metade dos dados há maior dispersão?

Um professor corrigiu os testes de uma turma de $25$ alunos. A média resultou em $6,4$ e o desvio padrão em $1,2$. Após rever uma das questões, decide aumentar $0,5$ pontos a todos os alunos da turma.

1. a) Qual será a nova média e o novo desvio padrão?
2. b) Se, em vez de somar uma quantidade fixa, decidisse aumentar todas as notas em $10\%$, como seriam afetados ambos os parâmetros? Justifica a tua resposta com base nas propriedades dos parâmetros estatísticos.

Inventa uma lista de $6$ dados estatísticos (números inteiros positivos) que satisfaça simultaneamente as seguintes condições:

1. A moda é $4$.

2. A mediana é $5$.

3. A amplitude é $10$.

4. A média é maior do que a mediana.

Mostra os cálculos que verifiquem que a tua lista cumpre todos os requisitos.

Numa pequena empresa, os salários dos $5$ funcionários são: $1100€, 1200€, 1250€, 1300€$ e $1400€$. O gerente tem um salário de $4500€$.

1. a) Calcule a média e a mediana dos salários, incluindo o gerente.
2. b) Qual das duas medidas representa melhor o salário «típico» da empresa? Explique o efeito que o salário do gerente (valor extremo) produz na média e porque é que a mediana é um parâmetro mais robusto neste caso.
3. c) Se se pretendesse transmitir uma imagem de prosperidade na publicidade da empresa, que parâmetro seria utilizado? Seria enganoso?

A partir de séries históricas da Agencia Estatal de Meteorología (AEMET), registaram-se as precipitações anuais (em litros por metro quadrado, $\text{l/m}^2$) de duas cidades espanholas durante cinco anos representativos:

• Vigo: $1\,200$, $1\,300$, $1\,100$, $1\,400$, $1\,000$

• Almería: $200$, $150$, $300$, $100$, $250$

1. a) Calcula a média ($\bar{x}$), a variância ($s^2$) e o desvio-padrão ($s$) das precipitações de cada cidade.
2. b) Uma pessoa afirma: «O volume de chuva em Vigo é muito mais irregular do que em Almería porque o seu desvio-padrão é praticamente o dobro». Utiliza o coeficiente de variação ($CV = s / \bar{x}$) expresso em percentagem para refutar ou defender com rigor matemático esta afirmação.
3. c) Justifica por que razão neste estudo é metodologicamente correto utilizar o coeficiente de variação com as precipitações em $\text{l/m}^2$, enquanto não faria sentido matemático aplicá-lo diretamente às temperaturas médias anuais medidas em graus Celsius ($^\circ\text{C}$).

Uma cooperativa orizícola das Marismas del Guadalquivir (Sevilha) embala pacotes de arroz cujo peso nominal está estabelecido em $1\,000$ g. Para verificar a calibragem de duas linhas de embalamento, o controlo de qualidade recolhe uma amostra de $5$ pacotes de cada máquina:

• Máquina A: $995$, $1\,000$, $1\,005$, $998$, $1\,002$ (em gramas).

• Máquina B: registaram-se quatro pacotes com pesos de $980$, $1\,020$, $990$, $1\,010$ (em gramas), mas o peso do quinto pacote não foi registado devido a uma falha informática.

1. a) Deduz qual deve ser o peso do quinto pacote da Máquina B para que ambas as linhas tenham exatamente a mesma média aritmética de $1\,000$ g.
2. b) Com o valor deduzido, calcula o desvio-padrão ($s$) e o coeficiente de variação percentual ($CV_{\%}$) de cada uma das duas máquinas.
3. c) O protocolo de qualidade da fábrica exige que o coeficiente de variação de uma embaladora não ultrapasse $1\%$. Emite um parecer fundamentado sobre se ambas as máquinas cumprem a norma e explica que prejuízos económicos ou comerciais sofreria a cooperativa se utilizasse a máquina mais dispersa, apesar de a sua média ser exatamente de $1\,000$ g.